陕西省铜川市第一中学2021-2022学年高二文科数学下学期期末试题（Word版附解析）

铜川市一中2021-2022学年度第二学期高二年级（2023届）期末考试

数学试题（文科）

考生注意：本试卷分为第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试用时120分钟．

第I卷（共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（    ）

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据题意得到四边形是平行四边形，从而得到与为相反向量.

【详解】因为，所以四边形是平行四边形，

所以，互相平分，所以，即与为相反向量.

故选：B

2. 已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得sinα+cosα的值

详解】∵知角α的终边经过点P（4，-3），

∴sinα，cosα，

∴sinα+cosα．

故选：A．

3. 在中，若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理可得出关于的方程，即可求得边的长.

【详解】由余弦定理得，

即，即，

解得或（舍去）.

故选：A.

4. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件利用扇形面积公式直接计算即得.

【详解】因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，

则由扇形面积公式得：，而，解得，

所以该扇形所在圆的半径为2.

故选：B

5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理计算可得.

【详解】解：因为，，，

由正弦定理，即，解得，

因为，所以；

故选：A

6. 把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数的图像变换的知识进行处理.

【详解】把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，

得，再把所得图像上所有点

的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得.

故A，B，C错误.

故选：D.

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用诱导公式得到，再用二倍角公式，齐次式化处理，化为正切的关系式，代入求值.

【详解】，故，故

故选：C

8. 在平行四边形中，、分别满足，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的基本定理可得出、、关于、的两个表达式，可得出关于、的方程组，即可得解.

【详解】因为在平行四边形中，、分别满足，，

所以，，．

若，则，

即，所以，.

故选：A．

9. 若，且，则的值为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.

【详解】解：因为，所以，

又，所以，

所以.

故选：C.

10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ）

A. 若，则为锐角三角形

B. 若为锐角三角形，则

C. 若，则为等腰三角形

D. 若，则是等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理、诱导公式、三角函数、三角恒等变换的知识进行判断.

【详解】对于A，若，则，则B为锐角，

不能判定为锐角三角形，故A错误；

对于B，若为锐角三角形，则，且，

所以，故B正确；

对于C，若，则，所以，

所以或，即或，不一定是等腰三角形，故C错误；

对于D，若，则，即，即，

因为A，B是三角形的内角，所以A-B=0，即A=B. 是等腰三角形，故D错误.

故选：B.

11. 函数（，）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为，且点是函数图象的对称中心，则函数在上的单调增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，从而可求得，再将点代入求得，再根据正弦函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：因为（，）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为，

所以，所以，所以，

则，

因为点是函数图象对称中心，

所以，

所以，故，

又因，所以，

所以，

令，

则，

因为，所以，

所以函数在上的单调增区间为.

故选：A.

12. 已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.

【详解】不妨设中，，边长，边长，

以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系

则、、,

,设，则

故

可得，故

的面积为，

的面积为

则与的面积之比为

故选：C

第II卷（共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，若与共线，则实数k＝___．

【答案】2或-1##-1或2

【解析】

【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示进行处理.

【详解】由题知，向量，，

若与共线，则，解得或.

故答案为：2或-1.

14. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则___．

【答案】

【解析】

【分析】由已知利用余弦定理求出的值，利用三角形内角和定理可求的值，即可得解．

【详解】解：因，，，

所以，

又，

所以，，

所以．

故答案为：．

15. 设三个单位向量，，满足，则向量，的夹角为___．

【答案】##

【解析】

【分析】由已知条件可得，，对等式两边同时平方，再结合平面向量的夹角公式，即可求解．

详解】解：，

，两边同时平方可得，

，即，

，

，

向量，的夹角为．

故答案为：．

16. 如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，，，则△ABC的面积的最大值为________．

【答案】

【解析】

【分析】先用余弦定理求出，再用余弦定理和基本不等式求出，使用面积公式求出最大值.

【详解】在△ACD中，利用余弦定理得：，故，

在△ABC中，由余弦定理得：，故，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故，

又△ABC的面积为，故△ABC的面积的最大值为.

故答案为：

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在平面四边形ABCD中，，，，．

（1）求∠BDC；

（2）若，求证：四边形ABCD是直角梯形．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）在中，运用正弦定理可求得，再由角的范围可求得答案；

（2）由（1）得，在中，由正弦定理得，继而有，再得，从而可得证．

【小问1详解】

在中，，，，由正弦定理得，即，

解得，又，所以，所以；

【小问2详解】

因为，所以由（1）得，

所以在中，，，，由正弦定理得，即，

解得，又，所以，，

所以，所以，

又在中，，，，，所以，所以，

所以，所以四边形ABCD是直角梯形．

18. 已知向量，满足，，且，的夹角为．

（1）若，求实数的值；

（2）求与的夹角的余弦值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，结合平面向量数量积的运算法则，展开运算即可；

（2）根据，分别求得与，再由平面向量的数量积，即可得解．

【小问1详解】

解：因为，

所以，

所以，解得．

【小问2详解】

解：因为，

，

所以，

故与的夹角的余弦值为．

19. 已知函数的部分图像如图所示．

（1）求函数 的解析式；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】由图象先确定的值，根据周期确定，利用点在图象上，求出，即可求得函数 的解析式；

（2）确定的范围，由可求得，然后利用拆角的方法把变为,即可求得答案.

【小问1详解】

因为故由图象可知 ,,则 ，

又因为图象过点 ，故，，

故,则，

由于，故，

故函数 的解析式为；

【小问2详解】

因为，所以，

由得：，

故，

所以.

20. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC外接圆的面积为12，，求△ABC的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据垂直的数量积表示，结合余弦定理化简求解即可；

（2）根据正弦定理可得，从而得到正△ABC，再根据三角形的面积公式求解即可

【小问1详解】

因为，故，即，故，由余弦定理，且，故

【小问2详解】

由外接圆半径满足可得，由正弦定理可得.故，故△ABC为正三角形，故

21. 已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间上的值域．

【答案】（1），.   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式及和（差）角公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.

（2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

【小问1详解】

解：

，

令，，

解得，，

所以函数的单调递增区间为，.

【小问2详解】

解：，

，

．

即函数在区间上的值域为．

22. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积．

（1）若，求的值；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化简可得，由可得，结合余弦定理得，换元求出其值，由正弦定理即可得答案;

（2）由得 ，结合余弦定理得，变形为，换元，可得，结合三角函数的性质可得不等式，即可求得答案.

【小问1详解】

因为，由正弦定理得：，

即,即，

因为 ，所以，即，

由得：;

由得：，即，即，

由余弦定理可得：，

故，则，

令，则，解得 ，

由正弦定理得：，故的值为或；

【小问2详解】

由得：，即，

由余弦定理可得：，

即，

故，

令，则，即,

由得，故，

故，即得 ，

故的取值范围是.