2022-2023学年安徽省六安第二中学高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年安徽省六安第二中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省六安第二中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．设复数z满足，则（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念即可求解.【详解】因为复数z满足，则，由共轭复数的概念可知，，所以，故选：C.2．下列说法错误的是（    ）A．若ABCD为平行四边形，则 B．若，，则C．互为相反向量的两个向量模相等 D．【答案】B【分析】根据向量的相关概念和线性运算逐项分析判断.【详解】对于A：若ABCD为平行四边形，则，故A正确；对于B：若，则与任何向量均平行，可得，，但不一定平行，故B错误；对于C：相反向量：模长相等，方向相反的向量互为相反向量，所以互为相反向量的两个向量模相等，故C正确；对于D：因为，故D正确；故选：B.3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）A．先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变B．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变【答案】D【分析】先逆用两角和差的正弦公式化为一角一函的形式，然后根据平移伸缩变换法则作出判定.【详解】函数，所以将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，故选:D．4．已知在平行四边形中，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面向量的线性运算法则求解．【详解】四边形是平行四边形，则，，两式相减除以2得，故选：C．5．若在中，，则三角形的形状一定是（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到结果.【详解】因为在中，，由正弦定理可得，，所以，即，所以，即.所以为等腰三角形.故选:B6．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）A．当时，B．当与方向相同时，C．与角为钝角时，则t的取值范围为D．当时，在上的投影向量为【答案】D【分析】根据平面向量数量积、平行、垂直及投影向量的坐标表示依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，当，有，解得，所以A错误；对选项B，当时，，解得，当时，，，即，与方向相反，故B错误.对选项C，当时，与方向相反，当，解得，所以与角为钝角，则，且，故C错误；对选项D，有时，，所以在上的投影向量为，故D正确.故选：D.7．己知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．【详解】因为，由，故可得，令，可得，则或或或，，因为在上有且仅有三个解，，解得．故选：D.8．已知是边长为的等边三角形，P为所在平面内一点，则的值不可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的线性运算的坐标表示及向量的数量积的坐标表示即可求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设，又，，，则，，.所以，即所以，所以即.所以故选：D. 二、多选题9．已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（    ）A．的共辄复数为 B．当时，为纯虚数C．若，则 D．若，则【答案】CD【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C，结合复数模长公式即可判断D.【详解】A选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A错误，,B选项：当当时，，若，则为为实数，故选项B错误；C选项：易知，，又，则，即，故选项C正确;D选项：由于，则，，，故，选项D正确．故选：CD.10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（    ）A．若，则是锐角三角形B．若，则是钝角三角形C．若，则D．若，，，则此三角形有两解【答案】BCD【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断A；根据余弦定理计算即可判断B；根据正弦定理即可判断CD.【详解】A：由，得，又，所以角A为锐角，但不一定为锐角三角形，故A错误；B：设，由余弦定理，得，又，所以角C为钝角，则为钝角三角形，故B正确；C：因为，，由正弦定理，得(R为外接圆半径)，所以，所以，故C正确；D：由正弦定理，得，即，得，此时三角形有两解，故D正确.故选：BCD.11．已知函数，（）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（    ）A．的最小正周期为B．在区间上单调递增C．的图象关于直线对称D．的图象关于点成中心对称【答案】AC【分析】先根据图象确定出表达式，根据图象的变换写出表达式，然后根据三角函数的性质判断每个选项．【详解】解：根据函数的图象：，解得，根据图象的最低点可得：，当时，，由于，所以.则，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到；纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到.对于A：函数的最小正周期为，故A正确；对于B，由于，所以，根据正弦函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，故B错误；对于C：令（），解得（），即为的对称轴，当，，故C选项正确；对于D：令（），解得（），即为的对称中心为（），令，解得，故不是其对称中心，D选项错误.故选：AC12．（多选）在中，分别是角的对边，为钝角，且，则下列结论中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】利用余弦定理将代入中,化简整理即可判断选项A；利用正弦定理化边为角得,则,化简整理即可判断选项B；利用B选项且可得的范围,进而判断选项C,D【详解】因为,所以由余弦定理得,因此,整理得,故A选项正确；因为,所以由正弦定理得,即,所以,所以,所以,由于是钝角,所以,即,故B选项正确；由于,且,所以,所以,,因此,,故C选项错误,D选项正确故选:ABD【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查利用正弦定理化边为角,考查三角形中角的范围的应用 三、填空题13．设，是两个不共线的向量，且与共线，则实数______．【答案】3【分析】由共线向量定理列方程组可求解.【详解】因为与共线，所以存在实数，使得，即，又因为，是两个不共线的向量,所以有，解得，所以实数的值为3.故答案为：3.14．已知向量的夹角为，，，则=_______．【答案】【分析】根据题意和平面向量的数量积的定义可得，求出的值，展开代入可得.【详解】由题意知，，，.故答案为：.15．已知，则__________【答案】【分析】利用诱导公式及倍角公式变形计算即可.【详解】.故答案为：.16．在中，内角，，的对边分别为，，，边的中点为，线段的中点为，且，则____________.【答案】【分析】由向量的代数运算和数量积公式，可得，再利用同角三角函数的关系及正余弦定理角化边，由计算即可.【详解】边的中点为，线段的中点为，∴，又，∴，即，由同角三角函数的关系及正余弦定理，有：.故答案为： 四、解答题17．已知平面向量，，，且，.（1）求和：（2）若，，求向量与向量的夹角的大小.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）本题首先可根据、得出，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据题意得出以及，然后求出、以及的值，最后根据向量的数量积公式即可得出结果.【详解】（1）因为，，，且，，所以，解得，故，.（2）因为，，所以，因为，，所以，，，，设与的夹角为，则，因为，所以，向量与向量的夹角为.【点睛】本题考查向量平行、向量垂直以及向量的数量积的相关性质，若、且，则，考查通过向量的数量积公式求向量的夹角，考查计算能力，是中档题.18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角B的大小．(2)若．且，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理和同角三角函数之间的基本关系，化简已知等式，求得，可求角B的大小；（2）由已知条件利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求△ABC的面积.【详解】（1）在中，由正弦定理 ，可得，又由，得,因为，所以,则，所以，可得 又因为，所以.（2）因为．且，，由余弦定理：，有，解得，∴.19．已知函数，若函数图像相邻两条对称轴间的距离是．(1)求及单调递减区间．(2)若方程在上有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)；单调递减区间(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后利用题意得到周期，代入周期的计算公式可得，然后代入正弦函数即可求解；（2）结合（1）的结论，求出函数在上的值域即可求解.【详解】（1）因为函数，又因为函数图像相邻两条对称轴间的距离是，所以函数的周期为，所以，则，所以函数，令，解得，所以函数单调递减区间为.（2）由（1）可知：函数，因为，所以，则，所以，所以要使方程在上有解，则.20．如图，在中，，点E为AC中点，点F为BC上的三等分点，且靠近点C，设，．(1)用，表示，．(2)若，且，求BC的长．(3)若EF与CD交于点G，求的值．【答案】(1)(2)3(3) 【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量；(2)根据（1）的结果，利用，即可求解.(3)设，得到，根据三点共线，即可求解.【详解】（1）因为，；（2）因为，所以，所以，由，可得，所以的长为．（3）因为，所以,整理得：，设,所以,又因为三点共线，所以，解得: .所以.21．在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且．(1)求角A的大小；(2)记的面积为S，若，求的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；（2）根据题意可得，，然后得到，再由三角形的面积公式可得，最后结合基本不等式即可得到结果.【详解】（1）因为，即由正弦定理可得，，化简可得，且由余弦定理可得，，所以，且，所以.（2）因为，则可得，所以且，即，当且仅当，即时，等号成立.所以22．某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道，，，以及两条排水沟，，其中，，分别为边，，的中点．（1）若，求排水沟的长；（2）当变化时，求4条人行道总长度的最大值．【答案】（1）（百米）；（2）（百米）．【分析】（1）结合已知图形中角的关系，在和中，分别利用余弦定理表示可求；（2）先设，，，然后由余弦定理可表示，再在中，由正弦定理：，可得，然后结合三角关系及余弦定理表示出四条道路的长度关系式，结合函数的单调性可求最大值．【详解】解：（1）因为，，，所以，所以，因为，所以：，可得：，在中：，在中：，解得：，即排水沟的长为百米；（2）设，，，由余弦定理得：．在中，由正弦定理：，得，连接，在中，，，由余弦定理：，同理：，设，，则，所以，该函数单调递增，所以时，最大值为，所以4条走道总长度的最大值为百米．