2022-2023学年北京市第八中学高一下学期期中练习数学试题含解析

这是一份2022-2023学年北京市第八中学高一下学期期中练习数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市第八中学高一下学期期中练习数学试题 一、单选题1．已知是第三象限角，那么是（    ）A．第二象限角 B．第三象限角C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】D【分析】先写出的范围，再计算出的范围，分是奇数和偶数讨论即可求解.【详解】因为是第三象限角，所以，则，当时，，此时是第二象限角，当时，，即，此时是第四象限角，综上所述：是第三象限角，是第二或第四象限角，故选：D.2．若点在角的终边上，则的值为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：因为，所以，故选D．【解析】任意角的三角函数值．3．sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据角的范围，得到相应三角函数值的范围求解.【详解】解：因为，所以，所以，故选：A4．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作，垂足为，求得，，分别求得扇形的面积和的面积，结合，即可求解.【详解】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，如图所示，过点作，垂足为，可得，可得扇形的面积为，的面积为 ，所以此弧田的面积为.故选：A.5．已知tana=2，则= （    ）A．2 B． C．-2 D．【答案】B【解析】利用二倍角公式，转化为，再利用商数关系求解.【详解】因为tana=2，所以，，，故选：B6．若向量满足：则A．2 B． C．1 D．【答案】B【详解】试题分析：由题意易知：即，，即.故选B.【解析】向量的数量积的应用. 7．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【详解】由，得，整理得，则，因为，所以，又由及正弦定理，得，化简得，所以为等边三角形，故选：B8．若△ABC为钝角三角形，且，，则边c的长度可以为（    ）A．2.5 B．3 C．4 D．【答案】C【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论为最长边和为最长边两种情况，即可得出结论.【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，因此有两种情况：若为最长边，由，可得，又，所以，可得C正确；若为最长边，由，可得，又，所以，此时没有选项符合.故选：C9．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别在和 中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.【详解】解：在中，，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，故选：C10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上的最大值是【答案】D【分析】通过函数图象先求解周期，从而可得值，代入最高点即可求解出值，从而得函数解析式，再利用整体法计算函数的对称轴，函数的单调递减区间以及在区间上的最大值，判断每个选项.【详解】由图可知，，得，故A错误；所以，因为 ，所以，得，因为，所以，所以，则，令，得，所以函数的对称轴为，所以不是函数的对称轴，B错误；，得，所以函数的单调递减区间为，所以函数在上单调递减，C错误；当时，，所以当时，函数的最大值为，故D正确.故选：D 二、填空题11．___________【答案】【分析】用辅助角公式求解即可.【详解】.故答案为：.12．已知向量，，则夹角的余弦值为_________．【答案】【分析】根据条件求出后，可得两向量的数量积与模，然后求夹角的余弦值【详解】，，故13．已知，，则__________．【答案】【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得，．［方法二］： 利用方程思想直接解出，两式两边平方相加得，则．又或，所以．［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式由，可得，则或．若，代入得，即．若，代入得，与题设矛盾．综上所述，．［方法四］：平方关系＋诱导公式由，得．又，，即，则．从而．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得，则或．若，则，即．当k为偶数时，，由，得，又，所以．当k为奇数时，，得，这与已知矛盾．若，则．则，得，这与已知矛盾．综上所述，．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．14．的值为____________.【答案】2【分析】由变形求解.【详解】解：因为，所以，所以，，，，故答案为：215．已知，，，若关于α的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是____________.【答案】【分析】由，结合两角和的正弦公式得到，再根据，，得到，将，转化为，利用数形结合法求解.【详解】解： 由，得，所以，即，因为，，所以或，解得或（舍去），则，即为，即，即，所以，因为，，所以，则，在同一坐标系中作出的图象，因为关于α的方程有两个不相等的实数根，由图象知：. 三、解答题16．已知.（1）化简，并求的值；（2）若，求的值；（3）若，，求的值.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）利用诱导公式化简表达式，并求得的值.（2）利用齐次式的方法，将的表达式化为只含的形式，由此求得的值.（3）利用同角三角函数的基本关系式，先求得的值，根据的符号，求得的值.【详解】（1）由，所以；（2）；（3）由得，，又，所以，所以，又，所以.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．已知，，，，求的值.【答案】【分析】根据题意，分别求得和，结合，即可求解.【详解】由且，可得，又由且，可得，因为，可得，又因为.故答案为：.18．如图，在四边形中，，，，且.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）点在线段上，且，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可．Ⅱ以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得代入各值即可．【详解】（Ⅰ）因为 ，所以  .因为 ，所以 （Ⅱ）因为 ，所以 .因为 ，所以点共线.因为，所以.以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 因为 ，，，所以 .所以 ，.因为 点在线段上，且，所以 所以 .因为 ，所以 .【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．19．在△ABC中，a＝3，，B＝2A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）试比较∠B与∠C的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）∠B＜∠C【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得cosA的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求cosB，进而可求sinB的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值，由于cosB＞cosC，根据余弦函数的图象和性质可求∠B＜∠C．【详解】（Ⅰ）∵a＝3，，B＝2A．∴由正弦定理可得：，∴cosA；（Ⅱ）∵A∈（0，π），可得：sinA，∵B＝2A，∴cosB＝cos2A＝2cos2A﹣1，∴sinB，∵A+B+C＝π，∴cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB，∴cosB＞cosC，又∵函数y＝cosx在（0，π）上单调递减，且B，C∈（0，π），∴∠B＜∠C【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．已知数的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.【详解】（1）由题意，函数因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.故（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.当时，，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域.（3）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即，  其中，即解得所以. 综上，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法；21．已知函数（，，）的部分图像如图所示，点为与轴的交点，点分别为的最高点和最低点，若将其图像向右平移个单位后得到函数的图像，而函数的最小正周期为4，且在处取得最小值．（1）求参数和的值；（2）若点为函数的图像上的动点，当点在之间（包含）运动时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若，是函数图像上的两点，满足与共线，且的中点不在函数的图像上，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）．【分析】（1）根据题意求出表达式，根据题中相关条件即可求得和的值；（2）利用向量基底法的运算法则得出，将恒成立转化为，利用数形结合的手段求出其最小值代入计算即可；（3）由与共线得出，结合表达式计算得到或，，代入检验舍去，的情况，再代入所求式计算即可.【详解】（1）依题意得，，∵函数的最小正周期为4，∴，则．又∵函数在处取得最小值，∴，，即，，又∵，∴取，得．（2），由图像易知，当点与点或点重合时，取到最大值，此时，取到最小值，∵恒成立，∴，解得．（3）由与共线易得，的中点在轴上，∴，即，则或，，化简得或，．当时，的中点，在函数的图像上，不符合题意，舍去，∴，，则.