北京市东城区2021-2022学年高一上学期数学期末试卷及答案

东城区2021-2022学年度第一学期期末教学统一检测

高 一 数 学

本试卷共4页，满分100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

2022.1

第一部分 (选择题 共30分)

一、选择题共10小题，每小题分，共30分。在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知全集，，那么

A．         B．   C．        D．

2．在直角坐标系中，已知，那么角的终边与单位圆的交点坐标为

A．      B． C．       D．

3．已知实数满足，那么的最大值为

A．          B．    C．         D．

4．函数 的图象大致为            

5．设，则

A．     B．     C．    D．

6．函数的零点所在区间是

A． B． C． D．

7．设，，，则

A．   B．   C．   D．

8．“”是“”的

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充分必要条件       D．既不充分也不必要条件

9．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，列表

如下：

则的解析式为

A．      B．

C．      D．

10．已知函数的定义域是，那么函数在区间上

A．有最小值无最大值                  B．有最大值无最小值

C．既有最小值也有最大值              D．没有最小值也没有最大值

第二部分  (非选择题 共70分)

二、填空题共5小题，每小题3分，共15分。

11．函数的最小值为  ．

12．已知幂函数（是常数）的图象经过点，那么＿＿．

13．已知函数是定义在上的增函数，且，那么实数的取值范围为＿．

14．已知函数 且关于的方程有且仅有一个实数根，那么实数的取值范围为                     ．

15．设函数，则是__（填“奇函数”或“偶函数”）；对于给定的正数T，定义　则当时，函数的值域为          .

三、解答题共6小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题8分）

已知集合，集合．

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）当时，求的取值范围．

17．（本小题10分）

已知函数．

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）若，求在区间上的最大值与最小值，[微信公众号:京师云课堂]并分别写出取得最大值与最小值时的值.

（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

18．（本小题10分）

已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：

条件①：的图象关于点对称；

条件②：的图象关于直线对称．

（Ⅰ）请写出你选择的条件，并求的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求的单调递增区间．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

19. （本小题10分）

已知函数．

（Ⅰ）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；

（Ⅱ）设（为常数）有两个零点 ，且. 当时，求的取值范围.

20．（本小题8分）

人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系，指数模型是经典的城市人口密度空间分布的模型之一．[微信公众号:京师云课堂]该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的。具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况.其中是圈层序号，将圈层序号是的区域称为“环”（时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层；时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里）；是环的人口密度（单位：万人/平方公里）；是常数; ．

下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：

（Ⅰ）求该市2006年2环的人口密度（参考数据，结果保留一位小数）；

（Ⅱ）2016年该市某环的人口密度为市中心人口密度的，求该环是这个城市的多少环．（参考数据：、）

21．（本小题9分）

已知定义在R上的函数满足：

①     对任意实数，有；

②     对任意，有．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）判断并证明函数的奇偶性；

（Ⅲ）若，直接写出的所有零点（不需要证明）．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

东城区2021-2022学年度第一学期期末教学统一检测

              高 一 数 学   参考答案及评分标准

2022.1

第一部分（ 选择题  共30分）          

一、选择题共10小题，每小题分，共30分。在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

第二部分  (非选择题 共70分)

二、填空题本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11．   12．    13．    14．    15．偶函数；

三、解答题本大题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题8分）

已知集合，集合．

（Ⅰ）当时，求;

（Ⅱ）当时，求的取值范围．

解：

（Ⅰ）当时，，; ------------------------------------------4分

（Ⅱ）当时，，解得，

       即                                ---------------------------------------------8分

17．（本小题10分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求不等式的解集；

（Ⅱ）若，求在区间上的最大值与最小值，并分别写出取得最大值与最小值时的值；

（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ） 若，

则.

不等式，即 ，

即 ，

所以，不等式解集为.                     ------------------4分

（Ⅱ）若，则.

图象的对称轴为直线，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，取到最小值，最小值为，

当时，取到最大值，最大值为．-----------------------------------8分

（Ⅲ）当时，，可化为，即，

依题意，在内恒成立，

当时，，

当且仅当，即时取等号，

则当时，的最小值为，

则 ，

则 ，

所以实数的取值范围是．           ----------------------------------------10分

18．（本小题10分）

已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：

条件①：的图象关于点对称；

条件②：的图象关于直线对称．

（Ⅰ）请写出你选择的条件，并求的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求的单调递增区间．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

解：（Ⅰ） 选条件①：由已知， ，则 ，

则 的图象关于点对称.

则 ，即.

由 ，知，

所以 ．                                -----------------------5分

　选条件②：由已知，，则 .

则 的图象关于直线对称.

则 ，即 .

由，知，

所以．                  ---------------------------------------------5分

（Ⅱ）　令 ，

即 ，

即 ，

所以的单调递增区间为 ． ------------------------------10分

19. （本小题10分）

已知函数．

（Ⅰ）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；

（Ⅱ）设（为常数）有两个零点 ，且. 当时，求的取值范围.

（Ⅰ）判断结果：单调递减；                        ---------------------------------------2分

证明：任取，且，有

                   .

      于是，即，

      函数在上是单调递减函数.       ---------------------------------------------6分

（Ⅱ）解：由（1）知，上单调递减，且易知为偶函数.

则上单调递增.

,

的值域是.

令,即.

，

.

.

又,

.                                     ---------------------------------------------10分

20．（本小题8分）

人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系，指数模型是经典的城市人口密度空间分布的模型之一．该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的。具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况。

其中是圈层序号，将圈层序号是的区域称为“环”（时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层；时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里）；是环的人口密度（单位：万人/平方公里）；是常数．

下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：

（Ⅰ）求该市2006年2环的人口密度（参考数据，结果保留一位小数）；

（Ⅱ）2016年该市某环的人口密度为市中心人口密度的，求该环是这个城市的多少环．（参考数据：、）

解：

（Ⅰ）将数值代入可得，

所以该市2006年2环的人口密度为万人/平方公里．------------------4分

（Ⅱ）由题意可得，

将其转化为对数式，得 ．

所以 ．

所以，该环是这个城市的4环．            --------------------------------------------8分

21．（本小题9分）

已知定义在R上的函数满足：

③     对任意实数，都有；

④     对任意，有．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）判断并证明函数的奇偶性；

（Ⅲ）若，直接写出的所有零点（不需要证明）．

解：（Ⅰ）对任意实数，都有，

令 ，

则 .

.

或.

由条件②得，.

.                          -------------------------------------------3分

（Ⅱ）因为，

当时，,

由（Ⅰ）知，

，

又的定义域为R,

为偶函数.                            -----------------------------------------------------7分

（Ⅲ）答：所有零点为.          -------------------------------------------------9分

解答过程参考：

，

当时，，

，

.

.(*)

由②得，，又因为为偶函数，

时，，

则有时，.

在内，只有.

由(*)可得，，，

且在内，只有，.

所有的零点为.