黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三数学第五次模拟试题（Word版附答案）

2023年哈三中高三学年

第五次高考模拟考试数学试卷

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.

2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（共60分）

（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.集合中元素的个数为（    ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

2.已知，则下列不等式恒成立的是（    ）

A. B. C. D.

3.已知焦点在x轴上的双曲线，其中一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C.2 D.

4.在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则x的值为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

5.下列说法不正确的是（    ）

A.甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18

B.设一组样本数据，，…，的方差为2，则数据，，.…，的方差为32

C.在一个列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大

D.已知随机变量，且，则

6.我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则该文物的体积约为（    ）（参考数据：，）

A. B. C. D.

7.已知，，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

8.已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（    ）

A. B. C. D.

（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9.函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A.的最小正周期为

B.的图象关于中心对称

C.在上单调递减

D.把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象

10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ）

A.在第10行中第5个数最大

B.

C.第8行中第4个数与第5个数之比为

D.在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为

11.已知平面内动点满足到定点的距离和到定直线的距离相等，动点的轨迹为曲线E，则下列说法正确的有（    ）

A.曲线E的方程为

B.两条直线和分别交曲线E不同于原点的C、D两点，若直线CD过点，则

C.过点F的直线与曲线E交于不同的两点A、B，直线OA与直线l交于点G，则直线GB平行于y轴

D.点为曲线E上定点，其关于y轴对称点为点N，则对于曲线E上异于M、N的任一点T，都有直线NT与直线MT的斜率之差为定值

12.定义在的函数满足，且都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（    ）

A.

B.若数列为等差数列，则公差为6

C.若，则

D.若，则

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知为钝角，，则的值为______.

14.已知函数的导函数为，则______.

15.如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.

16.已知数列满足，，，定义表示实数x，y中的较大的数，若，则实数______，记数列的前n项和为，则的值为______.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列满足，且.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，求满足条件的最大整数n.

18.在长方体中，，点P为棱上任意一点.

（1）求证：平面⊥平面BDP；

（2）若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面BDE与平面PBD夹角的余弦值为.

19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求的值；

（2）求的最大值.

20.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.

（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；

（2）如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；

（3）参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.

21.已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若O为坐标原点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值；

（3）若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点.

22.已知关于x方程在区间内有且只有一个解.

（1）求实数a的取值范围；

（2）如果函数，求证：在上存在极值点和零点；

（3）对于（2）中的和，证明：.

2023年哈三中高三学年

第五次高考模拟考试数学试卷答案

一、选择题：

二、填空题：

13. 14.4046  15.1  16.2  6000

三、解答题：

17.（1），

，

是以为首项，为公比的等比数列

（2）由（1）：，

在↗单调递增

18.（1）证明：在长方体中，，

又面ABCD，面ABCD，.，且AC，面，

面，面BDP，平面平面BDP

（2）以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

设，，，，.

设点，.

设面BDE的一个法向量为.

，.，.

令，，，.

设面PBD的一个法向量为.

，.，.

令，，，.

.，或

.

点P为棱上靠近点的第一个六等分点时，面BDE与面PBD夹角的余弦值为.

19.（1）由余弦定理：，

，

由正弦定理：

，化简得：

.

（2），由（1）知

，即B为锐角，

，

20.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，根据题意得

，，，

，，

由全概率公式，得

.

（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率.

.

（3）类似（2），可得，.

故第1，2台车床操作员应承担，第3台车床操作员应承担.

21.（1）由已知，，，则，则有C：；

（2）由于直线l不能与y轴垂直，故设，

，代入可得

恒成立，设，，

则有，

点O到直线l的距离为

所以

当且仅当：时取最大值；

（3）设直线MB的方程为

，代入可得

，可设、

则有，

由于且

可得

即，即

即

由于，化简得，即直线MB恒过定点

22.（1）令，

当时，，

若，则，此时无解

若，，当时，，

则在上为单调递增函数，而，，

所以存在，

使，方程有且只有一个解，综上，.

（2）由（1）知，且

在上，为单调递减函数，

又，，

所以存在，，

在上，在上，

可得在上为单调递增函数，在上为单调递减函数

又，所以由，又

所以在上存在唯一零点，

当时，当时，

，而当时，，

在上有唯一极大值点，在上单调递增，在上单调递减，

又，所以，，

所以在上有唯一零点.

（3）先证明：，因为，所以只需证明

，

由（2）知

所以

可以证明：，得，

令，，

所以在为单调递减函数，

所以，于是，所以

于是，又，

所以有，又，

所以有.