人教版高考数学一轮复习考点规范练23解三角形含答案

考点规范练23　解三角形

1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,b=2,A=60°,则c等于(　　)

A. B.1 C. D.2

答案  B

解析  由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.

2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos A=bcos B,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案  D

解析  ∵acos A=bcos B,

∴sin Acos A=sin Bcos B,

∴sin 2A=sin 2B,

∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.

3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面积S=,则b等于(　　)

A. B.4 C.3 D.

答案  A

解析  由题意可得,2sin Bcos B=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,∵sin B≠0,

∴cos B=.∵B∈(0,π),∴B=.

又S=acsin B=×1×c×,

∴c=4.

∵b2=a2+c2-2accos B=1+16-2×1×4×=13,

∴b=.

4.(2021云南红河三模)如图所示,若网格中小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则△ABC外接圆的面积为(　　)

A. B. C. D.

答案  C

解析  设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

由题图可知a=3,b=,c=,由余弦定理,得cos C=,从而sin C=.

设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理,得2R=,解得R=,故△ABC外接圆的面积S=πR2=.

5.设△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是 (　　)

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

答案  D

解析  ∵△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,

∴B=.

∵sin A,sin B,sin C成等比数列,∴sin2B=sin Asin C.

由正弦定理得b2=ac.

在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos,

∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c,

∴△ABC为等边三角形.

6.在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B等于(　　)

A. B.2

C.4 D.8

答案  C

解析  由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=16+9-2×4×3×=9,即AB=3.

由余弦定理的推论知cos B=,又cos2B+sin2B=1,且B∈(0,π),解得sin B=,故tan B==4.故选C.

7.(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是(　　)

A.cos C= B.sin B=

C.a=3 D.S△ABC=

答案  AD

解析  由A+3C=π,得B=2C.

根据正弦定理,得2sin C=3×2sin Ccos C,

又sin C≠0,故cos C=.

因为C∈(0,π),

所以sin C=,

sin B=sin 2C=2sin Ccos C=.

由c2=a2+b2-2abcos C,化简得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1.

若a=3,则A=C=,B=,不满足题意,故a=1.

S△ABC=absin C=×1×2.

8.(2021河南郑州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD=　　　　　. 

答案 

解析  如图,∠ABC的平分线交AC于点D,

所以∠ABD=∠CBD=45°,

所以SΔABC=acsin 90°=c·BD·sin 45°+a·BD·sin 45°,

可得2ac=c·BD+a·BD,可得=1,

所以a+4c=·BD,

所以a+4c=·BD··BD··BD=9,

当且仅当a=2c时取等号,所以BD=.

9.某学校高一同学参加社会实践活动,应用所学知识测量一个四边形公园的面积,如图所示,测得公园的四边边长分别为AB=1 km,BC=3 km,CD=AD=2 km,∠A=120°,则公园的面积为　　　　　 km2.当地政府规划建一条圆形的公路,使得整个公园都在圆形公路的里面,则这条公路的总长度的最小值为　　　　　km.(备注:把公路看成一条曲线,公路宽度不计) 

答案  2

解析  连接BD(图略),由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=1+4-2×1×2×cos 120°=7,

所以cos C=,则C=60°,则四边形ABCD的面积等于S△ABD+S△BDC=AB·ADsin A+CD·CBsin C=×1×2×sin 120°+×2×3×sin 60°=2.

由∠A+∠C=180°,得四边形ABCD存在外接圆,即为△ABD的外接圆.设外接圆半径为R,则由正弦定理可知=2R,则R=,所以当公路恰为四边形的外接圆时其长度最小,最小值为2π×π.

10.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=10,请指出这三个条件,并说明理由;

(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.

解因为,

所以sin Acos B+sin Acos C=cos Asin B+cos Asin C,

sin Acos B-cos Asin B=cos Asin C-sin Acos C,

所以sin(A-B)=sin(C-A),

因为A,B,C∈(0,π),所以A-B=C-A,

即2A=B+C,所以A=.

(1)△ABC还同时满足条件①③④,理由如下:

若△ABC同时满足条件①②,则由正弦定理,得sin B=>1,这不可能,所以△ABC不能同时满足条件①②,所以△ABC同时满足条件③④.

因为△ABC的面积S=bcsin A=×b×8×=10,

所以b=5,与②矛盾,所以△ABC同时满足条件①③④.

(2)在△ABC中,由正弦定理,得=2,因为C=-B,

所以b=2sin B,c=2sin,

所以L=a+b+c=2[sin B+sin(-B)]+3=6(sin B+cos B)+3=6sin+3.

因为B∈,所以B+,sin(B+)∈,所以△ABC周长L的取值范围为(6,9].