2021-2022学年江苏省扬州市宝应县七年级（下）期末数学试卷(含解析)

2021-2022学年江苏省扬州市宝应县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列命题是真命题的是(    )

A. 五边形的内角和是
B. 内错角相等
C. 三角形三条高的交点一定在三角形的内部
D. 三角形的任意两边之和大于第三边

4. 不等式组的解集表示在数轴上正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 我国古代数学经典著作九章算术中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9. 为响应习近平总书记解决“卡脖子”技术的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，将用科学记数法表示为______．
10. 因式分解：______．
11. 命题“如果，那么、互为相反数”的逆命题是______命题填“真”或“假”．
12. 若，则的值为______ ．
13. 若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的边数为______ ．
14. 如图，木棒、与分别在、处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒绕点逆时针旋转到与木棒平行的位置，则至少要旋转______

15. 已知是方程的一个解，则的值是______ ．
16. 已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值为______．
17. 若，且，则的取值范围为______ ．
18. 如图，四边形与均为矩形，点、分别在线段、上若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

19. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 解方程组：；
    解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
21. 已知，求的值．
22. 下面是某同学的一次作业，请仔细阅读并完成后面的问题：
    如图，，求证：．
    证明：已知，
    ，______
    已知，
    等量代换．
    内错角相等，两直线平行．
    请将推理的数学理论依据补充完整，______；
    该同学的推理过程有没有错误？如有错误，请指出是推理几，并写出完整的证明过程．

23. 如图，是的角平分线，在上取点，使．
    求证：；
    若，，求的度数．

24. 若、可以代表一个数或一个代数式，定义运算“”如下：．
    化简：；
    若，求．
25. 已知关于、的方程组的解是求、的值；
    已知关于、的方程组的解是请你运用学过的方法求方程组中、的值．
26. 如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点从、、把数轴分成、、、四部分，点、、对应的数分别是、、，已知．
    
    原点在第______部分填写序号；
    若，，点在、两点之间，，点对应的数为，求的取值范围；
    若，试比较代数式与的大小，并说明理由．
27. 某电器超市销售每台进价分别为元，元的、联众型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：

进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本
求、两种型号的电风扇的销售单价；
若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

28. 在苏科版七年级下册数学教材第章证明中，我们学习了一个定理证明“三角形的内角和是”．
    请你根据你的课堂学习回忆并证明“三角形的内角和是”；如图，在中，求证：
    
    如图，点、、、在一条直线上，求证：；
    
    如图，是的角平分线，是延长线上一点．，，垂足为求证：平分．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
B.，
，必须规定，原变形不一定正确，故此选项符合题意；
C.，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
D.，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、五边形的内角和为，故错误，是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形的三条高的交点可能在三角形的外部或直角顶点上，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
利用多边形的内角和定理、平行线的性质、三角形的高的定义及三角形的三边关系列式计算即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和定理、平行线的性质、三角形的高的定义等知识，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，进而可求出．
本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设有人，买此物的钱数为，
由题意得：，
故选：．
设有人，买此物的钱数为，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
由题意可知，不等式组有解集，
该不等式组的解集是，
不等式组恰有个整数解，
这三个整数解是，，，
，
故选：．
先解出不等式组的解集，然后根据不等式组恰有个整数解，即可得到的取值范围．
本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行二次分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

11.【答案】真 

【解析】解：逆命题为：如果、互为相反数，那么，
这是真命题，
故答案为：真．
把命题的条件和结论互换就得到命题的逆命题，进行判断即可得出答案．
本题考查了命题与定理，掌握把命题的条件和结论互换就得到命题的逆命题是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的运用、整体代入法，分步整体代入计算是解决问题的关键．
先把前两项提取公因式得，整体代入后，再提取公因式，再整体代入，即可得出结果．
【解答】
解：，
，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
一个多边形的外角和为，而每个外角为，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．
本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，，
，，
需要变小，即将木棒绕点逆时针旋转．
故答案为：．
由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，时，，即需要变小，即将木棒绕点逆时针旋转即可．
本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础．
 

15.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
则，
故答案为：．
把方程的解代入到方程中，得到关于的一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入到方程中，得到关于的一元一次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：关于的二次三项式可以写成一个完全平方式，
，
．
故答案为：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

17.【答案】 

【解析】解：由得，
根据可知，
当时，取得最大值，且最大值为，
当时，取得最小值，且最小值为，
所以．
故答案为：．
由得，根据可得，当时，取得最大值，当时，取得最小值，将和代入解析式，可得答案．
 

18.【答案】 

【解析】解：矩形的周长为，
，
，，，
阴影部分的面积，
故答案为：．
由面积关系列出关系式可求解．
本题考查了矩形的性质，利用面积和差关系列出关系式是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】先进行乘方运算，再进行加减法运算．
先进行乘法运算，再进行加减运算．
本题考查了实数的运算，解题关键在于正确计算．
 

20.【答案】解：，
得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
表示在数轴上，如图所示：
． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：

，
当时，原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】两直线平行，内错角相等  两直线平行，内错角相等 

【解析】解：已知，
，两直线平行，内错角相等，
故答案为：两直线平行，内错角相等；
推理错误，
证明：已知，
，两直线平行，内错角相等，
已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行．
根据平行线的性质定理求解即可；
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

23.【答案】证明：是的角平分线，
，
，
，
；
解：，，
，
在中，，，
，
是的角平分线，
． 

【解析】根据角平分线的定义可得，从而求出，再利用同位角相等，两直线平行证明即可；
由中可得到，再根据三角形的内角和等于求出，最后用角平分线求解即可．
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
 

24.【答案】解：由新定义可得：



；
由已知得：
，
，
即，
解得，
答：的值为． 

【解析】根据新定义，列出算式计算即可；
由新定义可得关于的方程，解方程即得的值．
本题考查整式的运算，涉及新定义，解题的关键是理解应用新定义．
 

25.【答案】解：关于、的方程组的解是，
，
解得，
答：的值为，的值为；
在方程组中，设，，则方程组变形为，
方程组的解是，
，
得：，
，
把代入得：，
，
的值是，的值是． 

【解析】将代入即可求出，的值；
设，，根据已知可得，即可解得，的值．
本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的一般方法及整体思想的应用．
 

26.【答案】 

【解析】解：，
、异号，
又数轴上表示数的点在表示数的点的左侧，即，
原点在线段之间，
即在部分，
故答案为：；
，即数轴上的点所表示数是，而，且点在点的左侧，
点所表示的数为，
又点在、两点之间，，点对应的数为，
，
解得，
即的取值范围为；
，即，
，
又，，，
，
，
．
根据，可判断出、异号，进而得出原点的位置即可；
求出点所表示的数，再根据点的位置列不等式组进行解答即可；
利用“作差法”，判断，的符号即可．
本题考查解一元一次不等式组以及数轴表示数，掌握一元一次不等式组的解法是正确解答的前提，理解数轴表示数的意义是解决问题的关键．
 

27.【答案】解：设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元；

设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元；

依题意有：，
解得：，
，
在的条件下超市不能实现利润元的目标． 

【解析】设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解；
设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余元，列不等式求解；
设利润为元，列方程求出的值为，不符合的条件，可知不能实现目标．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
 

28.【答案】解：如图，延长，过点作，
，
，，
又，
；
如图，
．
，
又，
；
如图，
是的角平分线，
，
，，，
，
，
又，
，
即平分． 

【解析】通过作平行线，利用平行线的性质，将三角形的三个内角“集中”到一个顶点处的邻补角即可；
利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得结论；
利用角平分线的定义，三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定和性质可得结论．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，掌握平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．