2022-2023学年北京市第四中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年北京市第四中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知角θ的终边经过点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】注意到在单位圆上，根据三角函数的定义即可求解.

【详解】，故在单位圆上，根据三角函数值的定义，的横坐标的值即为，故.

故选：B

2．已知，，，则（    ）

A． B． C．1 D．0

【答案】A

【分析】根据向量数量积的计算方法计算即可.

【详解】.

故选：A

3．函数，的值域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的值域求解即可.

【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数取得最大值，

又当时，，当时，，

所以函数的最小值为，

所以函数，的值域是.

故选：D.

4．已知为单位向量，其夹角为60，则=

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【详解】

.

故选：B.

5．已知，则（    ）

A．－3 B．1 C．3 D．不存在

【答案】A

【分析】利用两角和的正切公式即可求解.

【详解】因为，

则.

故选：A

6．若，则下列关系中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，在坐标系画出单位圆，并且作出角的正弦线、余弦线和正切线，再由的范围比较三角函数线的大小即可.

【详解】由三角函数线定义作出如图：

是角的终边，圆是单位圆，

则，，，

，

，即.

故选：D

7．如果，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分性必要性的定义，结合向量的运算进行判断.

【详解】若存在负数λ，使得，则，，注意到不一定成立，于是充分性不成立；

若，两边平方可得，，即，

根据数量积的定义，，即，故，夹角为，此时，于是必要性成立.

故“存在负数λ，使得”是“”的必要不充分条件.

故选：B

二、多选题

8．下列命题中的假命题是（    ）

A．函数的图象关于y轴对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数的最小正周期为1

D．函数是奇函数

【答案】ABD

【分析】根据正余弦函数及正切函数的性质注意分析判断即可.

【详解】对于A，，

因为，

所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故A正确；

对于B，当时，，

所以函数的图象关于点对称，故B正确；

对于C，函数的最小正周期为，故C错误；

对于D，，

因为，

所以函数是奇函数，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

9．________．

【答案】/

【分析】利用诱导公式直接计算即可.

【详解】.

故答案为：.

四、双空题

10．已知为第二象限角，且，则______，_____．

【答案】         

【分析】根据商数关系即可求得，利用诱导公式即可求得.

【详解】因为为第二象限角，且，

所以，

.

故答案为：；.

五、填空题

11．若，则________．

【答案】/

【分析】分子分母同时除以即可.

【详解】对待求表达式分子分母同时除以，即.

故答案为：

12．已知点，点，O为原点，则的最小值为_______．

【答案】2

【分析】由题可得，即可得答案.

【详解】由题，，.则.

则当，即时，有最小值2.

故答案为：2

13．当时，函数取得最大值，则θ的一个取值为__________．

【答案】（答案不唯一，只要满足即可）

【分析】先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可得解.

【详解】，

当，即时，函数取得最大值，

所以θ的一个取值可以为.

故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）

六、双空题

14．自出生之日起，一个人的体力、情绪、智力等生理、心理状况就呈周期变化．心理学家经过统计发现，人体节律可以简单地分为体力节律、情绪节律和智力节律，在设计引入一些数据量化后，人的体力、情绪、智力的变化可以近似地分别用函数：，，进行描述，其中变量x为出生之后的时间天数，规定表示出生当天．

（1）情绪节律的时间周期为_____________天；

（2）已知（，2，3），心理学家认为，某年某月某一天对某人来说，若这天他对应的某种节律函数值满足（，2，3），则判断他这天该项人体节律处于高潮期；若这天对应的该节律函数值满足（，2，3）．则判断他这天该项人体节律处于低潮期；若（，2，3），则判断这天他该项人体节律处于临界日．一些心理医生通常就根据“”（，2，3）运算结果的正负情况，对就诊者提出生活学习的活动建议．

小明同学于2007年4月27日出生，那么今天（2023年4月27日）他的人体节律处于高潮期的有_____________．（填序号即可）

①体力节律        ②情绪节律        ③智力节律

注：2007年以来有4个闰年，分别是2008年、2012年、2016年、2020年．

【答案】          ①③

【分析】（1）根据正弦函数的周期性即可得解；

（2）先求出小明同学在2023年4月27日是第多少天，然后在判断的符号即可得解.

【详解】（1）情绪节律对应的函数为，

则周期为天；

（2）小明同学在2023年4月27日是第天，

则，

所以体力节律处于高潮期，

，

所以情绪节律处于低潮期，

，

所以智力节律处于高潮期，

综上所述，①③处于高潮期.

故答案为：；①③.

【点睛】关键点点睛：求出小明同学在2023年4月27日是第多少天，是解决本题的关键.

七、解答题

15．已知向量，，．

(1)求与的值：

(2)求与的夹角；

(3)若，m，，且，求的值．

【答案】(1)，；

(2)；

(3)0

【分析】（1）直接利用平面向量模长的坐标公式计算即可；

（2）直接利用平面向量夹角的坐标公式计算即可；

（3）根据平面向量数量积的坐标公式待定系数计算即可.

【详解】（1）由，

可得，；

（2）设与的夹角为，则

（3）由题意可得，，则，所以.

16．已知函数，从下列两个条件：

①图象的一条对称轴为；

②中任选一个作为已知，并解决下列问题

(1)求出函数的解析式：

(2)用五点法作在一个周期内的图象，并直接写出函数的单调递增区间；

(3)直接写出由的图象经过怎样的图象变换得到的图象．

（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分）

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）若选①，由可得答案；若选②，由

可得答案；（2）分别令可得画图所需5点坐标，即可得图象，后写出单调递增区间即可；（3）由图象变换知识可得答案.

【详解】（1）若选①，则，.

因，则，.此时，；

若选②，则，则，此时.

（2）现列相应表格如下：

则对应五点为.

将其画在同一坐标系下，再用光滑曲线相连可得图象如下：

的单调递增区间为：.

（3）将图象向左平移个单位即可.

17．已知向量，，记．

(1)求方程的解集；

(2)若函数，求在区间上的最值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据数量积得坐标表示结合辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可得解；

（2）先根据二倍角的正弦公式、降幂公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可得解.

【详解】（1），

由，得，

所以或，

所以或，

所以方程的解集为或；

（2）

，

当时，，

所以当.

八、单选题

18．设的内角所对的边分别为，若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据正弦定理求解即可得到所求结果．

【详解】由正弦定理得，

∴．

又，

∴为锐角，

∴．

故选B．

【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题．

19．设函数，则下列说法正确的是（    ）．

A．是偶函数 B．的最小正周期是

C．在区间上是增函数 D．的图象关于点对称

【答案】C

【分析】运用函数奇偶性的定义，结合诱导公式即可判断A；由周期函数的定义，结合诱导公式即可判断B；根据复合函数单调性以及函数单调性规律即可判断C；根据函数的图象即可判断D.

【详解】对于A：的定义域为，

错误；

对于B：

的最小正周期是，B错误；

对于C：，

在上为负，且是减函数

在区间上是增函数，C正确；

对于D：的图象恒在轴上方，

所以的图象不关于点对称，D错误.

故选：C.

20．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】用辅助角公式可将化为，用余弦二倍角公式和诱导公式可将化为后，即可比较大小

【详解】因为，，

又，所以.

故选：D.

九、填空题

21．已知，则_____________．

【答案】/

【分析】利用特殊角的三角函数值，取使得即可.

【详解】由题意，取，则.

故答案为：

22．在中，，，，则______.

【答案】

【解析】利用二倍角的余弦公式可计算出的值，再利用余弦定理可求得边的长.

【详解】由二倍角的余弦公式得，

由余弦定理得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

23．若整数满足不等式，则称为的“亲密整数”，记作，即，已知函数．给出以下四个命题：

① 函数是周期函数且其最小正周期为；

② 函数的图象关于点中心对称；

③ 函数在上单调递增；

④ 方程在上共有个不相等的实数根.

其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）．

【答案】① ④

【分析】①根据周期函数的定义判断；②取两个特殊值计算可判断对称性；

③由②得，从而不单调；④可求出具体的解进行判断即可．

【详解】① ，是周期函数其最小正周期为．正确；

② ，，所以的图象不可能关于点对称，错误；

③ ，因此在不是单调递增的，错误；

④ 根据的定义，在的解为，，，，，，共个，正确．

故答案为：① ④.

十、解答题

24．在中，角所对的边分别为已知.

（1）求A的大小；

（2）如果，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用余弦定理的变形：即可求解.

（2）利用正弦定理求出，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出，由三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）。

由余弦定理可得，

又因为，所以.

（2）由，，

所以，

在中，由正弦定理可得，

所以，

，

所以的面积.

【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.

25．给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．

(1)判断集合是否具有性质？说明理由；

(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；

(3)若集合具有性质，证明：．

【答案】(1)具有，理由见解析

(2)不存在，证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解，

（2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解.

（3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解.

【详解】（1）因为，同理．

又，同理．

所以集合具有性质．

（2）当时，集合中的元素个数为．由题设．    

假设集合具有性质，则

①当时，，矛盾．

②当时，，不具有性质，矛盾．

③当时，．

因为和至多一个在中；和至多一个在中；

和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．

④当时，，不具有性质，矛盾．

⑤当时，，矛盾．

综上，不存在具有性质的集合．

（3）记，则．

若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．

假设存在使得，不妨设，即．

当时，有或成立．

所以中分量为的个数至多有．

当时，不妨设．

因为，所以的各分量有个，不妨设．

由时，可知，，中至多有个，

即的前个分量中，至多含有个．

又，则的前个分量中，含有

个，矛盾．                            

所以．    因为，

所以．

所以．

【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.

对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.