八年级数学北师版下册教案 第1章 三角形的证明 08 课题 三角形三边的垂直平分线及尺规作图

课题　三角形三边的垂直平分线及尺规作图

【学习目标】

1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决问题．

2．学会利用尺规作图求作等腰三角形及过一点作已知直线的垂线．

【学习重点】

理解三角形三边垂直平分线交于一点，利用尺规作图作出相关图形．

【学习难点】

利用尺规作图作出等腰三角形及已知直线的垂线．

一、情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．线段垂直平分线的性质定理和判定定理分别是什么？

答：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

2.

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝24°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE＝54°．

二、自学互研　生成能力

【自主探究】

阅读教材P24的内容，回答下列问题：

三角形三边的垂直平分线有何特征？如何证明？

答：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点距离相等．

已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与BC的垂直平分线相交于点P.

求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等).同理PB＝PC，∴PA＝PB＝PC，∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线过点P.

归纳：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点距离相等．

范例1：在如图所示的区域内建造一个购物中心，要求购物中心到三个小区A、B、C距离相等，这个购物中心应建在什么位置？

答：应建在三边垂直平分线交点处．

仿例：

如图所示，在△ABC中，∠BAC＝76°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAM＝28°．

阅读教材P24－25的内容，回答下列问题：

1．已知三角形的一条边及这边上的高，能画出无数个满足条件的三角形，所画出的三角形不一定全等．

2．已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？

答：能作出1个．

范例2：已知线段a、b.求作：等腰△ABC，使底边BC＝a，高  AD＝b.(保留作图痕迹，不写作法)

解：作图略．

范例3：如何过一点作已知直线的垂线？

答：分为两种情况：(1)过已知直线上一点作已知直线的垂线；(2)过已知直线外一点作已知直线的垂线．

范例4：已知直线l和l外一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P.

解：作法：(1)在直线l与点P的另一侧任取点M，以P为圆心，以PM的长为半径作弧交直线l于A、B两点；(2)分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点 Q；(3)作直线PQ，直线PQ即为直线l的垂线．

归纳：过已知直线上(或直线外)一点，作已知直线的垂线，有且只有一条． 

三、交流展示　生成新知

【交流预展】

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

【展示提升】

知识模块一　三角形三边的垂直平分线

知识模块二　尺规作图

四、检测反馈　达成目标

见《名师测控》学生用书．

五、课后反思　查漏补缺

1．收获：______________________________________

2．存在困惑：______________________________________