2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.

【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；

对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误；

对于C，向量，为单位向量，则，C正确；

对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.

故选：C.

2．复数为虚数单位）的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由虚数的定义求解．

【详解】复数的虚部是－1．

故选：B．

【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础．

3．若，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对两边同时平方化简化简代入可求出，即可求出与的夹角.

【详解】对两边同时平方可得：，

则，，所以，解得：，

又，故与的夹角为.

故选：C.

4．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数的性质得到最小正周期，进而得到，由图象关于对称，求出，确定函数解析式，代入求值即可.

【详解】由题意得：函数的最小正周期为，

所以，得，所以.

因为的图象关于点对称，所以，

所以，，故，，

又，所以，所以，

所以.

故选：A.

5．若是第二象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由同角三角函数的基本关系求出即可求出，再由两角和的正切公式代入即可得出得出答案.

【详解】因为是第二象限角，且，则，

所以，则.

故选：A.

6．欧拉公式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．复数在复平面上所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据题意，求得复数，写出其对应点的坐标，即可得出答案.

【详解】根据题意，

故其在复平面内对应的点的坐标为在第二象限.

故选：B.

7．若圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解.

【详解】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，母线长为，

所以，解得：，

所以，

所以圆锥高，

所以圆锥的体积为.

故选：B.

8．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.

【详解】由题意，因为，所以，

即，

又由，所以，

由因为，所以，所以，即，

因为，

由余弦定理可得，解得，

则的面积为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.

二、多选题

9．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ）

A．相等的线段在直观图中仍然相等

B．平行的线段在直观图中仍然平行

C．一个角的直观图仍是一个角

D．相等的角在直观图中仍然相等

【答案】BC

【分析】根据斜二测画法分析各选项说法的正误即可.

【详解】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，

平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误；

平行线段在直观图中仍然平行，B正确；

一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确；

如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误.

故选：BC

10．对于两个向量和，下列命题中错误的是（    ）

A．若，满足，且与同向，则 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解.

【详解】对于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A不正确；

对于B中，由，

又由，因为，

所以成立，所以B正确；

对于C中，，所以C不正确；

对于D中，，

所以，所以D不正确.

故选：ACD.

11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．若为锐角三角形，则

D．

【答案】ABC

【分析】根据大边对大角，即可得出A项；根据正弦定理，结合A项，即可得出B项；由已知可推出，根据正弦函数的单调性，即可得出C项；，根据诱导公式化简，即可判断D项.

【详解】对于A项，根据大边对大角，知A项正确；

对于B项，由A知，.

由正弦定理可得，，所以.

由，根据正弦定理可得，

，所以，所以，故B项正确；

对于C项，由已知可得，，所以，

因为正弦函数在上单调递增，所以，故C项正确；

对于D项，，故D项错误.

故选：ABC.

12．已知函数，则（    ）

A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到

B．是函数的一个零点

C．函数在区间上单调递增

D．将函数的图像向左平移个单位，得到函数，则函数是偶函数

【答案】BCD

【分析】根据图象的平移规律可判断AD；计算是否等于0可判断B；求出函数的单调递增区间可判断C.

【详解】对于A，函数的图象可由的图象向左平移个单位可得：

，故A不正确；

对于B，，故B正确；

对于C，令，整理得：，

所以函数在区间上单调递增，故C正确；

对于D，函数的图像向左平移个单位，得到函数，

，则函数是偶函数，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．若点是角终边上的一点，且，则______.

【答案】-4

【分析】由正弦的定义,可得,即可求出的值.

【详解】由题意,,解得.

故答案为:-4.

【点睛】本题考查了利用角的终边上任意一点(除原点)的坐标定义三角函数,属于基础题.

14．已知向量，满足，，与的夹角为，则________．

【答案】

【分析】向量模的平方等于向量的平方，根据该性质计算即可.

【详解】

.

故答案为：.

15．若，则的值为_____.

【答案】

【分析】根据诱导公式化简求值.

【详解】由，

则，

故答案为：.

四、双空题

16．已知三棱锥的棱长均为，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球与三棱锥的三个侧面都相切，则球的半径为_________，球的体积为_________．

【答案】         

【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据对应线段成比例求得球的半径，再求球的体积．

【详解】如图所示：已知三棱锥的棱长均为，所以三棱锥为正四面体，设底面三角形中心为，底面，则，在上，取的中点，作截面，球，球与切于，连结.

题意得 ，

底面的外接圆半径为，

点到平面的距离为 ，

所以 ，

所以

设球的半径为，所以

则，得 .

设球的半径为，则，，又,,

得，

所以球的体积为为

故答案为：；.

五、解答题

17．已知向量，．

(1)若与共线，求实数k的值：

(2)求向量与夹角的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出与的坐标，再利用向量平行的坐标公式计算即可；

（2）利用公式求解即可.

【详解】（1）由已知，，

与共线，

，

解得；

（2）由已知，又，

.

18．（1）已知复数，（是虚数单位）是关于的方程的根，、R，求的值．

（2）若复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点在第二象限，求实数m的集合．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）将复数代入方程中，利用复数相等的充要条件即可求解.

（2）求出共轭复数，由题意可得，解方程即可得出答案.

【详解】（1）复数，（是虚数单位）是关于的方程的根，

则即，

根据复数相等可得，解得：，所以.

（2）复数

对应的点在第二象限，

则对应的点为，

则，解得：

19．在中，角的对边分别为，若．

(1)求角；

(2)若，求的面积最大值，并求对应的的周长．

【答案】(1)

(2)的面积最大值为，此时对应的的周长为.

【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简已知表达式即可得出答案；

（2）由余弦定理结合基本不等式求出的面积最大值，此时，即可求出对应的的周长．

【详解】（1）由正弦定理可得：，

则，

所以，因为，所以，

所以，因为，所以.

（2）因为，，所以，

，所以，

当且仅当时取等，所以，

的面积最大值为，此时对应的的周长为.

20．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，

(1)求圆锥SO的侧面积；

(2)若点是的中点，求三棱锥的体积

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）算出三角锥母线长度，再根据扇形面积公式计算即可；

（2）利用等体积法可知，根据题意找出三棱锥的高和底面积即可.

【详解】（1）圆锥母线长为：，

圆锥侧面扇形弧长为：，

圆锥SO的侧面积为：.

（2）点是的中点，所以为等腰直角三角形，

根据勾股定理可知，

由此可得，

.

21．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．

(1)延长交于点Q（图1），已知求的值；

(2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．求的值．

【答案】(1)1

(2)3

【分析】（1）根据向量共线定理将展开计算即可；

（2）根据向量基本定理将作为基底表示，再根据题意替换成，根据三点共线时基底系数的关系即可解得答案.

【详解】（1）根据向量共线定理可知，由图可知

展开可得，解得，

即.

（2）由题可知，

同理可得：，

由题可知：

，

因为E，O，F三点共线，所以，

化简得.

22．已知函数，．

(1)将函数的解析式整理成的形式，并求的最小正周期；

(2)当，且，求值．

【答案】(1)，的最小正周期为.

(2)

【分析】（1）首先通过三角恒等变换化简成的形式，再进一步求出的最小正周期；

（2）首先配凑，再求出，可求出的值，再由两角和的正弦公式代入求解即可.

【详解】（1）

，

所以的最小正周期为.

（2），则，

因为，，所以，