2022-2023学年广东省江门市新会陈经纶中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省江门市新会陈经纶中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】求出共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可得出结果.

【详解】，，

在复平面内对应的点为，在第一象限，

故选：A.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.

【详解】，

故选：B.

3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（）

A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移.

B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移.

C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移.

D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移.

【答案】B

【分析】利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可.

【详解】为了得到函数的图象，先把函数图像的纵坐标不变，

横坐标缩短到原来的倍到函数y＝3sin2x的图象，

再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y＝3sin（2x+）的图象.

故选B．

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．

4．若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形

【答案】C

【详解】试题分析：因为,所以四边形ABCD为平行四边形，又因为,所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.

【解析】向量在证明菱形当中的应用.

点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.

5．，，，且三点共线，则=（    ）

A．8 B．4 C．2 D．1

【答案】A

【分析】由已知可求，由三点共线得,根据向量共线的定理即可求出的值.

【详解】由题得,

因为三点共线,

所以,

所以存在实数,使得,

所以,

所以,解得.

故选：A

6．如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】采用数形结合，根据勾股定理可得球的半径，然后利用球的表面积公式，可得结果.

【详解】根据题意，画图如下：

则，，，

故在中，

，

，.

故选：B

【点睛】本题主要考查球的表面积，属基础题.

7．在中，，．若点满足，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：，故选A．

8．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于

A． B． C．－1 D．－1

【答案】C

【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解.

【详解】在ABC中，由正弦定理得，

∴AC＝100．

在ADC中，，

∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝.

故选：C

【点睛】结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解.

二、多选题

9．下面关于复数，正确的是（    ）

A． B． C．的共轭复数为 D．的虚部为

【答案】ABC

【分析】化简复数之后，即可逐一判断四个选项的对错

【详解】因为

所以

故A正确

故B正确

，故C正确

的虚部为

故D错误

故选：ABC

10．某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有（    ）

A．该圆台的高为

B．该圆台轴截面面积为

C．该圆台的体积为

D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm

【答案】BCD

【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项.

【详解】

如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；

圆台的轴截面面积为，B正确；

圆台的体积为，C正确；

将圆台一半侧面展开，如图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm，底面半径为4cm，侧面展开图的圆心角为，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝8，OP＝4＋2＝6，则，所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为10cm，故D正确．

故选：BCD.

11．已知平面向量，，则正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则在方向上的投影向量是

C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为

D．若，的夹角为，则

【答案】AB

【分析】对于A：根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

对于B：根据向量垂直的坐标表示求出，再根据投影向量的定义计算可得；

对于C：依题意可得且与不同向，即可得到不等式组，解得即可；

对于D：根据夹角公式得到方程，代入检验即可；

【详解】解：因为，，

对于A：若，则，解得，故A正确；

对于B：若，则，解得，所以，

所以，所以，，所以在方向上的投影向量是，故B正确；

对于C：，若与的夹角为锐角，则且与不同向，

即且，解得且，故C错误；

对于D：若，的夹角为，则，（）

整理得，显然当时，上式不成立，故D错误；

故选：AB

12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．当时，的面积最大值为 D．当时，为直角三角形

【答案】BD

【分析】根据正弦定理和余弦定理的边角互化可判断A错误，B正确，结合均值不等式可判断C，根据余弦定理的边的关系，代入可得三边关系满足勾股定理，可判断D.

【详解】，

由正弦定理得：，即，，

由余弦定理得：，

又，，故A错误；B正确，

若，由得，即，当且仅当时取等号，，即面积的最大值为，故C错误；

由得将其代入中得： ，进而得 ， ，故 ，进而可得： ，所以满足 ，故 为直角三角形，D正确.

故选：BD

三、填空题

13．在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=_________________

【答案】

【详解】试题分析：由正弦定理得AC的长度是4．

【解析】本题主要考查正弦定理．

点评：简单题，直接套用公式．

14．若复数为纯虚数，则实数__________．

【答案】3

【详解】分析：根据纯虚数的条件可得出等式，解出即可.

详解：由题可得，故答案为3.

点睛：考查复数的分类，属于基础题.

15．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为__________

【答案】

【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，从而得到原平面图形中的长度，利用梯形的面积公式求解即可.

【详解】

过作于，

在直观图中，，，，

所以，，

故原平面图形的上底为 ，下底，高为，

所以这块菜地的面积为，

故答案为：.

16．在平面四边形中（如图所示），，若点为边上的动点，则的最小值为_____________；    

【答案】/

【分析】以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示建立函数关系求解作答.

【详解】因，则以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，

过点C作于G，作于F，

因为，

所以，即，

于是有，，

则，而，

则有，

设，

所以，

所以，

当时，，

所以的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量的夹角为，且，．

(1)求的值；

(2)求的值；

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）直接利用数量积的定义和运算律求解；

（2）利直接利用模的计算公式求解.

【详解】（1）因为向量的夹角为，且，，

所以.

所以.

（2）.

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．

(1)若，求B；

(2)若，求b．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）用正弦定理求出或，分两种情况进行求解，得到或.

【详解】（1）由余弦定理，得，

又，

∴．

（2）由正弦定理，得，

∵，

∴或．

当时，，

∴；

当时，，

∴．

综上，或．

19．在复平面内三点对应的复数分别为1，，．

(1)求，，对应的复数；

(2)判断的形状，并求的面积．

【答案】(1)，，

(2)直角三角形，2

【分析】（1）求出对应的点的坐标，再根据向量的坐标运算求出结果；

（2）分别求出对应的线段的长，再根据勾股定理即可判断，利用直角三角形的面积公式计算即可.

【详解】（1）三点对应的复数分别为

对应的复数分别为，

，对应的复数为，

，对应的复数为，

，对应的复数为，

（2），，

，为直角三角形

.

20．如图，已知正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO＝1．

(1)求正三棱锥S﹣ABC的体积；

(2)求正三棱锥S﹣ABC表面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；

（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．

【详解】（1）在正三棱锥S﹣ABC中，,

所以.

（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，如图所示，

所以，

在直角三角形SOE中，，

在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，

所以，

则表面积为：．

21．在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且.

(1)求；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；

（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.

【详解】（1）由，故

由正弦定理知：，所以.

因为，所以A为锐角，故；

（2）由（1）及余弦定理知：，

故，故.

由，所以，

所以的面积.

22．在中，角所对的边分别为且的平分线为，若.

（1）当时，求

（2）当时，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由题意得,；从而可得；从而可得；

（2）,从而可得；从而求取值范围..

【详解】解：（1）由题意得,；

故；

故；

故；

（2）；

故

；

∵,∴；

故；

在.

【点睛】本题考查了平面向量的应用即解三角形的应用,属于中档题.