2023年贵州省遵义市高考数学第三次模拟试卷（文科）（含解析）

2023年贵州省遵义市高考数学第三次模拟试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在复平面内，复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  如图是年国家财政性教育经费单位：万元和国家财政性教育经费占总教育经费占比的统计图，下列说法正确的是(    )

 

A. 年国家财政性教育经费和国家财政性教育经费占总教育经费占比均最低
B. 国家财政性教育经费逐年增加
C. 国家财政性教育经费占比逐年增加
D. 年国家财政性教育经费是年的两倍

4.  朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中为吸光度，为透光度，为摩尔吸光系数，为吸光物质的浓度单位：，为吸收层厚度单位：现保持，不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的变为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  函数在上的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线任意一点，当取最小值时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知锐角满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知的顶点都在球的球面上，且，，球心到平面的距离为则球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数在处取得极值，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，网格纸上绘制的是某质地均匀内部为空的航天器件的三视图图中小方格是边长为的正方形，该器件由平均密度为的合金制成，则该器件的质量为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  过双曲线：的左焦点作的其中一条渐近线的垂线，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若实数，满足，则的最大值为______ ．

14.  已知平面向量，的夹角为，且，，则______．

15.  等差数列的前项和为，，写出一个满足条件的通项公式______ ．

16.  在中，，为边上一点，且，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
年月日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，开启了月球探测的新旅程为了解广大市民是否实时关注了这一事件，随机选取了部分年龄在岁到岁之间的市民作为一个样本，将此样本按年龄，，，，分为组，并得到如图所示的频率分布直方图．
求图中实数的值，并估计样本数据中市民年龄的众数；
为进一步调查市民在日常生活中是否关注国家航天技术发展的情况，现按照分层抽样的方法从，，三组中抽取了人，再从这人中任意抽取人来讲述自己所了解的中国航天的发展历程，求这人中至少有人的年龄位于之间的概率．

18.  本小题分
已知数列的前项和为，且满足
证明：数列是等比数列；
设，求数列的前项和．

19.  本小题分
如图，棱台中，，底面是边长为的正方形，底面是边长为的正方形，连接，，．
证明：．
求三棱锥的体积．

20.  本小题分
已知函数，其中．
讨论函数的单调性；
若方程有三个根，求的取值范围．

21.  本小题分
已知椭圆：的离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
斜率为的直线交椭圆于，不与重合两点，直线，分别交轴于点，，求证：．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的极坐标方程为．
求的普通方程和的直角坐标方程；
已知点，若直线与曲线相交于，两点，求的值．

23.  本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
已知，，均为正实数，若函数的最小值为，且满足，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
而，
所以．
故选：．
先求出集合，再根据并集的运算即可求出．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故复数对应的点坐标为，
所以位于第四象限．
故选：．
利用复数除法法则计算出，得到对应的点的坐标，得到所在象限．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，显然国家财政性教育经费逐年增加，最低不是年，故A错误，B正确；
对于，国家财政性教育经费占比在年至年逐年下降，故C错误；
对于，年与年的国家财政性教育经费分别为大约万元和不到万元，显然不满足后者是前者的倍的关系，故D错误．
故选：．
由统计图逐一分析即可．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
当保持，不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，
则，
所以，
所以，
所以透光度由原来的变为．
故选：．
根据题中所给公式用表示增加前的，然后再求出增加后的，从而得到答案．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：定义域为，又，
故为奇函数，排除选项，
又，排除选项，
，
因为在上单调递增，在上单调递减，且关于对称，
又，所以，故，
即，排除选项，故D正确．
故选：．
先确定函数的奇偶性，排除，代入特殊点的函数值，排除，得到D正确．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：作如图所示的单位圆，

记，
则，，；
易知；
再由扇形的面积小于的面积知，
；
故BD；
故，
即．
故选：．
由题意作图，结合图形即可求解结论．
本题考查了三角函数线的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，
要求取得最小值，即求取得最小值，
当，，三点共线时最小，此时
故选：．
设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小，进而可推断出当，，三点共线时最小，答案可得．
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得，
即，解得，
又为锐角，所以，
又，即，
解得舍去，
所以，所以．
故选：．
先根据求出，再利用二倍角正切公式求出，再根据两角和的正切公式即可得解．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式及和差角公式的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：已知的顶点都在球的球面上，且，，
则的外接圆的半径，
又球心到平面的距离为，
设球的半径为，
则，
则球的表面积为．
故选：．
由正弦定理，结合球的表面积的求法求解即可．
本题考查了正弦定理，重点考查了球的表面积的求法，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
有，得，，
所以．
故选：．
根据极值点的意义，列式求解即可．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知几何体是圆柱内部去掉一个球，圆柱的底面直径为，高为；
球的半径为，
几何体的体积为：，
器件由平均密度为的合金制成，则该器件的质量为．
故选：．
判断几何体的形状，求解几何体的体积，然后求解器件的质量．
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：
设、为双曲线的渐近线，由题意得，
，
为中点，故为等腰三角形，即，故，
，即的渐近线方程为．
故选：．
由图形的几何性质求渐近线的倾斜角与斜率，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，
此时有最大值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：平面向量，的夹角为，且，，
则．
故答案为：．
利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．
本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则，是基础题．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则有，变形可得，
故只需满足，即可满足，
则数列的通项公式可以为，
故答案为：答案不唯一．
根据题意，设等差数列的公差为，由，变形分析可得，由此举出特例可得答案．
本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的前项和，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，
得，
则，
所以，
则，
当时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
将用表示，再平方可求得，再由结合二次函数得性质即可得解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由，
解得，
众数为；
的人数为，记为，，，
的人数为，记为，，
的人数为，记为，
从这人中任意抽取人，所有基本事件为：
，，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中至少有人的年龄位于之间的基本事件有：，，，，，，，，，共个，
所以所求事件的概率． 

【解析】根据概率之和等于即可求得，由频率分布直方图即可得出众数；
先利用分层抽样的定义求出，，三组中各抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：当时，得．
当时，，两式相减得，
即，
所以数列是以为公比，以为首项的等比数列，
由知，即．
，
则． 

【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：证明：由题意，该棱台是正四棱台．连接交于，以，所在直线为，轴，
经过且垂直于平面的直线为轴，交上底面于，连接，建立空间直角坐标系如图．

根据正四棱台的性质，过作底面的垂线，则垂足在上．
根据题干数据，，，，
为上底面正方形对角线长的一半，
显然，故，，
则，故，
于是，，
则，
所以，
所以；
因为，
所以三棱锥的体积为． 

【解析】建立空间直角坐标系，证明，即可得；
利用求解即可．
本题考查了建模思想、利用空间向量证明直线与直线垂直，用改变顶点法求几何体的体积，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意得函数的定义域为，，
当时，，即在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
在上单调递减，在和上单调递增；
当时，由得或，由得，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
方程有三个根，即有三个根，
有三个根，显然不是方程的根，
则有三个根，即与函数的图象有三个交点，
，令，可得，
由，可得或，由，可得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值为，
当时，，当时，，当时，，当时，，
要使与函数的图象有三个交点，
只需，的取值范围是． 

【解析】对求导，对分类讨论，由导数与单调性的关系即可得解；
方程有三个根，即有三个根，显然不是方程的根，参变量分离可得有三个根，即与函数的图象有三个交点，利用导数求出的单调性，进而可得的范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，已知方程根的个数求参数范围问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
证明：设直线的方程为，
联立，消得，
，解得，
则，
则


，
所以直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，
所以，
所以． 

【解析】根据题意求出，，即可得解；
设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，再证明即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：直线的参数方程为为参数，
直线的直角坐标方程为．
曲线的极坐标方程为，
，
曲线的直角坐标方程为：．
将直线的参数方程为为参数代入曲线的方程，
得：，
，
． 

【解析】直线的参数方程消去参数，能求出直线的直角坐标方程；由曲线的极坐标方程，能求出曲线的直角坐标方程．
将直线的参数方程代入曲线的方程，利用韦达定理由此能求出的值．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于中档题．
 

23.【答案】解：，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，的解集为；
证明：由可知当时，，时取得最小值，
当时，，当时，，时取得最小值，
综上，故，
函数的最小值为，且满足，
则，
故，
，，均为正实数，
，
当且仅当时取得等号，
即，
故． 

【解析】转化为分段函数解不等式即可；
由知，运用基本不等式证明即可．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．