北师大九年级上册数学期中测试卷5（含解析）

北师大九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根

2.  经过某十字路口的行人可以直行、可以左拐、也可以右拐，并且这三种可能性相同，现有甲、乙两人经过该路口，则他们二人恰好一人右拐，另一人直行的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折为折痕，得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是(    )

A. ：      B. ：   C.     D.

4.  已知和是方程的两个根，则代数式的值是(    )

A.     B.      C.     D.

5.  如图，点和分别是的边与上的点，且，，，且，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若，，则矩形的面积为(    )

A.      B.      C.     D.

7.  如图，矩形中，，，动点从出发，以的速度沿向运动，动点从出发，以的速度沿着向运动，当点到达点时，两个点同时停止．则的长为时点的运动时间是(    )

A.  B.  C. 或 D.

8.  下列条件不能判定∽的是(    )

A.       B.     

C.      D.

9.  如图，正方形中，点和分别在边、上，且，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

10.  方程的根是：______．

11.  若，则______．

12.  菱形中，，这个菱形的周长是，则的长是：______．

13.  如图，，，，，，点在上，由点向点方向移动，当与相似时，的值为______．

14.  如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分阴影部分可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解下列一元二次方程：
；                   ．

16.  本小题分
小明和小刚一起做游戏，先制定游戏规则：每人事先从，，，这个数中任意选一个数，然后两人各掷一枚质地均匀的骰子，谁事先选择的数恰好等于二人掷出的点数之和，谁就获胜．如果两人选择的数都不等于所掷点数之和，就再做一次上述游戏，直到决出胜负．小明根据所学习的概率知识知道一定不能选择，那他应该选择哪个数更合适呢？请说明理由．

17.  本小题分
已知，关于的一元二次方程，请完成下面的问题．
若此方程有一个根是，请求出另一个跟及的值．
求证：此方程一定有两个不相等的实数根．

18.  本小题分
如图，这是一张三角形纸片，小红想用这张纸片剪出一个菱形图案，贴在她制作的手抄报，使为菱形的一个内角．
请在图中画出一个符合要求的菱形，并简要说明画图步骤．
根据你的画图步骤，证明你所画的图形是一个菱形．

19.  本小题分
某饮料批发商店平均每天可售出某款饮料瓶，售出瓶该款饮料的利润是元．经调查发现，若该款饮料的批发价每降低元，则每天可多售出瓶．为了使每天获得的利润更多，该饮料批发商店决定降价元销售．
当为多少元时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元？
若按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润能达元吗？若能，请求出的值，若不能，请说明理由．

20.  本小题分
如图，在平行四边形中，和交于点，点在的延长线上，连接交于点，已知，，求的长．

21.  本小题分
如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且．
求证：；
若，，，求的长．

22.  本小题分
如图，四边形是正方形，点是上一点，连接，以为一边作正方形，连接．
求证：；
如图，连接交于点，连接，请探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
                                      

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
该方程有两个不相等的实数根，
故选：．
计算方程根的判别式进行判断即可．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：画树状图为：


共有种等可能的结果数，其中恰好一人右拐，另一人直行的结果数为，
所以恰有一人直行，另一人左拐的概率．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好一人右拐，另一人直行的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．掌握概率公式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由折叠得：，
由题意得：矩形与矩形相似，
，
，
，
，
：：，
故选：．
根据折叠的性质可得：，再根据题意可得：矩形与矩形相似，然后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，翻折变换折叠问题，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，
故选：．
根据根与系数的关系即可解决问题．
本题考查根与系数关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，则有，．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
又，
∽，
，
故选：．
通过证明∽，可得．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，，
，
过作于，则，

，
而，
即，
故选：．
由于矩形的面积等于个的面积，而的面积又等于矩形的一半，所以可得两个矩形的面积关系．
本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示．
当运动时间为时，，，，
．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
的长为时点的运动时间是或
故选：．
过点作于点，当运动时间为时，，，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，，∽，故此选项不合题意；
B、，，∽，故此选项不合题意；
C、不能判定∽，故此选项符合题意；
D、，，，∽，故此选项不合题意．
故选：．
根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，，
，
，
，，
，
，即，
．
故选：．
由正方形的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，利用余角性质可得，铕利用三角形面积法可得答案．
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

10.【答案】， 

【解析】解：，
解得，，．
故答案为：，．
两数相乘等于，则其中一个数为．
本题考查了解一元二次方程的方法，掌握两数相乘等于，则其中一个数为是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
利用比例的基本性质进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

菱形的周长是，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，，
，
．
故答案为：．
由菱形的性质可得，是等边三角形，由，可求的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
 

13.【答案】或或 

【解析】解：设，则，
，，
，
当或时，和相似，
或，
解得：或或，
即或或；
故答案为：或或．
设，则，根据垂直定义求出，根据相似三角形的判定定理得出当或时，和相似，代入后求出即可．
本题考查了相似三角形的判定，解此题的关键是能根据相似三角形的判定得出当或时，和相似．
 

14.【答案】 

【解析】解：设底面长为，宽为，正方形的边长为，根据题意得：
，
解得，，
代入中，得：
，
整理得：，
解得或舍去，
答；剪去的正方形的边长为．
故答案为：．
根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组．
 

15.【答案】解：，
，
则，
或，
，；

原方程可化为：，
则，
则或，
解得，． 

【解析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

16.【答案】解：小明应该选择更合适，理由如下：
列表如下：

由表格可知，共有种等可能的情况，其中数字和为的有种，是最多的，
，
选择获胜的可能性会更大些，
小明应该选择更合适． 

【解析】列表得出共有种等可能的情况，其中数字和为的有种，是最多的，再由概率公式求出数字和为的概率，即可得出结论．
此题考查的是列表法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设此方程的另一个根是，由根与系数关系得：，
，
由，
．
另一个根为，，的值为；
证明：，
，
，
原方程有两个不相等的实数根． 

【解析】设此方程的另一个根是，由根与系数关系得：，，解得即可；
要证明方程有两个不相等的实数根，即证明即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．同时考查了一元二次方程根与系数的关系．
 

18.【答案】解：如图，

作图步骤如下：作的平分线交于点；
在线段上取一点；
作的垂直平分线交于，交于，
连接和，
则四边形是符合条件的菱形．
证明：垂直平分，
，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
四边形是平行四边形
又，
四边形是菱形． 

【解析】作的平分线交于点，在线段上取一点，作的垂直平分线交于，交于，连接和，则四边形是符合条件的菱形；
先证四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质可得，可得结论．
本题考查了菱形的判定和性质，基本作图，掌握菱形的判定是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意可得：，
即，解得：，，
答：当为或元时，利润为元．
令得，即：，
，此方程无实数根．
按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元． 

【解析】利用降价后每瓶的销售利润原来每瓶的销售利润降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，利用平均每天的销售量原销售量，即可得出降价后平均每天的销售量，利用总利润降价后每瓶的销售利润降价后平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
利用总利润降价后每瓶的销售利润降价后平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出原方程没有实数根，即该饮料批发商每天卖出该款饮料的利润不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

20.【答案】解：取的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，，，
∽，
，
，
解得：． 

【解析】首先取的中点，连接，由四边形是平行四边形，可得是的中位线，即可求得与的长，易得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

21.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：，且，，
，
，
，
，
即，解得，
∽，
，
即，
． 

【解析】利用平行四边形的性质得到，则，然后证明∽，则利用相似三角形的性质得到结论；
先利用计算出，则，再由，利用平行线分线段成比例定理计算出，然后利用∽，根据相似比求出的长．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形和四边形是正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，理由如下：
≌，
，，
四边形是正方形，
，
在和中，

≌，
，
，
． 

【解析】由正方形的性质得，，，然后由全等三角形的判定与性质可得出结论；
由全等三角形的性质及正方形的性质可得，然后由全等三角形的判定与性质可得出结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．