2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，其中为虚数单位，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用共轭复数的定义即可判定.

【详解】因为，所以，所以对应的点（－1，－2）位于第三象限．

故选：C

2．下列化简不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.

【详解】A选项，

，所以A选项正确.

B选项，

，B选项正确.

C选项，，C选项正确.

D选项，，D选项错误.

故选：D

3．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正切的倍角公式和和角公式计算即可.

【详解】由已知可得，

所以.

故选：B

4．已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可

【详解】

所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，

如图：

又，所以为等边三角形，

，，

向量在向量上的投影数量为：．

故投影向量为.

故选：D．

5．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的运算以及正六边形的性质求得正确答案.

【详解】A选项，，A选项错误.

B选项，设，则是的中点，

则，B选项错误.

C选项，与的夹角为锐角，与的夹角为钝角，

所以，C选项错误.

D选项，设正六边形的中心为，则，

所以，D选项正确.

故选：D

6．若平面向量的夹角为，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用数量积的运算律分别计算每一个选项的向量的数量积即得解.

【详解】解：对于选项A, ,所以该选项不正确；

对于选项B, ,所以，所以该选项正确；

对于选项C, ,所以该选项不正确；

对于选项D, ，所以该选项不正确.

故选：B

7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

【答案】A

【分析】由题设作示意图，应用正弦定理求B，C两点间的距离即可.

【详解】由题设可得如下示意图，且，即，

由图知：，则，又，

所以，则海里.

故选：A

8．已知，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知得、，再由及角的范围即可求角的大小.

【详解】由，则，又，故，

所以，而，则，

，

又，则.

故选：D

二、多选题

9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ）

A．|z|＝ B．z2＝2i

C．z的共轭复数为 D．z是关于x的方程的一个根

【答案】ABD

【分析】利用复数的相关概念以及复数的运算进行计算求解.

【详解】因为，所以，故A正确；

因为，故B正确；

因为z的共轭复数为，故C错误；

因为方程，所以，

所以方程的根为，故D正确.

故选：ABD.

10．下列说法不正确的是（    ）

A．若，则、的长度相等且方向相同或相反

B．若向量，满足，且同向，则＞

C．若，则与可能是共线向量

D．若非零向量与平行，则四点共线

【答案】ABD

【分析】因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D.

【详解】对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向, 因而选项A错误；

对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；

对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；

对于D项，与平行，可能，即四点不一定共线，因而选项D错误．

故选：ABD.

11．已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则周长的最大值为

D．若，则面积的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用两角和差余弦公式可化简已知等式求得，利用正弦定理边化角，结合同角三角函数平方关系可构造方程求得，进而知A正确；将的值代入已知等式可求得，知为等比三角形，得B错误；在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，进而知C正确；设，代入三角形面积公式中，根据二次函数最值的求法可知D正确.

【详解】，

，解得：，

由得：，

，

，解得：（舍）或，

，，A正确；

，，，即，

为等边三角形，，B错误；

，，

在中，由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），

解得：，周长的最大值为，C正确；

设，则，

，

则当时，取得最大值，D正确.

故选：ACD.

12．在平行四边形中，是上一点，，是的中点，且，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．在上的投影向量是

C． D．

【答案】BD

【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；利用投影向量的定义可判断B选项；利用平面向量的线性运算可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，由平面向量数量积的定义可得，A错；

对于B选项，在上的投影向量，B对；

对于C选项，因为，即，可得，①

又因为，即，

可得，②

又①②可得，故，C对；

对于D选项，由可得

，故，D错.

故选：C.

三、填空题

13．已知复数，则的虚部为______．

【答案】

【分析】先化简复数，再求得其共轭复数，然后利用复数的概念求解.

【详解】解：由题意得，

则，所以的虚部为－4，

故答案为：-4

14．若，则____________

【答案】

【分析】利用诱导公式将转化，再由二倍角的余弦公式求解即可.

【详解】由，

故答案为：

15．已知向量，满足，，，则______．

【答案】

【分析】两边平方，求出，从而利用求出答案.

【详解】由可知，即，

又，，解得，

故.

故答案为：.

16．的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，；则的面积为_________.

【答案】

【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，利用三角形的面积公式求得正确答案.

【详解】依题意，，，

由正弦定理得：，

整理得，所以，

所以为锐角且，

同时，解得，所以，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知复数，其中a是实数．

(1)若，求实数a的值；

(2)若是纯虚数，求

【答案】(1)1；

(2).

【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a的值.

（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答.

【详解】（1）复数，则，又a是实数，

因此，解得，

所以实数a的值是1.

（2）复数，，则，

因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，

则，即有，

所以.

18．已知是同一平面内的三个向量，其中

（1）若，且，求的坐标；

（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.

【答案】（1） 或；（2）.

【解析】（1）首先设，根据条件，建立方程组，求的坐标；（2）利用，以及向量数量积的公式求的值.

【详解】（1）设，

则，解得：或，

所以 或，

（2），

，

，

整理为，

解得：

19．已知.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】分析：（Ⅰ）已知等式左边利用正切差角公式化简求出的值，

（Ⅱ）所求式子利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，华为关于的式子，将的值代入计算即可求出值；

详解：

（Ⅰ）∵，

∴

（Ⅱ）原式

点睛：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．

20．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，求塔高.

【答案】

【分析】利用正弦定理求得，解直角三角形求得.

【详解】，

由正弦定理得，

在直角三角形中，，.

21．设函数.

(1)当时，求函数的值域；

(2)的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得

，再根据x的取值，求得值域；

（2）根据第一问求得角，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.

【详解】（1），

，，，函数的值域为．

（2）由（1）知，，

，，，即，

，，

，又，，

，

又，，．

22．如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.

(1)若，求EF的值；

(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；

（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.

【详解】（1）由题意可得，

设，则，

在中，由余弦定理，

则，即，

由正弦定理，可得，

即，可得，

在中，，

，

由正弦定理，可得，

故.

故EF的值.

（2）设，则，

由正弦定理，可得，

在中，由正弦定理，可得，

故的面积

，

∵，∴，∴，

∴，当且仅当，即时，等号成立，

故面积的最小值.