精品解析：江苏省镇江中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（解析版）

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2023镇中高二6月月考一、选择题：本题共8小题，每小题5分分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则（    ）A.  B. 4 C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】由可得，求解即可.【详解】因为，故，故，则，解得：，则.故选：C.2. 设等差数列的前项和为，若，，则（    ）A. 63 B. 36 C. 45 D. 27【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前项和的性质，列式求解.【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，即，，成等差数列，所以，所以.即.故选：C3. 在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先证明四点共面的条件，再根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以不能得到，，，四点不共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，由条件可得，则，，为共面向量，所以与,一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：C．4. 下列说法中正确的是（    ）①若随机变量，则②若随机变量且，则③甲、乙、丙、丁四人到四个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，则④设随机变量X，则，A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③【答案】D【解析】【分析】①，根据二项分布的定义求出概率；②，利用正态分布的对称性进行求解特殊区间的概率；③，利用条件概率公式进行计算；④，根据性质得到.详解】①，，①正确；②，若随机变量，故为对称轴，因为，所以，故，②错误；③，由题意得，，故，③正确；④，设随机变量X，则，，④错误.故选：D5. 已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）  A. 在上单调递增B. C. 曲线在处的切线的斜率为0D. 至多有3个零点【答案】D【解析】【分析】由导函数图像得出原函数的单调性，即可判断选项.【详解】设，且．由图可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．所以在上先递减后递增，A错误；，B错误，曲线在处的切线的斜率为，且，C错误；由零点存在性定理以及单调性可知，函数至多有3个零点，D正确.故选：D6. 若的展开式中的系数为20，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.【详解】，的通项公式为，令，得（舍），令，得，依题意得，得.故选：B7. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学排队，若丙在甲、乙的中间（可不相邻），则不同的排法有（    ）种.A. 20 B. 40 C. 60 D. 80【答案】B【解析】【分析】满足条件的排法可分步完成，第一步，从五个位置中任取三个位置，并将甲，乙，丙排入其中，第二步，将丁，戊排入余下的两个位置，结合排列组合知识及分步乘法计数原理可得结论.【详解】满足条件的排法可分步完成，第一步，从五个位置中任取三个位置，并将甲，乙，丙排入其中，有种方法，第二步，将丁，戊排入余下的两个位置，有种方法，由分步乘法计数原理可得共有种排法，故选：B.8. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 3【答案】A【解析】【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.【详解】∵  抛物线的方程为，∴  ，抛物线的准线方程为，∵ 方程可化为，∴过定点，设，设的中点为，则，因为，为垂足， ∴，所以，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，过点作准线的垂线，垂足为，则,∴ ,，又，当且仅当三点共线且之间时等号成立，∴ ，过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，所以的最小值为，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符得合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．月份代码x12345碳酸锂价格y0.50.811.21.5若y关于x的经验回归方程为，则下列说法中正确的有（    ）A. y与x的样本相关系数 B. C. 经验回归方程经过点 D. 由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.84【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，由相关系数的计算公式即可判断A，由经验回归方程必过样本中心即可判断BCD.【详解】由题意可得，，，，，，则与的样本相关系数.故A错误；由关于的经验回归方程为恒过样本中心点，则有，解得，故B正确，C正确；由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确；故选：BCD10 已知，则（    ）A. 展开式中所有项的系数和为 B. 展开式中二项系数最大项为第1012项C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】选项A，令，由此即可求解；选项B，根据的值以及二项式系数的性质即可求解；选项C，分别令，，建立方程即可求解；选项D，先对已知关系式求导，然后令，即可求解.【详解】选项A，令，则展开式的各项系数和为，A 选项正确；选项B，因为，所以展开式中二项式系数最大项为第1012项与第1013项，B选项错误；选项C，令，则，令，则，所以，C选项正确；选项D，已知关系式两边同时取导，则，令，则，D选项错误；故选：AC.11. 已知随机事件的概率分别为，且，则（    ）A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互对立C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根据题意可求得再利用条件概率公式可得，由相互独立事件的定义可知，即事件与事件相互独立；显然，即事件与事件不是相互对立事件；由概率的加法公式和条件概率公式计算可得C正确，D错误.【详解】对A，根据题意可得由条件概率公式可得，又所以，又易知，所以；即满足，所以事件与事件相互独立，即A正确；对B，又，不满足，所以事件与事件不是相互对立事件，即B错误；对C，易知，即C正确；对D，由条件概率公式可得，所以D错误.故选：AC12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）A. 直线平面B. 三棱锥的体积为定值C. 异面直线与所成角的取值范围是D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为___________.【答案】0.957##95.7%【解析】【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.【详解】设=“取到合格品”，=“取到的产品来自第i批”（i=1，2），则，，由全概率公式得：.故答案为：0.95714. 在平行六面体中，，且，则的余弦值是________.【答案】##【解析】【分析】利用空间向量基本定理，得到，求出，，再由向量夹角公式求的余弦值.【详解】由题设，可得如下示意图，  ∴，设，则，又，所以，，，所以以.，所以故答案为：.15. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于0.683，至少要测量__________次.（附：若，则）【答案】16【解析】【分析】依题意根据正态曲线的性质，即可得到不等式，解得即可.【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在内的概率不小于0.683，则且，，所以，可得.故答案为：16.16. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上一点，直线与直线交于点，的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的6倍，则椭圆的离心率是______.【答案】【解析】【分析】利用垂直关系而得出，利用内角平分线定理.利用面积比值得出结论。【详解】由题意知，，，，当时，.由，得，.又的角平分线与直线交于点，可知，所以.，解得，椭圆的离心率是.故答案为：.四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知为数列的前项和，且满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.【答案】（1）证明见详解；    （2）【解析】【分析】（1）已知与的关系求解，然后证明即可；（2）由（1）求出，进而由裂项相消法求出数列的前项和，求解不等式即可.【小问1详解】当时，，解得：.当时，，所以，即，所以所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，所以，..所以时，即，所以，所以的最大值为.18. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：ChatGPT应用的广泛性服务业就业人数的合计减少增加广泛应用601070没广泛应用402060合计10030130 （1）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635 【答案】（1）没有    （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比判断；（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望.【小问1详解】零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.根据表中数据得，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.【小问2详解】由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，则的可能取值为，又，所以的分布列为123所以.19. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明，；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值．【详解】依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，由点为棱的中点，得．（1）向量，，故． ∴．（2）向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．于是有，∴直线与平面所成角的正弦值为．（3）， 由点在棱上，故，由，得，解得，即．设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．取平面的法向量，则．易知，二面角是锐角，∴其余弦值为．【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．（1）求双曲线C的方程；（2）直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．【答案】（1）；    （2）证明见解析，﹒【解析】【分析】(1)由双曲线的一个焦点坐标为可求c，根据一条渐近线的倾斜角的正切值为可求，结合a、b、c的关系求解、得到双曲线方程；(2)设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k与m的关系．联立l与渐近线方程求出M和N的坐标，通过，化简即可．【小问1详解】由题可知，解得，则：；【小问2详解】由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，令，则，则．联立得，，则，即．双曲线两条渐近线方程为，联立得，，联立得，，，故的面积为定值．21. 邯郸是历史文化名城，被誉为“中国成语典故之都”．为了让广大市民更好的了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为，各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）记答题结束时答题个数为，当时，若，求的取值范围；（2）（i）记答题结束时答对个数为，求；（ii）当时，求使的的最小值．参考数据：，.【答案】（1）    （2）（i）；（ii）9【解析】【分析】（1）时求出，解不等式即可；（2）求出的分布列，按照求数学期望的公列式计算即可.【小问1详解】根据题意，可取1，2，3，，，，所以，由得，又，所以的取值范围是.【小问2详解】（ⅰ），其中，，所以的数学期望为，设，利用错位相减可得，所以.另解：.（ⅱ）依题意，，即，即，所以，又，故的最小值为9.22. 已知函数．（1）求函数的最大值；（2）证明：当时，．（参考数据：）【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出的单调性即可求解；（2）结合（1）的结论把所证不等式转化为证成立，构造函数，求出即可得证.【小问1详解】．当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，则．故最大值为．【小问2详解】证明：由（1）可得，所以，即．要证当时，，可证当时，．令函数，．令函数，．令函数，．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，，所以存在，使得．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，，所以当时，，当时，，即当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即，所以．故当时，．【点睛】关键点点睛：本题第2问考查的是用导数证明不等式，将要证的原不等式转化为证时，成立，构造函数需求的最小值，在求的单调性的时候需求三阶导函数并结合函数隐零点的处理方法，属于难题.