2021-2022学年江苏省扬州市高邮市七年级（下）期末数学试卷(含解析)

2021-2022学年江苏省扬州市高邮市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如图，的同位角是(    )

A.
B.
C.
D.

2.    计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知，那么下列正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例是(    )

A. ， B. ，一
C. ， D. ，

5.    已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，下列条件：；；；中，不能判断的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，已知，点、分别在、边上，将沿折叠，点落在外部的点处，此时测得，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    将一个按红黄绿蓝紫的顺序依次循环排列的纸环链，截去中间的一部分后，剩下的部分如图所示，则被截去的中间一部分的纸环总数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9.    已知万粒芝麻的质量约克，则用科学记数法表示粒芝麻的质量为______克．
10. 若不等式的解集是，则______．
11. 分解因式：______．
12. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题．填“真”或“假”
13. 若，，则可表示为______ 用含、的代数式表示
14. 若是方程组的解，则与的关系是______ ．
15. 如图，若用五个相同的等腰三角形拼成的五边形图案是正五边形，则这个等腰三角形的顶角度数为______．

16. 如图，已知长方形的长为，宽为，若将长方形向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为______用含、的代数式表示

17. 已知关于的不等式组的解集恰好只有一个整数解，若，均为整数，则的最大值是______．
18. 现有两个边长为的小正方形、和一个边长为的大正方形，如图，小明将两个边长为的小正方形、有部分重叠的放在边长为的大正方形内；如图，小彤将一个边长为的小正方形放在边长为的大正方形外．若图中长方形的面积为，重叠部分的长方形的面积为，则图中阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    因式分解：
    ；
    ．
21. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
22. 本小题分
    如图，方格纸中每个小正方形边长均为，在方格纸内将的点平移至得到．
    画出；
    借助方格画出边上的中线和高；
    四边形的面积为______．

23. 本小题分
    已知，，求下列各式的值：
    ；
    ；
    ．
24. 本小题分
    解不等式组，请结合题意完成本题的解答．
    解不等式得：______；
    解不等式得：______；
    解不等式得：______；
    把不等式、和的解集在下列数轴上表示出来：
    
    从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集为______．
25. 本小题分
    如图，点，，，在的边上，且，．
    求证：；
    若平分，，求的度数．

26. 本小题分
    年月日至日冬季奥运会在北京举行．某商场用元购进“雪容融”摆件和挂件，售完后共获利元．其中“雪容融”摆件每件进价元，售价元；“雪容融”挂件每件进价元，售价元．
    请分别求出该商场购进“雪容融”摆件和挂件的数量．
    商场第二次以原进价购进“雪容融”摆件和挂件，购进“雪容融”摆件的件数不变，而购进“雪容融”挂件的件数是第一次的倍，“雪容融”摆件按原售价出售，而“雪容融”挂件打折销售．若“雪容融”摆件和挂件销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于元，则“雪容融”挂件最低可以打几折？
27. 本小题分
    目：已知关于、的方程组求：若，求值；若，求值．
    问题解决：
    王题解决的思路：观察方程组中、的系数发现，将可得，又因为，则值为______；
    王磊解决的思路：观察方程组中、的系数发现，若将方程组中的与直接进行加减已经不能解决问题，经过思考，王磊将，得，再将得：，又因为，请根据王磊的解题思路求出、及的值．
    问题拓展：
    已知关于，的不等式组，若，求的取值范围．
28. 本小题分
    如图，已知点在四边形的边的延长线上，、分别是、的角平分线，设，．
    如图，若，判断、的位置关系，并说明理由；
    如图，若，、相交于点．
    当，时，则______；
    与、有怎样的数量关系？说明理由；
    如图，若，、的反向延长线相交于点，则______用含、的代数式表示
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据同位角的定义，由图可知的同位角是．
故选：．
根据同位角的定义，可得答案．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．
本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用幂的乘法公式“”求解．
本题考查了同底数幂的乘法运算，直接套用公式即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当，时，，而，
“若，则”是假命题，
故选：．
根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可．
本题考查的命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，
原式





．
故选：．
根据平方差公式变形，将整体代入求值即可．
本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
故不符合题意；
，
，
故符合题意；
，，
，
，
故不符合题意；
，
，
，
故不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由折叠性质知，，，
，
，
，
，
，
故选：．
由折叠性质知，，，再根据平角定义由求得和，再根据三角形内角和定理求得和，由平角定义求得，进而根据角的和差求得．
本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平角的定义，关键是正确应用三角形的内角和定理解题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，可知中间截去的是为正整数，
当，解得，不符合题意，
当时，，不符合题意，
 当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
故选：．
该纸链是的倍数，剩下部分有个，，所以中间截去的是，从选项中数减为的倍数即得到答案．
本题考查了图形的变化规律，从整体是个不同颜色环的整数倍数，截去部分去后为的倍数，从而得到答案．
 

9.【答案】 

【解析】解：粒芝麻的质量为：克．
故答案为：．
根据万粒芝麻质量约，进而求出粒芝麻的质量，再利用绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

10.【答案】． 

【解析】解：，
，
不等式的解集是，
，
解得：．
故答案为．
不等式移项得到，根据解集是，得到，从而求解．
考查了不等式的解集，解不等式依据不等式的性质．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．  

12.【答案】真 

【解析】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命题；
故答案为：真．
根据题意写出逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出所有命题的逆命题，难度不大．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
逆向运算同底数幂的除法法则，结合幂的乘方运算法则计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
，得：，
故答案为：．
将、的值代入方程组得到，然后计算即可得出答案．
本题主要考查二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
五边形是用五个全等的等腰三角形拼成的，
五边形为正五边形，
，
，
，
．
故答案为：．
利用全等三角形的性质和正五边形的定义可判断五边形花环为正五边形，根据多边形的内角和定理可计算出，然后根据三角形内角和求解即可．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：且为整数；多边形的外角和等于，熟记有关知识是解题的基础．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，空白部分是矩形，长为，宽为，
阴影部分的面积，
故答案为：．
利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．
本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：解不等式组得：，
由题意得：，，
解得：，，
；
故答案为：．
先解不等式组，再根据“恰只有一个整数解”列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，找不等关系是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：图中长方形的面积为，重叠部分的长方形的面积为，
，，
解得，，
图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
由图和已知可知：，，依此可求，，进一步可求图中阴影部分的面积．
本题考查了整式的加减，列代数式，关键是求出，的值．
 

19.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂计算即可；
根据多项式乘多项式和完全平方公式展开，去括号，合并同类项即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，多项式乘多项式，完全平方公式，掌握是解题的关键．
 

20.【答案】解：

；


． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

21.【答案】解：原式

，
，
，
原式
． 

【解析】先展开，再去括号，合并同类项，化简后整体代入求值．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握平方差，完全平方公式及去括号，合并同类项法则．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
如图，线段，即为所求；
四边形的面积，
故答案为：．

利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可；
根据三角形的中线，高的定义画出图形即可；
四边形的面积，利用割补法求解．
本题考查作图平移变换，三角形的中线，高等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用割补法求三角形面积．
 

23.【答案】解：



；





；







． 

【解析】利用完全平方公式变形即可得出答案；
利用多项式乘多项式展开求值即可；
将问题转化为同底数幂的乘除法进行计算即可．
本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握以及将问题转化为同底数幂的乘除法的问题是解题的关键．
 

24.【答案】       

【解析】解：解不等式得：；
解不等式得：；
解不等式得：；
把不等式、和的解集在下列数轴上表示出来：

从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集为，
故答案为：，，；．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
．
，
；
解：，，
，
平分，
，
，
． 

【解析】由平行线的性质得，再根据补角性质得，便可由平行线的判定得结果；
先由平行线的性质求得，再由平分线的定义求得，再由平行线的性质求得结果．
本题主要考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，关键是明确平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

26.【答案】解：设该商场购进“雪容融”摆件、“雪容融”挂件分别是件，件，根据题意得：
，
解得：，
答：该商场购进该商场购进“雪容融”摆件件，“雪容融”挂件件；
设“雪容融”挂件最低可以打折，由题意得：
，
解得：，
答：最低打折． 

【解析】设该商场购进“雪容融”摆件、“雪容融”挂件分别是件，件，由题意列出二元一次方程组，则可得出答案；
设“雪容融”挂件最低可以打折，由题意列出一元一次不等式可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：得：，
，
，
．
故答案为：．
，又因为，
，
，，．
已知关于，的不等式组，
得：，
得：，
得：，
，
．
．
将方程组中的两个方程直接相加，整体代换求值．
通过对比得到关于，，的方程组求值．
利用不等式的性质得到关于的不等式，求出的范围．
本题考查二元一次方程组，不等式，根据题意建立适当的方程和不等式是求解本题的关键．
 

28.【答案】   

【解析】解：，
理由如下：
，
，
，
、分别是、的角平分线，
，
；
，，
，
、分别是、的角平分线，
，，
设，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
，
理由如下：
四边形内角和为，
，
、分别是、的角平分线，
，，
设，，
，
，
，
，
，
，
；
，
理由如下：
四边形内角和为，
，
、分别是、的角平分线，
，，
设，，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由先判断，根据平行线的性质得出，再由角平分线的性质证得结论；
根据和的度数，求出，根据角平分线的性质可知，，，设，，利用外角表示即可；
根据和的度数，求出，根据角平分线的性质可知，，，设，，利用外角表示即可；
根据和的度数，求出，根据角平分线的性质可知，，，设，，利用外角表示即可．
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是根据多边形的内角和正确表示出各个角．