2022-2023学年江西省赣州市第四中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江西省赣州市第四中学高一下学期期中数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省赣州市第四中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知，，是三个向量，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分性、必要性的定义，结合平面向量模的性质、平面向量的数量积定义直接判断即可.【详解】当成立时，例如当时，，显然两个平面向量的模相等，这两个平面向量不一定相等，因此由成立时，不一定能得到；当时，显然成立，所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了平面向量的定义及加法的运算性质，属于基础题.2．的值为A． B． C． D．【答案】B【分析】原题并不符合两角和差的正余弦展开式，所以先探究下面的公式： 即，；同理，．【详解】.故选B.【点睛】化简求值时要看角的形式，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，通过“凑角法”对“已知角”与“未知角”建立联系，合理选择和、差角，辅助角，倍角（降幂）等方法进行．3．函数在区间上的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式把三角函数关系式化成，根据相应的正弦曲线求值域即可【详解】， ,函数值域为 故选：D【点睛】本题考查利用三角恒等变换求三角函数值域问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.4．是所在平面上一点，若，则是的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论.【详解】因为，则，所以，，同理可得，，故是的垂心.故选：D.5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD：DC：AD＝2：3：6，则∠BAC的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意和直角三角形中正切函数求出tan∠BAD、tan∠CAD，利用两角和的正切函数求出tan∠BAD的值，由∠BAC的范围和特殊角的正切值求出∠BAC；【详解】解：∵BD：DC：AD＝2：3：6，AD⊥BC，∴tan∠BAD＝ ＝ ，tan∠CAD＝ ＝ ，则tan∠BAC＝tan（∠BAD+∠CAD）＝＝1，又∠BAC∈（0，π），则∠BAC＝ ；故选：B．6．已知函数，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，可得出，令，证明出函数在上为减函数，在上为增函数，由此可求得函数在区间上的最大值，即为所求.【详解】令，则，则，令，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，任取、且，则，，则，，，，所以，函数在区间上为减函数，同理可证函数在区间上为增函数，，，.因此，函数的最大值为.故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下：（1）判断或证明函数在区间上的单调性；（2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.7．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等变换化简、、，利用正切函数的单调性以及同角三角函数的基本关系可得出、、的大小关系.【详解】，，，因为，则，即.故选：C.8．若，，下列判断错误的是（     ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.【详解】由选项知，，，令，有，，则，对于A，当时，为第一象限角，且，，，则，A正确；对于B，当时，为第四象限角，且，，，则，B正确；对于C，当时，为第二象限角，且，，，则，C正确；对于D，当时，为第三象限角，且，，，则，D错误.故选：D 二、多选题9．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的可能取值为（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出平移后的函数解析式，再利用正余弦函数的奇偶性计算判断作答.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应解析式为，因函数是奇函数，则，即，当时，，当时，，选项B，D满足，A，C不满足.故选：BD10．设函数，则关于函数说法正确的是（    ）A．函数是偶函数，且函数的对称轴是y轴B．函数的最大值为2C．函数在单调递减D．函数图象关于点对称【答案】BD【分析】利用三角函数的性质对每个选项逐个判断即可【详解】对于A，∴，∵，为偶函数，由，得函数的对称轴为，，所以y轴（即）为其中一条对称轴，故A不正确；对于B，的最大值是，故选项B正确．对于C，求的递减区间，相当于的递增区间，令，解得，所以的递减区间为，无论k取何整数，不包含区间，所以C不正确；由，，解得，，所以函数的对称中心为，可得当时，其图象关于点对称，故D正确；故选：BD．11．已知，，，，下列说法正确的是（    ）A．B．若的最小正周期为，则C．若是的一个对称中心，则的最小值为D．若在上的值域为，则的取值范围是【答案】ACD【分析】由结合向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式求出的解析式，然后逐个分析判断即可【详解】因为，，所以，所以A正确，对于B，当的最小正周期为时，，得，所以B错误，对于C，当是的一个对称中心时，，所以，得，因为，所以的最小值为，所以C正确，对于D，当时，，因为在上的值域为，所以，得，所以D正确，故选：ACD12．已知函数，则下面结论正确的是（    ）A．的对称轴为B．的最小正周期为C．的最大值为，最小值为D．在上单调递减【答案】ABC【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为，当时，即当时，，即，此时，；当时，即当时，，即，此时，.所以，.作出函数的图象如下图中实线所示：对于A选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称，对任意的，，所以，函数的对称轴为，A对；对于B选项，对任意的，，结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B对；对于C选项，由A选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，因为，，所以，，因此，的最大值为，最小值为，C对；对于D选项，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断. 三、填空题13．在平面上，，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值为______.【答案】1【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和平面向量数量积的定义、共线向量的定义、单位向量的定义进行求解即可.【详解】由题意，即，又，是方向相反的单位向量，所以，，所以，即，所以.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义和运算性质，考查了平面向量垂直的性质，考查了共线向量的定义，考查了单位向量的定义，考查了数学运算能力.14．把函数图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则________．【答案】/【分析】由题意将数的图象，向左平移个单位长度，再把所得曲线图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得的图象，可得解析式，由此可得答案.【详解】由题意将数的图象，向左平移个单位长度，得到，再把所得曲线图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得的图象，故 ，故，故答案为：.15．把函数的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称，若在区间上单调递减，则的最大值为___________.【答案】【分析】先由平移后为偶函数求得，再根据的单调递减区间求解即可.【详解】函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，由已知，所得函数的图象关于轴对称，∴为偶函数，∴，即，∵，∴，∴.∵余弦函数的单调递减区间为，∴由，解得，，∴的单调递减区间为，∴当时，在区间上单调递减，又∵在上单调递减，∴，∴，的最大值为.16．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．【答案】4或10/10或4【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.当时，，y＝sinx图像如图：要使在区间上有最小值无最大值，则：或，此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.综上，ω＝4或10.故答案为：4或10. 四、解答题17．已知．(1)求的值﹔(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角正切公式直接求解即可；（2）利用诱导公式化简所求式子，根据正余弦齐次式求法可求得结果.【详解】（1）.（2）原式.18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足tanA＝tanB＝tanC．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为15，求a的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意可得到，，利用三角恒等变换，可知求解，即可求解角的大小.（2）利用正弦定理得出，代入三角形的面积公式，即可求解的值．【详解】（1）由题可知：，则，．在中，．则，解得，或，当时，，则，均为钝角，与矛盾，故舍去，故，则．（2）由可得，，则，所以，．在中有，则，则．得，所以．【点睛】本题考查了正弦定理以及面积公式的应用，熟练掌握公式，审清题意，属中档题.19．已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当方程，有两个不同的实数根时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据图象，求得最小正周期，振幅，结合五点法即可求得所有参数，则问题得解；（2）根据（1）中所求，解得其在区间上的值域，数形结合，即可求得结果.【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，则，，，则，由图象可得，，，则，可得，则，又，得，因此，；（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来，再将所得函数图象向右平移个单位，得到的图象，当-时，，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查由图象求函数解析式，以及三角函数值域的求解，属综合中档题.20．已知向量，，函数.（1）求的单调增区间；（2）求在区间的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根据平面向量的数量积公式求出的表达式，再利用正弦、余弦的二倍角公式 以及两角和的正弦公式，将化为，把看成整体，利用正弦函数的增区间求得；（2）由，求得范围，进而得到的最小值.【详解】（1），由，，得，所以的单调增区间为；（2），，，在上的最小值为．21．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km.(1)求的长度；(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？【答案】(1)km(2)km 【分析】（1）利用余弦定理求得，从而求得的长度（2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度.【详解】（1）联结，在中，由余弦定理可得，，所以，即的长度为；（2）记，则在中，由余弦定理可得：，即，从而所以，则，当且仅当时，等号成立；新建健康步道的最长路程为，故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加22．已知函数，图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，是的一条对称轴，且．(1)求的解析式；(2)将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若存在，，，满足，且（，），求m的最小值；(3)令，，若存在使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)12(3) 【分析】（1）根据题意可得周期，代入可得或，再分别代入判断是否满足即可；（2）先求得，再数形结合分析满足的条件求解即可（3）化简可得，根据可得的解析式与值域，再参变分离得到，结合基本不等式求解即可【详解】（1）由题意，周期，故，，且，即，因为，故或，故或.当时，，故成立；当时，，.综上有（2）由题意，，根据题意，要使m的值尽量小，则要尽量大.又，结合的图象可得，当，，，，，，，，，，，时，m的取值最小为12（3）由（1），所以，当时，，，所以，，所以，，，，，则，由可得，所以，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.