2022-2023学年黑龙江省海林市朝鲜族中学高二下学期第二次月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省海林市朝鲜族中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．若，则x的值为（    ）

A．2 B．4 C．4或2 D．3

【答案】C

【分析】利用组合数性质计算即可.

【详解】当时，满足题意；

当，即时，满足题意.

故选：C.

2．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依次考察3项冠军被获得的可能情况,分为3个步骤，利用分步计数原理求解.

【详解】5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），依次考察3项冠军被获得的可能情况,分为3个步骤，每个步骤都有５种不同的可能，根据分步计数原理可知获得冠军的可能种数为，

故选：A.

【点睛】本题考查分步计数原理的实际应用，关键是按什么标准分步骤的问题，分步计数原理，要保证每一步的不同选择对下一步选择的方法数的影响是相同的，本题属于基础题，重点题，易错题.

3．在的展开式中，的系数是

A． B． C．5 D．40

【答案】A

【分析】由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.

【详解】因为的展开式的通项为，

令，则的系数是.

故选A

【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.

4．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有

A．60种 B．20种 C．10种 D．8种

【答案】C

【分析】试题分析：根据题意，先安排4盏不亮的路灯，有1种情况，排好后，有5个空位；在5个空位中任意选3个，插入3盏亮的路灯，有种情况，则不同的开灯方案有10种，故选C．

【解析】1、排列；2、组合．

5．若，且，则实数的值为（    ）

A．1或 B． C．1 D．1或3

【答案】A

【分析】令代入已知等式可解得值．

【详解】在中令得，解得或．

故选：A．

【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中各项系数和．在求二项展开式中系数和时对变量的赋值是解题关键．

6．如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（    ）

A．780 B．840 C．900 D．960

【答案】D

【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数.

【详解】解：先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为．

故选：D.

7．函数的图象在处的切线方程是，则等于（    ）

A．10 B．8 C．3 D．2

【答案】D

【分析】根据切线方程可求的值.

【详解】因为函数的图象在处的切线方程是，所以 ，，所以，

故选：D.

二、多选题

8．下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据导数的几何意义和常用函数的导数对选项一一分析即可.

【详解】对于A，由，可得，无解，所以A不符合题意；

对于B，由，可得，有解，所以B符合题意；

对于C，由，可得，有解，所以C符合题意；

对于D，由，可得，有解，所以D符合题意.

故选：BCD.

9．下列结论中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AB

【分析】根据复合函数导数的运算法则依次求导即可得到结果.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D错误.

故选：AB.

三、单选题

10．若是可导函数，则“，”是“内单调递增”的

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据导数与单调性的相互关系，判断出正确选项.

【详解】当导数在区间内大于零时，函数在区间内单调递增.当函数在区间内单调递增时，导数.由此可以判断出“，”是“内单调递增”的充分但不必要条件.故选A.

【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性的相互关系，导数大于零时，函数单调递增；函数单调递增时，导数是非负数.属于基础题.

11．若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由 在区间上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．

【详解】解： 在区间 上单调递减，

在区间 上恒成立，

即 在区间 上恒成立，

，

．

故选：D．

【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题.

四、多选题

12．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ）

A．是函数的极值点

B．在区间上单调递减

C．函数在处取得极小值

D．的图象在处的切线斜率小于零

【答案】BD

【分析】对于选项ABC：首先利用导函数的图像判断的单调区间，然后根据极值和极值点的定义即可求解；对于选项D：通过图像并结合导函数的几何意义即可求解.

【详解】由图像可知，当时，；当时，，

从而在上单调递增，在上单调递减，

故有极大值点，故AC错误，B正确；

又由图像可知，，从而的图像在处的切线斜率小于零，故D正确.

故选BD.

五、填空题

13．若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．

【答案】23

【分析】先计算得到四个字的全排列，减去不满足题意的即可.

【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有种，其中有一种是正确的，故错误的有23种.

故答案为23.

【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：

（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；

（2）元素相间的排列问题——“插空法”；

（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；

（4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题——间接法．

14．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_____种．

【答案】192

【详解】试题分析：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有种站法，再取一人站左侧有种站法，余下三人站右侧，有种站法考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是.故答案为.

【解析】排列、组合的实际应用.

【方法点晴】本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素优先法．由于甲必须站中央，故先安排甲，两边一边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以即可得到所有的站法总数，计数时要先安排乙丙两人，再安排甲左边的第三人，最后余下三人，在甲右侧是一个全排列.

15．的展开式中常数项为________．

【答案】

【解析】利用二项展开式通项公式直接求解.

【详解】，

展开式中常数项为，

故答案为：.

【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

16．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________．

【答案】

【详解】f（x）=xlnx

∴f'（x）=lnx+1

则f′（x0）=lnx0+1=2

解得：x0=e

六、解答题

17．4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）

(1)3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？

【答案】(1)720；

(2)1440；

(3)720.

【分析】（1）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列，即可得到答案；

（2）男生排好后，5个空中再插入3个女生，即可得到答案；

（3）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列，由分步计数原理，即可求解结果．

【详解】（1）解：先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列有种．

（2）解：男生排好后，5个空再插女生有种．

（3）解：甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列，分步有种．

18．若.

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ）2555（Ⅱ）1280

【分析】（Ⅰ）令，则，再取代入计算得到答案.

（Ⅱ）令得到，联立（1）中方程计算得到答案.

【详解】（Ⅰ）令，则.

令，则，所以；

（Ⅱ）令，则，故.

【点睛】本题考查了二项展开式中的系数和，取特殊值是解题的关键.

19．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式?

(1)分成3份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本.

【答案】(1)60

(2)360

(3)15

(4)90

【分析】（1）根据有序不均匀分组，结合分步乘法计数原理即可求解；

（2）根据有序不均匀分组分配，结合分步乘法计数原理即可求解；

（3）根据有序平均分组，结合分步乘法计数原理即可求解；

（4）根据有序平均分组分配，结合分步乘法计数原理即可求解；

【详解】（1）依题意，先选1本有种选法；

再从余下的5本中选2本有种选法；

最后余下3本全选有种方法，故共有种；

（2）由（1）知，分组后共有60种方法，

分别分给甲､乙､丙的方法共有种；

（3）分三步，先从6本书选2本，再从4本书选2本，剩余的就是最后一份2本书，共有种方法，

该过程出现了重复；

不妨记6本书为､､､､､，若第一步取了，第二步取了，第三步取了，

记该种分法为，，，

则种分法中还有，，､，，､，，､，，､，，，共种情况，

而这种情况仅是､､的顺序不同，因此只能作为一种分法，

故分配方式有种；

（4）由（3）知，分组后有种方法，再分配给3个人，共有分配方式种.

20．已知函数,且．

（1）讨论函数的单调性；

（2）求函数在上的最大值和最小值．

【答案】（1）在上单调递增；在 上单调递减（2）

【详解】试题分析：(1)先求出，由求出 的值，再由得增区间，得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果.

试题解析：(1) 函数 ),.,解得.则 .,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）当时，函数与的变化如下表：

由表格可知：当时，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，，又，可知函数的最大值为，最小值为.

【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值及闭区间上的最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小

21．已知函数在 与处都取得极值.

(1)求实数a，b的值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求实数c的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据在 与处都取得极值得求解即可；

（2）求时的最大值即可.

【详解】（1）因为，所以.

因为函数在与x=1处都取得极值，

所以解得

故，随x的变化情况如下表：

由上表知，在 与x=1处都取得极值，故.

（2）由（1）知，,

当时，可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，为极大值，

又因为，所以为在区间上的最大值.

要使对任意恒成立，只需，解得或，

所以c的取值范围为 .

22．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1．

（1）求f（x）的单调增区间；

（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

【答案】（1）f（x）的递增区间是[lna，+∞）．（2）存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．

【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a＞0的情况，从而求出单调区间；

（2）由f′（x）=ex﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．从而a≥ex在x∈（﹣2，3）上恒成立，从而f（x）在（﹣2，3）上为减函数，得a≥e3．故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．

解 f′（x）=ex﹣a，

（1）若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，

即f（x）在R上递增，

若a＞0，ex﹣a≥0，∴ex≥a，x≥ln a．

因此f（x）的递增区间是[lna，+∞）．

（2）由f′（x）=ex﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．

∴a≥ex在x∈（﹣2，3）上恒成立．

又∵﹣2＜x＜3，∴e﹣2＜ex＜e3，只需a≥e3．

当a=e3时f′（x）=ex﹣e3在x∈（﹣2，3）上，f′（x）＜0，

即f（x）在（﹣2，3）上为减函数，

∴a≥e3．

故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．

【解析】利用导数研究函数的单调性．