2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二下学期第二次月考数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二下学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.

【详解】解：∵，，

∴，

故选：D．

2．已知复数，则z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由复数运算法则可得z代数形式，后可得其虚部.

【详解】，则z的虚部是.

故选：C

3．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值.

【详解】设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且，

又，，

则

由于，所以，

于是可得，，所以椭圆C的离心率.

故选：B.

4．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B．4 C．1 D．

【答案】B

【分析】根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】随机变量服从正态分布，则，

若，则，解得.

故选：B.

5．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（    ）

A．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则

B．甲成绩比乙成绩更稳定

C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差

D．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则

【答案】B

【分析】根据题中折线图的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差和极差的定义逐项分析判断

【详解】对A、B：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故，故A错误，B正确；

对C：极差为样本的最大值与最小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C错误；

对D：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故，D错误；

故选：B.

6．已知函数，则（    ）

A． B． C．7 D．8

【答案】D

【分析】由题可得，令可得，进而即得.

【详解】因为，

所以，

所以，

解得，

则，

故.

故选：D.

7．对两个变量，进行回归分析，得到组样本数据，，，，则下列说法不正确的是（    ）

A．由样本数据得到的回归直线方程必经过样本中心点

B．相关指数越大，残差的平方和越小，其模型的拟合效果越好

C．若线性回归方程为，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位

D．变量，相关性越强，相关系数越接近

【答案】D

【分析】根据线性回归直线的意义，相关指数、相关系数的概念判断．

【详解】回归直线一定过数据的中心点，A正确；

相关指数越大，残差的平方和越小，数据在散点图的点越接近于一条直线，其模型的拟合效果越好，B正确；

线性回归方程为，即变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位，C正确；

变量，相关性越强，相关系数越接近，也可能越接近于，D错．

故选：D．

8．记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知求得公差，得等差数列前项和，结合二次函数知识得最小值．

【详解】设公差为，

则，，

，

所以时，取得最小值．

故选：A．

9．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用定义域可排除AB，用导数讨论函数在上的单调性可排除D.

【详解】易知函数的定义域为，在x<0时，f（x)>0,故AB错误；

当时，，所以

所以函数在上单调递增，故D错误.

故选：C

10．已知不等式组构成的平面区域为，则下列命题中的假命题是（    ）

A． B．

C．， D．，

【答案】D

【分析】先作出不等式组表示的可行域，再通过观察可行域，可得两个目标函数和的取值范围，从而可得答案

【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，

数形结合可知，在处取得最大值，

在处取得最小值，即；

在处取得最大值，在处取得最小值，

即，

观察可知D选项正确，

故选：D．

【点睛】此题考查简单的线性规划，考查全称命题和特称命题的判断，属于基础题．

11．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，构造函数，可得函数在上单调递减，再由其单调性即可求得不等式.

【详解】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，

则，即，即，

所以，即的解集为.

故选：D

12．已知，，，则（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，，再利用导数探讨单调性，即可比较大小作答．

【详解】设，则，从而在上单调递增，

则，即，

设，则，从而在上单调递增，

则，即，

所以．

故选：A．

二、填空题

13．已知，若，则______ .

【答案】

【分析】根据题意求得，结合向量的数量积的运算公式求得的值，得到的坐标，利用向量模的公式，即可求解．

【详解】因为，可得，

又因为，可得，解得，

所以，所以.

故答案为：.

14．若样本数据的标准差为3，则数据的标准差为______．

【答案】6

【分析】根据数据加减一个数以及都乘一个数，对方差的影响规律，即可求得答案.

【详解】因为样本数据的标准差为3，故样本数据的方差为9，

则数据的方差为，

故数据的标准差为6，

故答案为：6

15．如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为________．

【答案】10

【分析】作出过且与垂直的圆柱的截面，它是一个矩形，而由得，所以平面，从而可得点轨迹，求出所围图形面积．

【详解】作母线，，连接，

因为，所以共面，是圆柱的一个截面，

平面，平面，所以，

又由已知得，而，平面，

所以平面，

由得，所以平面，

矩形即为点轨迹，

，则，又，

所以矩形的面积为．

故答案为：10.

16．已知函数有且仅有一条切线经过点.若，恒成立，则实数的最大值是______.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，将所求问题转化为方程的根的问题，求出函数表达式，然后再分离参数，构造函数，利用导数法求最值即可

【详解】因为，所以，设切点为，

由题意，有且仅有一解，即只有一解，

则，解得或（舍），所以，恒成立，即在上恒成立，

当时，，此时；

当时，在上恒成立，

记，则，，

令，则，，

令，得，令，得，

所以在单调递增，在单调递减，

又，所以当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，所以，即，

综上，，所以实数的最大值是

故答案为：

【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法解决时，可以利用多次求导的方法来解决.在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系.

三、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 .

(1)求角的大小；

(2)若，且，求a和c.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，再由余弦定理得，从而可得角的大小；

（2）由正弦定理结合面积公式可得关系，解方程即可得a和c的值.

【详解】（1）中，，

由正弦定理得：，

，即，

由余弦定理得，，

在三角形中，∵，.

（2），由正弦定理得：，

又，，

，.

18．每天锻炼一小时，健康生活一辈子，现在很多年轻人由于诸多原因身体都是处于“亚·健康”状态，为了了解现在的年轻人运动锻炼的状况，某社会机构做了一次调查，随机采访了100位年轻人，并对其完成的调查结果进行了统计，将他们分为男生组、女生组，把每周锻炼的时间不低于5小时的年轻人归为“健康生活”，低于5小时的年轻人归为“亚健康生活”，并绘制了如下2×2列联表.

附：

(1)能否有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关？（运算结果保留三位小数）

(2)用分层抽样的方法在健康生活的45名受采访的年轻人中选取6人参加一次公益活动，需要在这6名年轻人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员均为男性的概率.

【答案】(1)没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关

(2)

【分析】（1）计算，并与表中3.841比较大小得出结果；

（2）列出6名年轻人中随机选取两人的所有基本事件，再找到两名均为男性的事件个数，求其概率即可.

【详解】（1）由，

∵3.030<3.841，

∴没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关；

（2）易得选取参加公益活动的6人为4男2女，

用a，b，c，d，1，2表示此4男2女，则基本事件：，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，

记两名联络员均为男性为事件A，事件A包含6个基本事件，

，

∴两名联络员均为男性的概率为.

19．如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且．

（1）求证：平面；

（2）若是的中点，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析（2）

【分析】（1）利用勾股定理证明，由平面，可得．从而可证得平面

（2）在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形，，．求得，计算的面积，根据到平面的距离是到平面距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算．

【详解】解：（1）证明：平面，∴

在中，

依余弦定理有：，∴

又，∴，即

又，∴平面

（2）在直角梯形中，过作于点，

则四边形为矩形，，．

在中，可得，

，

．，

是的中点，到平面的距离是到平面距离的一半，

．

【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥的换底性及棱锥的体积公式，涉及知识较多，对学生的推理论证能力有一定的要求，属于中档题．

20．已知椭圆的长轴长为4，点在上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与交于，两点，若(为坐标原点)，求的值.

【答案】（1）       （2）

【解析】（1）由题可得，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程；

（2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方程，即可求出k值.

【详解】（1）解：由题意得 ，

又点在上，所以，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）解：设，的坐标为，，依题意得，

联立方程组消去，得.

，所以

，，

，

∵，所以，则，

所以.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.

21．已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；

（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.

【详解】（1）当时，，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以；

（2），则，

当时，，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，此时函数无零点，不合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

又，

由（1）得，即，所以，

当时，，

则存在，使得，

所以仅在有唯一零点，符合题意；

当时，，所以单调递增，又，

所以有唯一零点，符合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；此时，

由（1）得当时，，，所以，

此时

存在，使得，

所以在有一个零点，在无零点，

所以有唯一零点，符合题意；

综上，a的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；

(2)设，直线与曲线相交于两点，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

（2）利用直线的参数方程代入曲线方程，利用一元二次方程根和系数的关系式，转化求解即可．

【详解】（1）直线的参数方程为为参数），消去参数，可得，

的普通方程．

曲线的极坐标方程为．．

曲线的直角坐标方程为．

（2），点在直线，直线的参数方程的标准方程为为参数），

参数方程代入曲线的方程，

并整理得，

可设，是方程的两个实数根，则，．

．