2022-2023学年湖北省武汉中学高二5月月考试题数学含答案

  武汉中学2023—2024学年度五月月考

高二数学试卷

考试时间：2023年5月29日14：30——16：30    试卷满分：150分

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．将甲、乙、丙、丁四名同学随机分配到三个会议中心担任志愿者，每个会议中心至少有一名同学，且每名同学只去一个会议中心，则甲和乙没有被分配到同一会议中心的概率为（    ）

A． B． C． D．

2. 设，随机变量的分布

则当在内增大时，（    ）

A．增大，增大 B．增大，减小

C．减小，增大 D．减小，减小

3. 已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：

由上表可得线性回归方程，则    (    )

A.  B.  C.  D.

4. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没.三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则

 .  .  .

5. 已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（    ）

A． B． C． D．

6. 数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，且，则数列的前n项和（    ）

A．        B．

C．            D．

7. 现有道四选一的单选题，学生李明对其中的道题有思路，道题完全没有思路．有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为，若每题答对得分，不答或答错得分，则李明这道题得分的期望为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是(    )

A. B.  C.   D.  

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分）

9. 某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（    ）

A．变量与负相关且相关性较强

B．

C．当时，的估计值为13

D．相应于点的残差为

10. 若，且，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 展开式中二项式系数和为 D.

11. 下列命题中，正确的命题是(    )

A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
B. 已知，， , 则
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X~B（10，），当X=7时概率最大．

12. 已知双曲线：，、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是(    )

A. 当轴时，
B. 双曲线的离心率
C. 为定值
D. 若为的内心，满足，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______．

14. 下列命题中错误的是_____．

①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，期望与方差都不变；

②残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；

③在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；

④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病．

⑤甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好；

15. 中国古典乐器一般按“八音”分类，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为          ．

16. 已知，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. (10分)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得-10分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．

(1)求至少回答正确一个问题的概率；

(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列及这位挑战者闯关成功的概率．

18．(12分)某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.

(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.

附：

19．(12分) 如图，在三棱柱中，．

（1）证明：；

（2）若，且，求二面角的正弦值．

20. (12分)设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

21.已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.

(1)求椭圆的标准方程﹔

(2)设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.

22. (12分)已知函数．
当时，讨论函数的单调性：
若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．

武汉市部分重点中学2022—2023学年度下学期期中联考

高二数学试卷参考答案及评分标准

一、二选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.                    14.　三  

15.                            16.

四、解答题：共70分.

17.（10分）

解：，
是函数的一个极值点，       
， 
 ，                     ··········2分
，
令，解得或；令，解得．      ········4分

所以函数的增区间为，减区间为．     ·········5分
由，
又在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，    ····7分
函数的极小值为，又，                     ····9分
函数在区间上的最小值为．                ···········10分

18.（12分）

解：(1) =120                        ········4分

(2)    =2100                      ········8分

(3)                   ········12分

19.（12分）

解：(1)当时，，，    ········1分

当时，

得4

由已知，数列各项均为正数

得，                               

是首项为1，公差为2的等差数列，              ········5分
；                                       ········6分
由(1)知，，
则，                 
，      ·······8分
，
单调递增，
，
，
，使得恒成立，             ·······10分
只需，
解之得．                                   ········12分

20.                (12分)

解：（1）已知两端的高压线塔相距1200米，且相邻两线塔相距米，故需要建线塔个，则

所以关于的函数关系式为

········5分

（2）

令，即，解得（舍）或   ······7分

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；

所以当时，y有最小值，                     ········9分

且

又

（万元）            ········11分

所以需新建个线塔才能使工程费用有最小值，最小值为7274万元.

········12分

21.                （12分）

解：(1)由题意知：．
根据椭圆的定义得：，即，
所以椭圆的标准方程为．              ········4分

（2）由题意设直线的方程为，
联立，消元得，
当，即时满足题意，
设，，则，，     ········6分

，
若为定值，则上式与无关，故，得，

········8分

此时．
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
经检验，此时成立，
所以面积的最大值为1．                      ········12分
 

22.（12分）

解：(1)，,
当时，，，所以．
所以在]上单调递增，                         ········2分
，
=0.                         ········4分

(2)①当时，对任意的，，

设，则，所以在上单调递增，又，所以，因为，所以，满足题意；

·······8分

②当时，，，所以在上单调递增，

又，，所以在上有唯一的零点，

且当时，，所以在上单调递减，

又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意，舍去；

综上所述，实数a的取值范围为.                          ·······12分