河北省保定市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试 数学试卷

2020-2021学年度第二学期高二年级期末考试 

数学试卷

考试时间：120分钟；满分：150分

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题,每小题5分）

1.设集合，.则的元素个数为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

2.已知，则（    ）

A． B． C.  D．

3.已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（    ）

A． B． C． D．

4.的展开式中的系数为（    ）

A．25 B． C．15 D．

5.已知函数，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

6.向量，满足，．若的最小值为，则（    ）

A．0 B．4 C．8 D．16

7.已知函数，则（    ）．

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C．在上单调递增 D．在上单调递减

8.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过三点的截面面积等于（    ）

A． B． C． D．3

二、多选题（本大题共4小题,每小题5分）

9.设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则      B．若，，则

C．“”的充要条件是“”

D．若，，则复数在复平面上对应的点在第一或第二象限

10.为了解目前某市高一学生身体素质状况，对该市某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是（    ）

参考数据：随机变量，则，，．

A．该校学生体育成绩的方差为10

B．该校学生体育成绩的期望为70

C．该校学生体育成绩的及格率不到85%

D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当

11．已知函数，若存在，使得成立，则（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数满足当时，，当时，．若方程在上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列，则下面的数可能在这个数列中的是（    ）

A． B．2020 C．2021 D．

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题,每小题5分）

13.命题“，成立”的否定为_____           ____.

14．函数的最小值为___________.

15．若存在两个不相等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围是________.

16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为__________；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是__________．

四、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）已知是数列的前项和，，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求．

18. （本小题满分12分）如图，在平面四边形中，已知，.

（1）当､､､共圆时，求的值；

（2）若，求的值.

19. （本小题满分12分）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.

20. （本小题满分12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.

（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？

参考数据(其中)

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.

21. （本小题满分12分）已知点到的距离与它到直线的距离之比为．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若是轨迹与轴负半轴的交点，过点的直线与轨迹交于两点，求证：直线的斜率之和为定值．

22. （本小题满分12分）已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，，且曲线在处的切线方程为，求使不等式成立的的取值范围.

2020-2021学年度第二学期高二年级期末考试

数学答案

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A.

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C．

二、多选题

9. 【答案】AB

10. 【答案】BC

11．【答案】AC

12.【答案】ABC

13. 【答案】，

14．【答案】9

15．【答案】

16.【答案】

由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的两两垂直的棱长为1，如图，该六面体的体积为，

当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，

球心为O，且该球与SD相切，其中D为BC的中点，

过球心O作OE⊥SD，则OE就是球的半径，

，故，

因为，所以球的半径，

所以该球的表面积为.

17.（1）证明，

即．因为，，所以，

故数列是首项为，公比为的等比数列．………………………4分

（2）解：由（1）知．

因为

，所以．

所以，故．………………………10分

18.（1）当､､､共圆时，,则

在中，由余弦定理可得，

在中，由余弦定理可得，

所以,解得.………………………6分

（2）在中，由余弦定理可得，

，解得，则,又，所以，又，所以，

且，

所以.…………………12分

19.（1）如图，在梯形中，因为，

作于，则，所以，

所以，连结，由余弦定理可求得，

因为，所以，

因为平面平面且交于，

所以平面，

因为平面，所以，

因为，，所以平面；………………………6分

（2）连结，由（1）可知，平面，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

因为平面，所以在平面内的射影为，

所以与平面所成的角为，即，

在中，因为，所以，

则，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，故，

设平面的法向量为，故，

所以，由图可知，二面角锐二面角，

故二面角的余弦值为.………………………12分

20.（1）由题意，，

令，设关于的线性回归方程为，则

，

则.∴，

又，∴关于的回归方程为，故时，.

∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；………………………6分

（2）设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局就有胜负.

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴.

∴小明最终赢得比赛的概率为.………………………12分

21.（1）设点，由题意可得．

．………………………4分

（2）由（1）可得，A(-3,0),过点D的直线斜率存在且不为0，

故可设l的方程为，，

由得，

，

，

由于直线过点，所以，

所以（即为定值）. ………………………12分

22.解：（1），

当时，恒成立，函数在上单调递减，

当时，易得当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，………………………4分

（2），

所以，，

即有两个不等式正根，所以，解得，

因为，，

所以，

所以曲线在处的切线方程为

，

即，

令，

，

故在上单调递增，且，

故当时，，即，故的范围.…………………12分