初中数学七年级下册期末考试模拟卷

这是一份初中数学七年级下册期末考试模拟卷，共39页。试卷主要包含了课题学习，已知，问题情境，已知△ABC，∠ACB=90°等内容，欢迎下载使用。

第5章 相交线与平行线 期末压轴题训练
1．如图1所示，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE．

（1）求证：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°．
（2）如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系．
（3）如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M＝130°，请直接写出∠E的度数．
2．如图，已知为两条相互平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于，．

（1）求证：；
（2）连结，当，且时，求的度数；

（3）若时，将线段沿直线方向平移，记平移后的线段为（，分别对应，，当时，请直接写出的度数______．
3．如图1，PQ∥MN，点A，B分别在MN，QP上，∠BAM=2∠BAN，射线AM绕A点顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BP绕B点顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转．射线AM转动的速度是每秒2度，射线BP转动的速度是每秒1度．

（1）直接写出的大小为_______；
（2）射线AM、BP转动后对应的射线分别为AE、BF，射线BF交直线MN于点F，若射线BP比射线AM先转动30秒，设射线AM转动的时间为t（0＜t＜180）秒，求t为多少时，直线BF∥直线AE？
（3）如图2，若射线BP、AM同时转动m（0＜m＜90）秒，转动的两条射线交于点C，作∠ACD=120°，点D在BP上，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系．
4．如图，直线点在直线上，点在直线上，点在直线之间，．
（1）如图1，若，求的度数；
　  
（2）如图2，平分平分，比较的大小；
（3）如图3，点是线段上一点，平分平分，探究和的数量关系，并说明理由．
5．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
　　　　　　
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作
，__________．
__________

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知，试说明：（提示：过点作）．
深化拓展：
（3）已知，点在点的右侧，．平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，点在点的左侧，若，则的度数为________．
②如图4，点在点的右侧，且，．若，则的度数为________．（用含的代数式表示）
6．已知：，，四点在同一直线上．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，猜想这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，是下方一点，连接，且，，若，求的度数．
7．问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板中，，长方形中，．
问题初探：

（1）如图（1），若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数．
分析：过点作，则有，从而得，从而可以求得的度数．
由分析得，请你直接写出：的度数为____________，的度数为___________．
类比再探：
（2）若将三角板按图（2）所示方式摆放（与不垂直），请你猜想写出与的数量关系，并说明理由．
8．如图，已知AM∥BN，∠A=80°，点P是射线AM上的动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C、D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB∶∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．

9．问题情境

（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝　 　
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
拓展延伸
（3）当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
10．已知△ABC，∠ACB=90°．
（1）如图1，CD⊥AB于点D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，求点C到AB的距离；
（2）如图2，x 轴⊥y轴，DM⊥y轴，若∠AOG=50°，求∠CEF的度数；
（3）如图3，x 轴⊥y轴，DM⊥y轴，旋转△ABC，使∠C的顶点C在直线DM与x轴之间，N为线段AO上一点，E为BC与DM的交点，F为AB与DM的交点，且∠NEC+∠CEF=180°，下列两个结论：①NEF﹣∠AOG为定值；②为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值．

11．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图，射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究的值；画出图形，并说明理由；
（3） H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，直接写出∠EBI与∠BHD的数量关系：__________________________．
      
12．如图,直线ABCD,点E在直线AB上,点G在直线CD上,点P在直线AB.CD之间,∠AEP=40°,∠EPG=90°

(1)填空:∠PGC=_________°；
(2)如图, 点F在直线AB上,联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q，当点F在点E的右侧时,如果∠EFG=30°,求∠FQG的度数；
解:过点Q作QMCD
因为∠PGC+∠PGD=180°
由(1)得∠PGC=______°,    
所以∠PGD=1800-∠PGC=_______°,
因为GQ平分∠PGD,
所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=________°
(下面请补充完整求∠FQG度数的解题过程)
(3)点F在直线AB上,联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q.如果∠FQG=2∠BFG,请直接写出∠EFG的度数.
13．已知AB∥CD，解决下列问题：
(1)如图①，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．
(2)如图②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系并说明理由．
(3)如图③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，设∠E＝m°，求∠P的度数(直接用含n、m的代数式表示，不需说明理由)．

14．如图①，在Rt△ ABC和Rt△CED中，∠ABC＝∠CED＝90°，点E在AC上．点D在BC上，点F为AD的中点，连接BF、EF.
图①
观察与发现：
(1)线段BF和EF的数量关系是_ _．
拓广与探索：
(2)如图，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则(1)中发现的结论是否成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．
图②
(3)如图③，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则(1)中发现的结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．
图③
15．（1）问题发现
如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．

请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC
∴∠C= ．
∵EF∥AB，∴∠B= ，
∴∠B+∠C= .
即∠B+∠C=∠BEC．
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°﹣∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=　 　．（直接写出结论，不用写计算过程）
16．如图，△ABC中， BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，
（1）求证：△BDE为等腰三角形；
（2）若点D为AB中点，AB=6，求线段BC的长；
（3）在（2）条件下，若∠BAC=60°，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，当△PBE为等腰三角形时t的值（请直接写出）.

17．(1)、如图，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
(2)、如图，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足：BF平分∠ABE，CF 平分∠DCE，若∠CFB=20°，∠DCE=70°，求∠ABE的度数.
(3)、在前面的条件下，若P是BE上一点；G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP﹣∠MGN的值不变；②∠MGN 的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

18．如图，，是位于，之间的一点，现作如下操作：
第一次操作：分别作和的平分线，交点为．
第二次操作：分别作和的平分线，交点为．
第三次操作：分别作和的平分线，交点为．

第次操作，分别作和的平分线，交点为．
  
(1)如图1，若，，求的度数．
(2)如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
(3)若，直接写出的度数（用含a的式子表示）．

参考答案：
1．（1）见解析；（2）2∠FBH+∠C＝180°；（3）80°
【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得出，进而得出答案；
（2）设，由平行线的性质得出，由（1）知，即可得出答案；
（3）设，由（1）知，过M作，由平行线的性质得出，求出，即可得出答案．
【解析】（1）如图1，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵BF、EG分别平分、，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
即，
∴；
（3）∵CN、BF分别平分、，
∴，
设，
由（1）知：，
即，
如图3，过M作，
则，
∴，
，
∴，
，
∴．
．
【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、角的和差等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
2．（1）证明见解析；（2）∠BCD＝108°；（3）70°
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF＝∠DAB，由角平线的定义得出∠EDF＝∠FDC，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；
（2）设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF＝1.5x，由角平分线的定义得出∠ABC＝3x，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x的方程，求解即可；
（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF＝∠CBF，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC与∠FDC，由平移的性质与平行公理的推论得出AD∥PQ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．
【解析】解：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，
∵AD∥BC，
∴∠FDC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3x，
∴∠BCF＝2x，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF +∠BFD＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF +∠BFD＝180°，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠FDC＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC∥PQ，
∵AD∥BC，
∴AD∥PQ，
∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，
∴∠FDC+∠QDC +∠PQD＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD＝180°，
∴∠PQD＝70°，即∠DQP＝70°．
故答案为：70°．

【点评】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
3．（1）60°；（2）当秒或秒时直线；（3）和关系不会变化，．
【分析】（1）根据PQ∥MN，可得∠QBA=∠BAN，再根据平角定义和∠BAM=2∠BAN．即可得∠QBA的大小；
（2）①当0＜t＜90时，根据平行线的性质可得，∠EAM=∠PBF，列出方程2t=1•（30+t），即可求解；②当90＜t＜150时，根据平行线的性质可得∠PBF+∠EAN=180°，列出方程1•（30+t）+（2t-180）=180，即可求解；
（3）作CH∥PQ，根据PQ∥MN，可得CH∥PQ∥MN，根据平行线的性质可得，∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-m°）=m°-60°，∠BAC=60°-（180°-2m°）=2m°-120°，可得∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD．
【解析】解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠QBA=∠BAN，
∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM=2∠BAN，
∴3∠BAN=180°，
∴∠BAN=60°，
∴∠QBA=∠BAN=60°，
故答案为：60°；
（2）①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBF=∠BFA，
∵AE∥BF，
∴∠EAM=∠BFA，
∴∠EAM=∠PBF，
∴2t=1•（30+t），
解得t=30；

②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBF+∠BFA=180°，
∵AE∥BF，
∴∠EAN=∠BFA，
∴∠PBF+∠EAN=180°，
∴1•（30+t）+（2t-180）=180，
解得t=110，

综上所述，当t=30秒或110秒时BF∥直线AE；
（3）∠BAC=2∠BCD，理由如下：
如图3，作CH∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CH∥PQ∥MN，
∴∠QBC+∠2=180°，∠MAC+∠1=180°，
∴∠QBC+∠2+∠MAC+∠1=360°，
∵∠QBC=180°-m°，∠MAC=2m°，
∴∠BCA=∠1+∠2=360°-（180°-m°）-2m°=180°-m°，
而∠ACD=120°，
∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-m°）=m°-60°，
∵∠CAN=180°-2m°，
∴∠BAC=60°-（180°-2m°）=2m°-120°，
∴∠BAC：∠BCD=2：1，
即∠BAC=2∠BCD．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是利用平行线的判定与性质分情况讨论．
4．（1）；（2）；（3），理由见解析．
【分析】（1）过作，证明，进而证明，，问题得解；
（2）通过角平分线求出，∠FAB=∠HAF=30°，利用（1）结论，求出，问题得解；
（3）设，得∠PNC=180°- x-y；利用（1）结论得出，进而得出和的数量关系．
【解析】（1）过作
∵

∴，
,
∴
∵，
，


（2）解：∵CB平分∠FCG

∵AF平分∠HAB，
∴∠FAB=∠HAF=(180°-120°) ÷2=30°，
由（1）可得





（3）设
过作

则

同理可得：
即


即

【点评】图1是与平行线有关的求角的常见图形，一般称之为“M”型，解决问题的常见思路是通过添加平行线进行求解，要熟知这一结论．
5．（1）∠DAC;（2）见解析（3）①65②215°−n
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°−∠ABE＝180°−n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，进而可求∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°−n°＋35°＝215°−n°．
【解析】（1）过点作
，∠DAC．


故答案为：∠DAC;；
（2）如图2，过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵=∠FCD+∠BCF，
∴=；
即；
（3）①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝30°＋35°＝65°；
故答案为：65；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°−∠ABE＝180°−n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°−n°＋35°＝215°−n°．
故答案为：215°−n．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
6．（1）详见解析；（2），详见解析；（3）
【分析】（1）如下图，延长AC，DE相交于点G，利用∠G作为过渡角可证；
（2）如下图，作，可得，推导得出；
（3）如下图，过作，利用平行可得出，再利用得到，从而得出z的值．
【解析】（1）延长相交于点．

∵，
∴，
∴．
（2）作，则

∵，．
∴，
∴
即．
（3）过作

则．
∵
∴
即
旁证：过作，则．

设，，．
则，，．
∵
∴，．
∴
又∵
∴
∵
∴
【点评】本题考查角度的推导，第（3）问的解题关键是通过方程思想和整体思想，计算得出∠2的大小．
7．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析
【分析】（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度数，求∠EMC度数转化到∠MCH度数；
（2）过点C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF与∠EMC转化到∠ACH和∠MCH中，从而发现∠CAF、∠EMC与∠ACB的数量关系．
【解析】（1）过点C作CH∥GF，则有CH∥DE，
所以∠CAF=∠HCA，∠EMC=∠MCH，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案为30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
过点C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH．
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE．
∴∠EMC=∠HCM．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．

【点评】考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．
8．（1）50°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1，理由详见解析；（3）∠ABC=25°．
【分析】（1）先根据平行线的性质求出∠ABN，然后再根据角平分线的定义即可求出∠CBD；
（2）先根据平行线的性质可得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，然后再由角平分线的定义即可发现规律；
（3）由平行线的性质可得∠ACB=∠CBN=50°+∠DBN，再结合条件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，即可求解．
【解析】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
又∵∠A=80°，
∴∠ABN=180°－80°=100°，
∴∠ABP+∠PBN=100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=100°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可知∠ABN=100°，∠CBD=50°，
∴∠ABC+∠DBN=50°，
∴∠ABC=25°．

【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定是解题的关键，即：①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角相等两直线平行．
9．（1）；（2）①；②，理由见解析；（3）
【分析】（1）利用平行线的性质分别求出的度数，再根据角的和差即可得；
（2）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据即可得；
②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据即可得；
（3）先根据角平分线的定义可得，过点作，再根据平行线的性质可得，然后根据即可得．
【解析】解：（1），
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①，理由如下：
如图，过点作，

，
，
，
，
；
②，理由如下：
如图，过点作，

，
，
，
，
；
（3），理由如下：
分别平分，
，
如图，过点作，

，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，过拐点作平行线，利用平行线的判定与性质是解题关键．
10．（1）；（2）∠CEF=140°；（3），是定值
【分析】（1）根据 直角三角形面积计算的不同方法，即可求出CD的长度．
（2）根据对顶角相等和互余的性质得出∠CED=40°，再根据邻补角得出∠CEF=140°即可；
（3）作CP∥x轴，则CP∥DM∥x轴，根据平行线的性质得∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°，由于∠NEC+∠CEF=180°，所以∠2=∠NEC，由∠1+∠2=90°，∠NEF+2∠2=180°，推出∠NEF=2∠1=2∠AOG，由此即可得出结论；
【解析】解：（1）∵AC⊥BC，BC=12cm，
∴AC，
∴，
∴，
∴点C到AB的距离为，
故答案为：；
（2）∵∠AOG=50°，
∴∠POC=50°，
∴∠COQ=40°，
∴∠CQO=50°，
∴∠DQE=50°，
∴∠CED=40°，
∴∠CEF=140°；

（3）为定值．理由如下：
作CP∥x轴，如图3，

∵CP∥DM∥x轴，
∴∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°，
而∠NEC+∠CEF=180°，
∴∠2=∠NEC，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠NEF+2∠2=180°，
∴∠NEF=2∠1=2∠AOG，
∴，是定值．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质：平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
11．（1）见解析；（2）见解析；(3)当点H在点D的左侧时，∠BHD=2∠EBI，当点H在点D的右侧时，∠BHD=180°-2∠EBI．
【分析】（1）依据∠BDE+∠DBE=90°及BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，可得∠ABD+∠CDB=2（∠BDE+∠DBE）=180°，进而判定AB∥CD；
（2）按要求画出图形，分别过点E、F作AB的平行线，利用平行线的性质和角的转化即可得到答案；
（3）分点H在点D的左侧和点H在点D的右侧两种情况，利用平行线和角平分线的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD=2∠EBD，∠CDB=2∠BDE，
∵∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠ABD+∠CDB=2（∠BDE+∠DBE）=180°，
∴AB∥CD；
（2）按要求画出图形，如图，

由∠ABE=3∠ABF，设∠ABF=α，则∠ABE=3α，
过F作FG∥AB，
∴∠ABF=∠BFG，∠CDF=∠DFG，
∴∠ABF+∠CDF=∠BFD，
∴∠CDF=30°-α，
过E作EH∥AB，则有∠ABE+∠CDE=∠BED，
∴∠CDE=90°-3α，
∴∠FDE=60°-2α，
∴；
（3）当点H在点D的左侧时，如图3所示，∠BHD=2∠EBI．

理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABH=∠BHD，
∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，
∴∠ABE=∠EBD，∠HBI=∠IBD．
∵∠ABH=∠ABE+∠EBH=∠EBD+∠EBH=2（∠EBH+∠HBI），
∴∠BHD=2∠EBI．
当点H在点D的右侧时，∠BHD=180°-2∠EBI．

理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠GBH=∠BHD，
∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，
∴∠ABE=∠EBD，∠HBI=∠IBD，
∵∠EBI=∠EBD+∠DBI=∠ABD+∠DBH=∠ABH=（180°-∠HBG）
∴∠EBI=90°-∠BHD．
∴∠BHD=180°-2∠EBI．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用平行线的判定与性质，依据角的和差关系进行计算．
12．（1）50；（2）50，130，65；；（3）∠FQG的度数为.
【分析】（1）过点P作PLAB，利用平行线的性质可得∠1=∠AEP，∠2=∠PGC，由∠EPG=∠1+∠2，等量代换可得结论；
（2）过点Q作QMCD，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可；
（3）当点F在点E右侧时，设∠EFG=x°，则∠BFG=（180-x）°，利用（2）的结论即可求解．
当点F在点E左侧时，同理可得结论．
【解析】（1）如图1，过点P作PLAB，

∵ABCD，
∴PLABCD，
∴∠1=∠AEP=40°，∠2=∠PGC，
∵∠EPG=∠1+∠2=90°，
∴∠PGC=90°-40°=50°．
故答案为：50；
（2）解：过点Q作QMCD．

因为∠PGC+∠PGD=180°，
由（1）得∠PGC=50°，
所以∠PGD=180°-∠PGC=130°，
因为GQ平分∠PGD，
所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=65°．
因为QMCD，
所以∠MQG=180°-∠QGD=180°-65°=115°，
因为QMCD，ABCD，
所以QMABCD，
所以∠FQM=∠EFQ，
因为FQ平分∠EFG，∠EFG=30°，
所以∠EFQ=∠FQM=∠EFG=15°．
所以∠FQG=∠MQG+∠FQM=115°+15°=130°；
故答案为：50，130，65；
（3）当点F在点右侧时，如图3，

设∠EFG=x°，则∠BFG=（180-x）°，
∵QF平分∠EFG，
∴∠EFQ=x°，
由（2）可知∠MQG=115°，∠FQM=∠EFQ=x°，
∠FQG=（115+x）°，
∵∠FQG=2∠BFG，
∴115+x=2（180-x），
解得：x=98°，
故∠EFG的度数是98°，
此时两条角平分线没有交点，故舍去；
当点F在点E左侧时，如图4，

由（1）知，∠DGP=130°，
∵PQ平分∠DGP，
∴∠DGQ=∠DGP=65°，
延长FQ交CD于H，则∠FHG=∠HFE，
∵FQ平分∠EFG，
∴∠EFG=2∠EFH=2∠GFH，
∵∠FQG=2∠BFG，
∴∠FQG=4∠EFH，
∵ABCD，
∴∠EFH=∠FHG，
∴∠DGQ=∠FQG-∠FHG=3∠EFH=65°，
∴∠EFH=，
∴∠EFG=2∠EFH=．
综上所述，∠EFG=．
【点评】本题考查平行线间的角度计算，需要灵活进行角度的转换，建立等量关系，从而求解.
13．(1)∠P＝130°；(2)3∠P+∠BED＝360°；(3)∠P＝．
【分析】（1）过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，再根据∠BED＝100°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，即可得到∠P的度数．
（2）过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，再根据∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，即可得到∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝240°﹣∠BED，再根据四边形内角和得出∠P与∠E的数量关系；
（3）利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，再根据∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，即可得到∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝（360°﹣m°），再根据四边形PDEB内角和，即可得到∠P＝360°﹣（360°﹣m°）﹣m°＝．
【解析】解：(1)如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
又∵∠BED＝100°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣100°＝260°，
又∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝(∠ABE+∠CDE)＝×260°＝130°，
∴∠P＝360°﹣130°﹣100°＝130°；
(2)3∠P+∠BED＝360°；
如图②，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，
又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝(∠ABE+∠CDE)＝×(360°﹣∠BED)＝240°﹣∠BED，
∴∠P＝360°﹣∠BED﹣(240°﹣∠BED)＝120°﹣∠BED，
即3∠P+∠BED＝360°；
(3)∠P＝．
如图③，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
同理可得，∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，
又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝(∠ABE+∠CDE)＝(360°﹣m°)，
∴四边形PDEB中，∠P＝360°﹣(360°﹣m°)﹣m°＝．
    
【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
14．(1)  BF＝EF(2) BF＝EF成立(3) BF＝EF成立．
【解析】(1)  BF＝EF
(2)结论BF＝EF成立．
证明：如图①，过点F作FG⊥BE于点G，∴∠FGB＝90°，

图①
∵∠ABC＝90°，      ∴∠ABC＋∠FGB＝180°，   ∴FG∥AB.
又∵∠CED＝90°，    ∴∠CED＝∠BGF.          ∴FG∥DE.
∴AB∥FG∥DE.      ∴＝.
∵点F是AD的中点，∴AF＝FD.         ∴BG＝GE.
又∵FG⊥BE，       ∴BF＝EF；
(3)结论BF＝EF成立．
证明：如图②，过点F作FM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，连接FN.
∴∠FMC＝∠DNC＝90°.

图②
∵△CDE绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，∴∠DCN＝∠DCE.
在△CDN和△CDE中，，
∴△CDN≌△CDE(AAS)．  ∴CN＝CE.
在△FNC和△FEC中，，
∴△FNC≌△FEC(SAS)．    ∴FN＝EF.
∵∠ABC＝90°，∠FMN＝∠DNC＝90°.
∴AB∥FM∥DN.  由(2)推理可知BF＝FN.    ∴BF＝EF.
【点评】熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键.
15．（2）∠B+∠C=360°﹣∠BEC；证明见解析；（3）20°．
【分析】利用平行线的性质求解即可.
【解析】（1）∠CEF；∠BEF；∠BEF+∠CEF.   
（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，  
∵AB∥DC，EF∥AB，

∴EF∥DC，    
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠BEC=360°，
∴∠B+∠C=360°﹣∠BEC；  
（3）∠A=20°．
平行线的判定定理
（1）同位角相等，两直线平行.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
平行线的性质定理：
（1）两直线平行，同位角相等.
（2）两直线平行，内错角相等.
（3）两直线平行，同旁内角互补.
【点评】平面几何中，判定定理和性质定理是成对出现的，定义也可以作为判定定理使用.
16．（1）证明见解析（2）6（3）3，，9  
【解析】（1）∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∵ DE∥BC
∴∠DEB=∠EBC=∠ABE
∴BD=ED
∴△DBE为等腰三角形
（2）∵点D为AB中点
∴AD=BD=ED
∴∠A=∠AED
∵∠A+∠AED+∠ABE+∠BED=1800
∴∠AED+∠BED=900           
即∠AEB=900=∠CEB  
∵∠ABE=∠EBC BE=BE                        
∴△ABE≌△CBE(ASA)
∴BC=AB=6  
（3）3，，9  
17．(1)、AB∥CD；理由见解析；(2)、30°；(3)、①∠DGP﹣∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变；证明过程见解析.
【分析】(1)、根据角平分线得出∠1=∠CAB，从而得出∠2=∠CAB，从而说明平行线；(2)、根据角平分线的性质得出∠DCF=∠DCE=35°，∠ABE=2∠ABF，根据CD∥AB得出∠2=∠DCF=35°，根据∠2=∠CFB+∠ABF，∠CFB=20°得出∠ABF和∠ABE的度数；(3)、根据三角形外角性质得出∠1=∠BPG+∠B，根据角平分线的性质得出∠GPQ=∠BPG，∠MGP=∠DGP，根据AB∥CD得出∠MGP=（∠BPG+∠B），根据PQ∥GN得出∠NGP=∠GPQ=∠BPG，从而根据∠MGN=∠MGP﹣∠NGP=∠B，从而得出答案.
【解析】(1)、AB∥CD．
∵AC平分∠DAB， ∴∠1=∠CAB，  ∵∠1=∠2，  ∴∠2=∠CAB，  ∴AB∥CD；
(2)、如图2， ∵BF平分∠ABE，CF平分∠CDE， ∴∠DCF=∠DCE=35°，∠ABE=2∠ABF， ∵CD∥AB，
∴∠2=∠DCF=35°， ∵∠2=∠CFB+∠ABF，∠CFB=20°，  ∴∠ABF=15°， ∴∠ABE=2∠ABF=30°
(3)、如图3，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B， ∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=∠BPG，∠MGP=∠DGP， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠DGP， ∴∠MGP=（∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN， ∴∠NGP=∠GPQ=∠BPG， ∴∠MGN=∠MGP﹣∠NGP=（∠BPG+∠B）﹣∠BPG=∠B，
根据前面的条件，∠B=30°， ∴∠MGN=×30°=15°，
∴①∠DGP﹣∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．

【点评】考点：(1)、平行线的性质；(2)、角平分线的性质.
18．(1)
(2)，理由见解析
(3)

【分析】（1）先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；
（2）先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；
（3）根据和的平分线，交点为，得出；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数．
【解析】（1）解：如图1，过作，
  
，
，
，，
，
；
（2），理由如下：
如图2，和的平分线交点为，
  
由（1）可得，
；
和的平分线交点为，
由（1）可得，
；
（3）如图2，和的平分线交点为，
由（1）可得，
；
和的平分线，交点为，
；

以此类推，，
当度时，等于．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．