2022-2023学年广西柳州地区民族高级中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年广西柳州地区民族高级中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的乘除运算以及复数的几何意义即可求解.

【详解】，

所以在复平面内对应的点为，

即点位于第二象限.

故选：B

2．已知向量，，若，则（    ）

A．－1 B．6 C．－6 D．2

【答案】B

【分析】利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数.

【详解】向量，，则，

由，得，解得.

故选：B

3．在中，角的对边分别为，若，则（   ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可知，从而得出结果．

【详解】∵，

∴由正弦定理可得：，

，，.

故选：A．

4．如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为，圆柱部分的高为，底面圆的半径为，则该组合体的体积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解.

【详解】依题意可知，底面圆的半径为圆柱部分的高为，圆锥部分的高为，

所以圆柱部分的体积为，

圆锥部分的体积为，

所以该组合体的体积为.

故选：C.

5．在平行四边形中，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为，所以，

所以.

故选：D

6．如图，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角大小等于（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】取的中点，连接，证明，可得即为异面直线与所成角的平面角，从而可得出答案.

【详解】解：取的中点，连接，

因为，，，分别为，，，的中点，

所以，所以，

故即为异面直线与所成的角，

在正方体中，由，，分别为，，的中点，

可知，即为等边三角形，

所以，

即异面直线与所成的角大小等于.

故选：C.

7．设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角，再根据，利用余弦定理化角为边求得边，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案.

【详解】因为，由正弦定理得得，

所以，又，所以，

因为，所以，所以，

由，得，

所以，当且仅当时，取等号，

则，

所以的面积的最大值为.

故选：B.

8．如图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得米，则河的宽度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【分析】先计算，然后使用正弦定理得到，最后可以得到和宽.

【详解】，

，

在中，，

∴，

河宽为米．

故选：B

二、多选题

9．已知，，则下列说法正确的是（   ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若与夹角为锐角，则

【答案】AB

【分析】选项A由向量垂直找出等式解出即可；选项B利用向量共线性质即可；选项C利用向量模的坐标表示出来，然后解不等式即可：选项D由向量夹角及数量积关系即可解决问题.

【详解】对A：若，则，求得，故A正确；

对B：若，则，求得，故B正确；

对C：若，则，解得或，故C错误；

对D：若与夹角为锐角，则且不同向，得且，故D错误.

故选：AB

10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则，是异面直线

D．若，，，则或，是异面直线

【答案】AD

【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；举例说明判断B，C；利用面面平行的定义判断D作答.

【详解】对于A，因，，由线面垂直的性质得，A正确；

对于B，当时，存在过直线m的平面，有，此时必有，即满足，，而，B不正确；

对于C，因，是两个不同的平面，则存在平面，有，即满足，，而直线m，n共面，C不正确；

对于D，因，则，没有公共点，而，，因此直线m，n没有公共点，即或m，n是异面直线，D正确.

故选：AD

11．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（   ）

A．若，则

B．若，，则外接圆半径为10

C．若，则为等腰三角形

D．若，，，则三角形面积

【答案】ACD

【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B,C的正误，利用余弦定理及三角形面积公式可知D正确.

【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；

由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；

因为，所以，即，

整理可得，即，

因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；

因为，，，由余弦定理得，解得，所以，D正确.

故选：ACD.

12．如图，正方体的棱长为，且，分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ）

A．平面

B．

C．直线与平面所成角为

D．点到平面的距离为

【答案】ABD

【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出EF与平面ABCD所成的线面角判断C；使用等积法求点到平面的距离.

【详解】在正方体中，取棱中点，连接，

因为M，N分别为AC，的中点，则，

因此四边形为平行四边形，则平面，

平面，所以平面，A正确；

因为平面，平面，则，所以，B正确；

显然平面，则是与平面所成的角，又，

有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；

等边三角形的面积为，设到平面的距离为，

由得，解得 ，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知数（为虚数单位），且的共轭复数为，则__________．

【答案】

【分析】根据复数模长的性质求解

【详解】由得，所以，即，所以.

故答案为：

14．在中，角，，的对边分别为，，，若的面积，，，则________________．

【答案】

【分析】先由已知解得c=4,再利用余弦定理求出a的值.

【详解】因为，，，所以，解得．在中，由余弦定理可得，所以．

故答案为

【点睛】本题主要考查余弦定理解解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

15．已知四边形 是边长为 的正方形， 延长 至 ，使得 ， 若点 为线段 上的动点， 则 的最小值为___________.

【答案】

【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】如图建立平面直角坐标系,

则 ,

所以 ,

则 .

所以当 时, 取最小值 .

故答案为：

16．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”，其中，当“阳马”即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为_________．

【答案】

【分析】利用棱锥的体积公式结合已知可以求出的值，这样可以求出三棱柱的外接球的直径，最后利用球表面积公式求解即可.

【详解】由已知得

将三棱柱置于长方体中，如下图所示，此时“塹堵”即三棱柱的外接球的直径为，

三棱柱的外接球的体积为.

故答案为：．

【点睛】关键点睛：本题考查了多面体外接球问题，考查了球的表面积公式，对于解决多面体的外接球和内切球的问题，关键在于求得球心的位置和球半径．.

四、解答题

17．已知复数．

（1）若为纯虚数，求实数的值；

（2）若在复平面内对应的点在直线上，求．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用复数的概念得出，解方程即可求解.

（2）将在复平面内对应的点代入直线方程即可求解.

【详解】复数，

实部为，虚部为.

（1）若为纯虚数，则，解得.

（2）由题意可得，

解得.

所以，所以.

18．已知向量，且.

(1)求向量，的夹角；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，求得，利用夹角公式，即可求解；

（2）根据，即可求解.

【详解】（1）由，，可得，解得，

则，

又因为，所以.

（2）由且，

则.

19．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且.

(1)求角；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量垂直得数量积为0，由数量积坐标表示及正弦定理可得角；

（2）根据余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）∵，∴，

由正弦定理得，是三角形内角，，

∴，，是三角形内角，∴；

（2）由余弦定理得：，

又，，，

所以，解得，

则的面积.

20．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.

(1)证明：平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而得到线面平行；

（2）作出辅助线，找到异面直线与所成角，利用余弦定理求出余弦值.

【详解】（1）证明：连接，交的于，连接，

则为的中点，

因为分别是，的中点，

，

平面，平面，

平面；

（2）由（1）得：，

（或其补角）就是异面直线与所成的角，

∵三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，

∴，，，

∴

由余弦定理得：，

故异面直线与所成角的余弦值为.

21．设的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，且.

(1)求角;

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件及正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理，结合三角函数的诱导公式及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；

（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，利用向量的线性运算及向量的模公式，结合向量数量积的定义及基本不等式即可求解.

【详解】（1）由及正弦定理，得，

即，

所以，

因为，

所以即,

因为，

所以，

所以，

因为，

所以.

（2）由（1）知，，

所以,解得.

因为，

所以,

所以,

所以，

当且仅当且即时，等号成立.

所以当时，的最小值为.

22．如图，在四棱锥中，，，，，，，.

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）通过勾股定理，证明出可证得平面.

（2）作，垂足为H，连结，证得为与平面所成的角，在中求即可.

【详解】（1）∵，，，

由勾股定理得：，

中，，

∵，∴，

又因为底面，底面，所以，

又因为且平面，∴平面，

（2）作，垂足为H，连结，

因为平面， 平面，所以，

又因为且平面，所以平面，

所以为与平面所成的角，

中，，

，

所以直线与平面所成角的余弦值为.