精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（解析版）

高一月考数学试题

一、单选题

1. 复数的虚部为（    ）

A. 1 B.  C. 2i D.

【答案】D

【解析】

【分析】依据复数虚部的定义即可求得复数的虚部

【详解】∵的虚部为b，∴的虚部为.

故选：D.

2. 用斜二测法画边长是4的正方形直观图，则所得直观图的面积是（    ）

A.  B. 8 C.  D. 16

【答案】A

【解析】

【分析】根据斜二测画法的规则画出图形，

【详解】根据斜二测画法的规则可知道正方形直观图为平行四边形，

如图，， ，，

该直观图面积为：

.

故选：A.

3. 下列结论中，正确的是（    ）

A. 零向量只有大小，没有方向 B. 若，，则

C. 对任一向量，总是成立的 D.

【答案】D

【解析】

【分析】对于A，根据零向量的定义可判断；对于B，根据向量平行的传递性可判断；对于C，举反例，即可判断；D，根据即可判断.

【详解】对于A，零向量的方向是任意方向的，A错误；

对于B，当时，与可以不平行，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：D

4. 在平行四边形中，是边上中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算进行求解.

【详解】因为是平行四边形的边上中点，所以，

所以，

所以.

故选：C.

5. 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解.

【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有，所以.

该圆锥的底面积与侧面积比值为.

故选：A.

6. 已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列命题正确的是（　　）

A. 若n⊂α，m∥n，则m∥α B. 若n⊂α，m⊥n，则m⊥α

C 若α∥β，m∥α，则m∥β D. 若m⊥β，m⊂α，则α⊥β

【答案】D

【解析】

【分析】可通过分别对线在面内和面外两种情况结合直线与平面平行以及垂直的性质分别进行分析判断即可．

【详解】对于A选项，n⊂α，m∥n，则m∥α或m⊂α，故A错误；

对于B选项，n⊂α，m⊥n，则m⊥α或m⊂α或m∥α或，相交，故B错误；

对于C选项，α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故C错误；

对于D选项，m⊥β，m⊂α，则必有α⊥β，故D正确，

故选：D．

7. 在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】过作于，根据的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围.

【详解】由题设，过作于，如下图示，

则，可得时，三角形有两解.

当，即时，三角形不存在；

当或2时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；

当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；

故选：C

8. 已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积.

【详解】因为，故，

故的内切圆的半径为.

因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.

而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，

故直三棱柱的高为2.

将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，

故外接球的半径为，

故外接球的的表面积为.

故选：D.

二、多选题

9. 下列抽样方法是简单随机抽样的是（    ）

A. 某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表

B. 用抽签的方法产生随机数

C. 福利彩票用摇奖机摇奖

D. 规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖

【答案】BC

【解析】

【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.

【详解】对于A，此为分层抽样；对于B，此为随机数表法；对于C，此为简单随机抽样；对于D，此为系统抽样.

故选：BC.

10. 下列命题中正确的是（    ）

A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

B. 棱柱的面中，至少有两个面互相平行

C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥

D. 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥

【答案】BC

【解析】

【分析】依据棱柱定义判断选项A、B；一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以判断C正确；根据正棱锥定义即可判断D错误.

【详解】

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.

而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误；

由棱柱定义可知棱柱的面中，至少有两个面互相平行，故B正确；

一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确；

一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥,故D错误.

故选：BC.

11. 在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断B，再由韦达定理判断A，根据复数的乘法及共轭复数判断C，再由复数除法判断D.

【详解】因为且实系数一元二次方程的两根为，

所以，可得，故B正确；

又，所以，故A错误；

由，所以，故C错误；

，故D正确.

故选：BD

12. 用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角梯形

C. 正五边形 D. 六边形

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正方体的截面特点，对四个选项一一判断.

【详解】对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.

如图所示的截面三角形.

设，所以，，.

所以由余弦定理得：

所以为锐角.同理可求：为锐角，为锐角.所以为锐角三角形.故A正确.

对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，

可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.

B选

对于C：当截面为五边形时，不可能出现正五边形.

对于D，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形.

故选：BC.

三、填空题

13. 某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．

【答案】8

【解析】

【分析】设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解得高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．

【详解】若设高一学生人数为x，则高二学生人数为x＋300，高三学生人数为2x，所以有x＋x＋300＋2x＝3500，解得x＝800.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为800×＝8.

故答案为：8

14. 在三棱锥中，，．若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】将三棱锥放入下图的长方体中，求出长方体的长、宽、高，可得，代入即可求出球的表面积.

【详解】将三棱锥放入下图的长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，

所以，

三式相加可得：，即：，

三棱锥的外接球即长方体的外接球，

所以，即，

球的表面积为.

故答案为：.

15. 已知向量，，则在方向上的投影向量坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据投影向量公式可得.

【详解】因，为单位向量，

，

所以在方向上的投影向量为，

故答案为：.

16. 已知正方体的棱长为1，点P在该正方体的表面上运动，且则点P的轨迹长度是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据圆的定义可知点的轨迹是在面，，三个面内以1为半径，圆心角为的三段弧，即可由圆的周长公式求解.

【详解】当时，如图，点的轨迹是在面，，三个面内以1为半径，圆心角为的三段弧，所以此时点点P在该正方体的表面上运动的轨迹的长度为，

故答案为：

四、解答题

17. 已知，分别求下列条件下与的数量积.

（1）；

（2）；

（3）与的夹角为；

（4）与的夹角为.

【答案】（1）   

（2）   

（3）   

（4）

【解析】

【分析】根据题意，运用数量积的计算公式逐问求解即可.

【小问1详解】

当时，或，则

【小问2详解】

当时，；

【小问3详解】

；

【小问4详解】

18. 如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．

（1）求该几何体的表面积；

（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）旋转后所得几何体为圆台，由圆台表面积公式进行计算即可；

（2）将圆台侧面沿母线展开求解即可.

【小问1详解】

如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，

形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，

其表面积为.

【小问2详解】

将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，

∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴，

又∵，∴，，

设，则的弧长，∴，

连接，取线段中点，连接，则，

中，，，∴，

∴蚂蚁从点绕着圆台侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段，

.

∴蚂蚁爬行最短距离为．

19. 求解下列问题：

（1）在中，若，，，求角B．

（2）在中，若，，，求边c．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案.

（2）利用正弦定理、三角形的内角和定理求得正确答案.

【小问1详解】

由正弦定理得，

由于，所以为锐角，所以.

【小问2详解】

，

由正弦定理得，，解得.

20. 如图，在直三棱柱中，，，．

（1）求证：；

（2）设与底面ABC所成角的大小为，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由证出，再由线面垂直的性质得出，根据线面垂直的判定定理即可得证；

（2）为与底面ABC所成角，再由等体积法求体积即可.

【小问1详解】

，，，

，

，

又直三棱柱中，平面，

平面，，

又，平面，

平面，

平面，.

【小问2详解】

平面，

在平面上射影为，即为与底面ABC所成角，

，，

.

21. 如图，在中，内角的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，.

（1）求；

（2）求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可求出结果；

（2）根据，，推出，再根据，求出，再根据三角形面积公式可求出结果.

【小问1详解】

由，

根据正弦定理可得，即，

根据余弦定理可得，

因为，所以；

【小问2详解】

因为，且，所以，则，

所以，所以.

所以，即，

在三角形中，，，所以，

故.

22. 在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E和F分别为和的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行；

（2）通过为等腰三角形，推导出即为二面角的平面角，即可求出二面角的余弦值.

【小问1详解】

取的中点M，连接，

∵M，E分别为的中点，

∴是的中位线，

∴且，

又F为的中点，

∴且，

∴且，

∴四边形是平行四边形，

∴平面平面，

∴平面，

【小问2详解】

取的中点N，G，连接，

设，

∴为等腰三角形，

∴，

∵，

∴即，

又平面，平面，平面平面，

∴即为二面角的平面角，

∴，

∴二面角的平面角的余弦值为．