2023年甘肃省武威市中考数学真题

武威市2023年初中毕业、高中招生考试

数学试卷

考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无效.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1.9的算术平方根是（    ）

A. B. C.3 D.

2.若，则（    ）

A.6 B. C.1 D.

3.计算：（    ）

A.2 B. C. D.

4.若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（    ）

A. B. C. D.2

5.如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）

A. B. C. D.

6.方程的解为（    ）

A. B. C. D.

7.如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形.若，，则四边形的面积为（    ）

A.2 B.4 C.5 D.6

8.据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（    ）

A.该小组共统计了100名数学家的年龄

B.统计表中的值为5

C.长寿数学家年龄在92-93岁的人数最多

D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数估计有110人

9.如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于人射角”。为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部,则需要调整平面镜与地面的夹角（    ）

A. B. C. D.

10.如图1，正方形的边长为4，为边的中点.动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止.设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.因式分解：________.

12.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则________（写出一个满足条件的值）.

13.近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录.如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“________米”.

14.如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________.

15.如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________.

16.如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰.而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是________米.（结果保留）

三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（4分）计算：.

18.（4分）解不等式组：

19.（4分）化简：.

20.（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中.请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：

如图，已知，是上一点，只用圆规将的圆周四等分.（按如下步骤完成，保留作图痕迹）

①以点为圆心，长为半径，自点起，在上逆时针方向顺次截取；

②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于上方点；

③以点为圆心，长为半径作弧交于，两点.即点，，，将的圆周四等分.

21.（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：

A.南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B.长征会师胜利之旅（会宁县）；C.西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路.小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路.他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片.

（1）求小亮从中随机抽到卡片的概率；

（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率.

22.（8分）如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）.为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下：

请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离.（结果精确到）

（参考数据：，，，，，）

四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

23.（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用表示，分成6个等级：.；.；.；.；.；.）.下面给出了部分信息：

a.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：

b.八年级学生上学期期末地理成绩在.这一组的成绩是：

15，15，15，15，15，16，16，16，18，18

c.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：________；

（2）若为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有________人；

（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由.

24.（7分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点.

（1）求点的坐标；

（2）用的代数式表示；

（3）当的面积为9时，求一次函数的表达式.

25.（8分）如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点.

（1）求证：是的切线；

（2）当的半径为5，时，求的长.

26.（8分）

【模型建立】

（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上.

①求证：；

②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上.用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

（3）在（2）的条件下，若，，求的值.

27.（10分）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上.点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止.

（1）求抛物线的表达式；

（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由.

（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动.连接，，求的最小值.

武威市2023年初中毕业、高中招生考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11. 12.（答案不唯一，合理即可） 13.

14.35 15. 16.

三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（解法合理、答案正确均可得分）

17.（4分）

解：原式……………………………………………………2分

……………………………………………………3分

.…………………………………………………………4分

18.（4分）

解：解不等式组：

解不等式①，得.……………………………………………………2分

解不等式②，得.…………………………………………………………3分

因此，原不等式组的解集为.…………………………………………4分

19.（4分）

解：原式…………………………2分

………………………………………………3分

.…………………………………………………………4分

20.（6分）

解：

即点，，，把的圆周四等分.……………………………………6分

21.（6分）

解：（1）（小亮抽到卡片）.…………………………………………2分

（2）列表如下：

……………………………………4分

或画树状图如下：

…………………………………………4分

共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片的结果有1种，

所以，（两人都抽到卡片）.………………………………………………6分

22.（8分）

解：过点作，垂足为.………………………………………………1分

由题意得，，，

在中，.………………3分

在中，.………………5分

∵，∴，

∴.…………………………………………………………7分

答：新生物处到皮肤的距离约为.………………………………8分

四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（解法合理、答案正确均可得分）

23.（7分）

解：（1）16；…………………………………………………………………………3分

（2）35；………………………………………………………………………………5分

（3）因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好，（注：写出一个理由即可）…………………………7分

24.（7分）

解：（1）∵点在反比例函数的图象上，

∴，∴.…………………………………………………………2分

（2）∵点在一次函数的图象上，

∴，即.………………………………………………4分

（3）如图，连接.

∵，

∴，

∴，∴，………………………………5分

∴，∴，

∴，……………………………………6分

∴一次函数的表达式为：.……………………………………7分

25.（8分）

（1）证明：∵，∴.

∵，∴.…………1分

∵平分，

∴，

∴.…………………………………………2分

∵，∴，

∴，即.………………………………3分

∵为的半径，

∴是的切线.……………………………………………………4分

（2）连接，得，∴.

∵，∴，

∵，∴，∴.…………………………6分

∵是的直径，∴，

∴，

∴，……………………………………7分

∴，

∴.………………………………8分

26.（8分）

（1）①证明：∵和都是等边三角形，

∴，，，

∴，

∴，………………………………1分

∴.

∴.……………………………………2分

②.理由如下：

∵和关于对称，∴.

∵，∴.

∴.………………………………………………4分

（2）解：.理由如下：

如图，过点作于点，得.

∵和关于对称，

∴，.

∵，∴，∴.

∴.………………………………5分

∵是直角三角形，，

∴，，

∴，

∴，

∴，∴，

∴，∴.

∴，即.……6分

（3）∵，∴，

∵，∴，∴.

如图，过点作于点.

∵，

∴，…………………………7分

.

∴.

∴.…………………………………………8分

27.（10分）

解：（1）∵抛物线过点，

∴，∴，………………………………1分

∴.………………………………………………2分

（2）四边形是平行四边形.理由如下：

如图1，作，垂足为，连接，.

∵点在上，∴，，

连接，∵，∴.………………………………3分

∵，∴.

∴.………………………………4分

当时，.

∴.…………………………………………5分

∵，∴.∴.

∵轴，轴，

∴，∴四边形是平行四边形.………………………………7分

（3）如图2，由题意得，，连接.

在上方作，使得，.

∵，，∴.

∴.

∵，，，

∴，………………………………8分

∴，

∴（当，，三点共线时最短）.

∴的最小值为.…………………………………………9分

∵，

∴，

即的最小值为.………………………………………………10分