重庆市七校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题（教师版含解析）

2020——2021学年度第二学期期末七校联考

高二数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

3.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 函数的定义域为(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据真数大于0可得、

详解】由题意，，．

故选：C．

2. 的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可求得结果.

【详解】的展开式通项为，

令，解得，

因此，的展开式中的系数为.

故选：C.

3 设随机变量服从正态分布，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布曲线的对称性计算．

【详解】由已知，所以．

故选：B．

4. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为，乙解决这个问题的概率为，那么以为概率的事件是(    )

A. 甲乙两人至少有一人解决了这个问题 B. 甲乙两人都解决了这个问题

C. 甲乙两人至多有一人解决了这个问题 D. 甲乙两人都未能解决这个问题

【答案】C

【解析】

【分析】根据相互独立事件与对立事件的概率公式求解即可

【详解】根据题意，甲解决这个问题的概率为，乙解决这个问题的概率为，

则甲乙同时解决了这个问题为，

事件“甲乙同时解决了这个问题”与事件“甲乙两人至多有一人解决了这个问题”为对立事件，

则甲乙两人至多有一人解决了这个问题的概率为，

故选：C

5. 函数的导函数的图象如图所示，则(    )

A. 是函数的极大值点

B. 在区间上单调递增

C. 是函数的最小值点

D. 在处切线的斜率小于零

【答案】B

【解析】

【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负．

【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，

函数在上单调递减，在上单调递增，是函数极小值点，故A错误，B正确；

∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；

∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确.

故选：B

6. 2021年春节临近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人数激增，为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派三人中至少有1名女医生的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

从8人选3人共有种方法，先的3人中至少有1名女医生的有()种方法，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】解：由题意得，从5名男医生和3名女医生中选派3人共有种方法，而选派的三人中至少有1名女医生的有()种方法，

所以所求概率，

故选：A

7. 设函数是奇函数的导函数，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】引入新函数，确定奇偶性，由导数确定单调性，然后解不等式，转换为或，再求解．

【详解】设，则，是偶函数，

在时成立，所以在上递减，在上递增，

，，

，当时，，，时，，，

综上，不等式的解为．

故选：D．

8. 1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳的含量(单位：太贝克)随时间(单位：年)的衰变规律满足函数关系：，其中为时碳的含量，已知时，碳的含量的瞬时变化率是(太贝克/年)，则(    )太贝克.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数模型列式计算，先求得，再计算．

【详解】由题意，所以．．

所以．

故选：B．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.)

9. 已知函数，则下列说法不正确的是(    )

A. 是非奇非偶函数 B. 是增函数

C. 是周期函数 D. 的值域是

【答案】BC

【解析】

【分析】画出分段函数的图象，由图象可分析奇偶性，单调性，周期性和值域，进而作出判定.

【详解】画出分段函数的图象，如图所示.

由图可知：

可知函数为非奇非偶函数，故A正确；

函数在的部分有增有减，不是单调函数，故B错误；

函数在部分最小正周期为，但是,∴函数在定义域内不是周期函数，故C错误；

函数的最小值为，函数没有最大值，部分值域为部分值域为,∴函数的值域是，故D正确.

∴错误的是，

故选：BC.

10. 下列说法正确的是(    )

A. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量，线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若样本中心点为，则

B. 已知随机变量的数学期望，若，则

C. 用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近，说明模型的拟合效果越好

D. 已知袋中装有大小完全相同的个红球和个黑球，若有放回地从中摸球，用事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到黑球”，则事件与事件是相互独立事件

【答案】ABD

【解析】

【分析】把中心坐标代入回归方程求得参数判断A，根据数据线性变换后均值的关系计算判断B，由相关指数的定义判断C，由独立事件的定义判断D．

【详解】A．由得，A正确；

B．由得，B正确；

C．用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近1，说明模型的拟合效果越好，C错；

D．有放回地摸球，第一次与第二次摸球，摸出什么球，没有任何影响，它们是独立的．D正确．

故选：ABD．

11. 欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：(把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模)，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是(    )

A. 若，则有

B. 若，，则

C. 若，则

D. 设，则在复平面上对应的点在第一象限

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可．

【详解】解：对于，，故正确；

对于，

由棣莫弗定理可知，两个复数，相乘，所得到的复数的辐角是复数，的辐角之和，模是复数，的模之积，

所以的辐角是复数的辐角的倍，模是，故正确；

对于，

，所以，故错误；

对于，

设，故，

故复数 在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故错误．

故选：．

12. 下列命题为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】设，由导数确定函数的单调性，然后对各选项不等式进行变形，结合函数的形式，在变形中有时只要寻找到充分条件即可得不等式成立．注意函数的单调区间．

【详解】设，则，时，，时，，

在上单调递增，单调递减.

所以，选项，成立；

选项 ，而，故，所以不成立；

选项，而，成立

选项，，成立．

故选：ACD．

【点睛】本题考查考查比较对数式、指数式的大小，解题关键是引入函数，由导数确定函数的单调性，把各不等式与函数联系，再利用单调性判断，解题时注意寻找不等式成立的充分条件，不一定是充要条件．

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13. 已知随机变量，则_______________________.

【答案】

【解析】

【分析】利用二项分布的方差求解即可.

【详解】因为随机变量，所以.

故答案为：2.4.

14. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_______________________.

【答案】

【解析】

【分析】分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.

【详解】因为，则，

由题意可知，对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，

当时，，故.

故答案为：.

15. 学校拟安排位老师在今年月日至日端午值班，每天安排人，每人值班天；若位老师中的甲不值日，乙不值日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有__________种.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，分两步进行分析：①将人分为组，要求甲、乙不在同一组；②分类讨论三组的安排方法，结合分步计数原理可得结果.

【详解】根据题意，分以下两步进行分析：

①将人分为组，要求甲、乙不在同一组，有种分组方法；

②若甲所在的组在日值班，有种安排方法，

若甲所在的组在日值班，则乙所在的组必须在日值班，只有种安排方法，

此时，共有种安排方法.

综上所述，不同的安排方法种数为.

故答案为：.

16. 设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.

(1)函数的对称中心为______________；

(2)现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的___________条切线.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】(1)解方程求得，求出的值，即可得出函数的对称中心坐标；

(2)分析出函数的对称中心为，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解方程即可得出结论.

【详解】(1)，则，，

由，可得，且，

故函数的对称中心为；

(2)的图象在点、点处的切线总平行，

所以，点、关于的对称中心对称，故点为函数的对称中心，

又因为直线恒过定点，

所以，函数的对称中心为，即点，

因为，则，，

所以，，解得，即，则.

所以，函数在处的切线方程为，

即，

将点代入切线方程得，整理得，

即，解得或.

故过点的函数的图象的切线有条.

故答案为：(1)；(2).

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知复数满足，的实部与虚部的积为.

(1)求；

(2)设，                       ，求的值.

从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题(2)补充完整，并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)由已知，利用复数的模的计算公式和实部虚部的概念列出方程组，求得m,n的值，进而得解；

(2)根据各个条件，选择其中之一，或者根据复数相等的条件，或者根据复数为纯虚数的条件，或者根据复数的几何意义对应的点的坐标的意义，列出方程组求解即得.

【详解】(1)解：由，

，解得，

所以.

(2)

若选①，由，则，解得

若选②，由题意，解得

若选③，由题意，解得.

18. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为.

(1)求的值以及二项式系数最大的项；

(2)求的值.

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】(1)利用二项式系数和为求得的值，根据二项式系数的性质，中间项系数最大，求得系数最大的项；

(2)令，得；再令,即可求得.

【详解】(1)由题意，，.

，二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项，

即.

(2)令，得.

令，得.

所以.

19. 为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的乒乓球比赛.甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“局胜制”(即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以或获胜方记分，失败方记分；以获胜方记分，失败方记分.已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是.

(1)求比赛结束时恰好打了局的概率；

(2)甲、乙两个班比赛场后，求乙班的积分的分布列及期望.

【答案】(1)；(2)分布列见解析，.

【解析】

【分析】(1)比赛结束时恰好打了局，说明前4局各胜2局，第5局随便哪个胜均结束，由此可得概率；

(2)可能的取值为：，，，，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．

【详解】(1)

(2)随机变量可能的取值为：，，，

所以的分布列为

20. 某传染病感染人群大多数是岁以上的人群，某传染病进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.如果认为超过天的潜伏期为“长潜伏期”，现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，其中岁以上的人群共人，岁以上的人群中潜伏期为“长潜伏期”有人，岁及岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有人.按照年龄统计样本，得到下面的列联表.

(1)完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

(2)以题目中的样本频率视为概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.

附：

【答案】(1)列联表见解析，有；(2).

【解析】

【分析】(1)根据题意计算有关量，可填写列联表，然后进行卡方检验即可；

(2)判定随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式，研究相邻项的比值与1的大小关系，进而研究单调性，从而求得.

【详解】(1)岁以上的人群共人，∴岁及岁以下有400-280=120人，

岁以上的人群中潜伏期为“长潜伏期”有人，∴岁以上的人群中潜伏期为“非长潜伏期”的有280-60=220人，

岁及岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有人，∴50岁及以下潜伏期为“非长潜伏期”有120-80=40人，

∴长潜伏期共有100人，非常潜伏期有300人，列出列联表如下表所示：

依题意，

由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关.

(2)由于个病例中有个属于长期潜伏，以样本频率估计概率，则一个患者属于“长潜伏期”的概率为，

于是，

则

当时，；当时，.

，

故当时，取得最大值.

21. 已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)若是函数的极小值点，求实数的取值范围.

【答案】(1)极大值为，无极小值；(2)

【解析】

【分析】(1)将代入，根据函数单调性与函数极值的关系即可求解.

(2)求出，对进行分类讨论，再根据是函数的极小值点，即可求解.

【详解】解：(1)，

，

，

又

，；，，

即在上单调递增，在上单调递减，

在取到极大值为，无极小值；

(2)由，

当时，，，单调递增；

，，单调递减，

此时是极大值点，不满足题意；

当时，令，得或，

(ⅰ)当时，，，单调递增；

，，单调递减；

，，单调递增；

此时是极小值点，满足题意；

(ⅱ)当时，，无极值点，不满足题意；

(ⅲ)当时，，，单调递增；

，，单调递减；

，，单调递增.

此时是极大值点，不满足题意；

综上所述：的取值范围为.

22. 已知函数.

(1)设曲线在处的切线为，求证：；

(2)若关于的方程有两个实数根，，求证：.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)由导数求出切线方程，然后引入新函数，由导数求得它的最小值是0即证；

(2)不妨设，直线与相交于点，利用通过转换证得，再证，它通过证明完成，只要引入新函数即可证．

【详解】(1)因为，，，在处的切线为即.

令，

于是当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增；

故，所以

(2)不妨设，直线与相交于点，

由(1)知：，则，

从而.

下证：.

由于，所以要证，即证：.

令，，

当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增

，所以成立，当且仅当，时取等号.

由于等号成立的条件不能同时满足，

.

【点睛】本题考查用导数证明函数不等式，证明方法把不等式变形为，然后由导数求得函数的最小值，则可得．对于涉及到方程两个根的不等式，一般是通过两根关系(有是与参数的关系)，进行转化变形为一元不等式，再引入新函数得到证明，本题不等式比较特殊，证明方法是不妨役，然后计算，，两个等号不能同时取得，由此证得不等式成立．