2022-2023学年江苏省南京市玄武高级中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省南京市玄武高级中学高一下学期期中数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省南京市玄武高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．复数的虚部为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的定义判断即可.【详解】复数的虚部为.故选：C.2．已知，则（    ）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】根据正切的两角差公式直接求解即可.【详解】故选：D3．在中，角的对边分别是，若 ，，，则=（　　）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】由余弦定理求解即可.【详解】解：因为，b=3，，所以由余弦定理可得.所以.故选：B.4．已知向量满足，，则=（　　）A．-0.5 B． C．0 D．2.5【答案】C【分析】根据向量的模长结合数量积的运算律即可求得答案.【详解】因为，所以，则.故选：C.5．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的范围，再利用同角三角函数关系求出的值，利用已知角和未知角之间的关系可知，最后用两角差的正弦公式计算即可.【详解】∵,,∴,∴.故选: .6．在ABC中，则cosC=（　　）A． B． C．或 D．-或-【答案】B【分析】利用平方关系得到，再根据A+B+C=π讨论求解.【详解】解：因为，所以，当时，因为，且，所以，又因为，且，所以，所以A+B>π，所以，所以，，.故选：B.7．设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b=3，c=5，则=（　　）A．8 B． C．6 D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用数量积的定义结合圆的性质求解作答.【详解】因为O为△ABC的外心，则，同理，所以.故选：A8．凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，，，，，当变化时，对角线BD的最大值为（　　）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】设，，在△ABC中，根据余弦定理表示，根据正弦定理表示，在△BCD中，由余弦定理表示，化简求得最值.【详解】设，，，，在△ABC中，由余弦定理，得，由正弦定理，得，∴.∵，，，在△BCD中，由余弦定理，得,∴，当，即时，取得最大值，为，即BD的最大值为.故选：C. 二、多选题9．下列各式中，值为的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】熟练掌握二倍角公式 ， ，根据题中式子的特点，选择公式计算即可.【详解】A.；B. ；C. ；D. .故选：BCD10．在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（　　）A．若，则为等腰三角形B．若，则为等腰三角形C．若，，则为等边三角形D．若，，，则有两解【答案】AC【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用正弦定理、二倍角公式可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；利用正弦定理求出的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，若，由正弦定理可得，则，所以，为等腰三角形，A对；对于B选项，因为，由正弦定理可得，因为、中至少有一个是锐角，则，从而可知、均为锐角，由可得，因为、，则、，所以，或，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；对于C选项，因为，，由余弦定理可得，即，所以，，因此，为等边三角形，C对；对于D选项，因为，，，由正弦定理得，所以，不存在，D错.故选：AC.11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（    ）A．△ABC的最短边长为4 B．△ABC的三个内角满足C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC的中线CD的长为【答案】AB【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC的中线：．【详解】因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确；因为，所以，，故B正确；因为，所以，由正弦定理得，，C错误；，所以，故，D错误.故选：AB.12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形的边长为1，是正八边形边上任意一点，则（　　）A．B．在向量上的投影向量为C．若则，为中点D．若在线段（包括端点）上，且，则取值范围[1,2+]【答案】BD【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算性质逐项判断即可.【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则且，所以，A错误；又，，所以，即在向量上的投影向量为，B正确；又，设，所以，因为，则，整理可得，与八边形有两个交点，C错误；若在线段（包括端点）上，设，，所以，，由，可得，则，所以，D正确.故选：BD. 三、填空题13．已知是第三象限角，且，则的值是___________.【答案】/-0.75【分析】根据同角三角函数关系式求得的值，再根据正切二倍角公式求得的值.【详解】因为是第三象限角，且，所以，则，所以.故答案为：.14．已知△ABC的三个内角A、B、C，向量，，且.则角A=___________.【答案】.【分析】根据，由=0求解.【详解】解：因为，，且，则=0，即sinA﹣cosA=0，则tanA=，因为A为三角形的内角，所以A=.故答案为：.15．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________.【答案】【分析】将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得.【详解】因t=2sin18°，则有.故答案为：【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决. 四、双空题16．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若∠BAC=，D为边BC上一点，且AD=1， BD：DC=2c：b，，则tan=___________则b+2c的最小值为 ___________.【答案】     /     /【分析】设，则，利用面积关系可以得到，从而求得tan；再利用面积关系可以得到，再利用基本不等式的代1法即可求解.【详解】设，则，∵AD=1，BD：DC=2c：b，∴，即，化简得，即，故，又，所以，即，∴，当且仅当时取等号，即2b+c的最小值为.故答案为：. 五、解答题17．实数m取什么值时，复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】（1）m1=0或m2=3时， z是实数； （2）m1≠0且m2≠3时， z是虚数；（3）m=2时z是纯数；【详解】试题分析：（1）当m2-3m=0,即m1=0或m2=3时， z是实数； 4分（2）当m2-3m≠0，即m1≠0且m2≠3时， z是虚数； 8分（3）当即m=2时z是纯数； 12分考点：复数的概念．点评：中档题，复数为实数，则虚部为0；复数为纯虚数，实部为0 ，虚部不为0.18．已知向量，.(1)求时，求的值；(2)若与共线，求夹角【答案】(1)(2) 【分析】（1）代入得，根据向量坐标化运算得，利用向量模的公式即可；（2）计算得，利用向量共线得值，再利用向量夹角公式即可得到答案.【详解】（1）∵，当时，，∴，∴.（2），且与共线∴，解得，所以，，所以夹角为.19．在△ABC中，，，点D在BC上，.（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为，求AB的长；【答案】（1）3； （2）9.【分析】（1）先根据同角三角函数关系得再根据正弦定理求得结果，（2）先根据三角形面积公式得，再根据余弦定理得结果.【详解】解：（1）∵,且∴， 正弦定理有，得；（2）∵， ，∴，得， 又∵，由余弦定理得，∴．【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.20．已知，其中（1）求的值（2）求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，可得，两边平方后可得所求．（2）根据题意求出，然后根据求解即可．【详解】（1）因为，所以， 所以，所以． （2）因为，，其中，，， 所以．【点睛】在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解；同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号．21．△ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，请在①；②；③，这三个条件中任选一个，完成下列问题：(1)求角A；(2)若△ABC是锐角三角形，函数，求 的最大值【答案】(1)(2)2 【分析】（1）①切化弦，利用三角恒等变换化简即可；②利用正弦定理边化角化简即可；③先化为正弦式再由正弦定理角化边计算即可；（2）先判定B的范围，再利用三角函数的性质求其范围即可.【详解】（1）若选①：因为，所以，易知，因为，则，所以，因为，所以；若选②：因为，由正弦定理可得，因为，所以，因为，则，所以，因为，所以；若选③：因为，所以,化简可得，由正弦定理可得：，所以由余弦定理可知，因为，所以；（2）因为是锐角三角形，所以，因为，所以，当且仅当，即时,取得最大值为2.22．在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．(1)当时，求的值；(2)当时，求的值；(3)求的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)﹒ 【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得；(2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得；(3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围．【详解】（1）在直角梯形中，易得，，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，故；（2），当时，，设，，则，，∵不共线，∴，解得，即；（3）∵，，∴，＝，由题意知，，∴当时，取到最小值＝，当时，取到最大值，∴的取值范围是．