人教版高考数学一轮复习考点规范练41直线的交点坐标与距离公式含答案

考点规范练41　直线的交点坐标与距离公式

1.若O为坐标原点,P为直线x-y+2=0上的动点,则|OP|的最小值为(　　)

A. B. C. D.2

答案  B

解析  由已知得原点O到直线x-y+2=0的距离d=,故|OP|的最小值为.

2.已知点A(cos 10°,sin 10°),B(cos 100°,sin 100°),则|AB|=(　　)

A.1 B. C. D.2

答案  B

解析  |AB|=

=

=

=

=.

3.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则直线l1与l2之间的距离为(　　)

A. B.4 C. D.2

答案  C

解析  ∵l1∥l2,∴a≠2,且a≠0,,解得a=-1,

∴两直线方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,

∴直线l1与l2之间的距离为d=.

4.(2021北京门头沟二模)点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为(　　)

A. B. 

C. D.

答案  C

解析  由点到直线的距离公式,得点P到直线3x+4y-12=0的距离为d=,其中sin φ=,cos φ=.

因为5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],所以d∈.

5.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值为(　　)

A.1 B.2 

C.-2或1 D.-1或2

答案  C

解析  因为直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,所以这三条直线必有两条直线平行.

又直线2x+y-4=0与x-y+1=0不平行,所以当直线2x+y-4=0与ax-y+2=0平行时,a=-2;

当直线x-y+1=0与ax-y+2=0平行时,a=1.

所以实数a的值为1或-2.

6.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为(　　)

A.(-2,4) B.(-2,-4) 

C.(2,4) D.(2,-4)

答案  C

解析  设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得所以BC所在直线的方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),所以AC所在直线的方程为y-2=(x+4),即x-3y+10=0.

由解得所以点C的坐标为(2,4).故选C.

7.若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则k的取值情况是(　　)

A.只有唯一值 

B.有两个不同的值

C.有三个不同的值 

D.无穷多个值

答案  C

解析  若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则其中有2条直线互相平行,第三条直线和这2条平行线都相交,此时k=-2或k=0,或者三条直线经过同一个点,即直线x-2y+2=0和x=2的交点(2,2)在直线x+ky=0上,此时k=-1.综上,k=-2或k=0或k=-1.

8.(多选)在平面直角坐标系Oxy中,点P在曲线y=x+(x>0)上,则点P到直线3x-4y-2=0的距离可以为(　　)

A. B.1 C. D.

答案  CD

解析  由已知得y'=1-,设点P(x0,y0),则曲线在点P处的切线的斜率为1-.

当点P到直线3x-4y-2=0的距离最小时,曲线y=x+(x>0)在点P处的切线的斜率应等于直线3x-4y-2=0的斜率,即1-,解得x0=2,所以y0=2+,点P的坐标为2,,所以点P到直线3x-4y-2=0的距离的最小值为.

故选CD.

9.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为　　　　　. 

答案 

解析  由解得

将x=1,y=2代入mx+ny+5=0,

得m+2n+5=0.所以m=-5-2n.

所以点(m,n)到原点的距离d=,

当n=-2时取等号,此时m=-1.

所以点(m,n)到原点的距离的最小值为.

10.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=　　　　　. 

答案 

解析  由题意,可知纸的折痕既是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线,也是点(7,3)与点(m,n)连线的垂直平分线,易求得纸的折痕所在直线的方程为y=2x-3,

于是解得

故m+n=.

11.已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4).

(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小;

(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||的值最大.

解(1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),

则

解得

所以A'(-2,8).

因为P为直线l上一点,

所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,等号成立,此时点P为直线A'B与直线l的交点,

则有

解得

所以当点P的坐标为(-2,3)时,|PA|+|PB|的值最小.

(2)因为A,B两点在直线l的同侧,P为直线l上一点,直线AB与l相交,所以||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,等号成立,此时点P为直线AB与l的交点.

由题意可知直线AB的方程为y=x-2.

由

解得

所以当点P的坐标为(12,10)时,||PB|-|PA||的值最大.