人教版高考数学一轮复习考点规范练57离散型随机变量的数字特征含答案

考点规范练57　离散型随机变量的数字特征

1.若离散型随机变量X的分布列为

则E(X)等于(　　)

A.2 B.2或 C. D.1

答案  C

解析  由题意知=1,a>0,解得a=1.

所以E(X)=0×+1×.故选C.

2.现有一个项目,对该项目投资10万元,一年后的利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为.设对该项目投资10万元,一年后的利润为X(单位:万元),则X的均值为(　　)

A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.38

答案  A

解析  由题意可知E(X)=1.2×+1.18×+1.17×=1.18.

3.(多选)袋内有除颜色外其他完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个球,直到取出白球后停止,则(　　)

A.取2次后停止的概率为

B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数的概率为

C.取球次数X的均值为2

D.取球次数X的方差为

答案  BD

解析  依题意,取球次数X的可能取值为1,2,3,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=×1=.

故E(X)=1×+2×+3×,

D(X)=.

设事件A=“取2次后停止”,B=“停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数”,则P(A)=P(X=2)=,P(B)=P(X=1)+P(X=2)=.故选BD.

4.(多选)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,则下列结论正确的是(　　)

A.E(X)= B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4 D.D(X)=

答案  AB

解析  因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,

所以E(X)=0×+1×,

D(X)=.

所以E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2.

故选AB.

5.某公司有5万元资金用于投资某开发项目,若成功,则一年后可获利12%;若失败,则一年后将损失全部资金的50%.统计过去200例类似投资项目的结果如表所示.

则估计该公司投资该项目一年后可获收益的均值为　　　　　元. 

答案  4 760

解析  依题意,用频率估计概率,可知一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故估计一年后可获收益的均值为6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元).

6.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=,P(X=x2)=,x1<x2,E(X)=,D(X)=2,则x1+x2=　　　　　. 

答案 

解析  由题意可知E(X)=x1+x2=,

D(X)==2,

因为x1<x2,

所以x1=-,x2=.所以x1+x2=.

7.某袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,全为黑球的概率为,则黑球的个数为　　　　　;若记取出的3个球中黑球的个数为X,则D(X)=　　　　　. 

答案  3　

解析  设黑球的个数为n,由题意可知,

解得n=3.

X的可能取值为1,2,3,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=.

故X的分布列为

E(X)=1×+2×+3×,

D(X)=.

8.某大学对该校参加了某博览会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,已知某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为,他们考核所得的等次相互独立.

(1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀的概率;

(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X,求随机变量X的分布列和均值E(X).

解(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀”为事件E,

则事件A,B,C相互独立,事件与事件E是对立事件.

故P(E)=1-P()=1-P()P()·P()=1-.

(2)依题意,X的可能取值为,2,,3,

则P=P()=,

P(X=2)=P(A)+P()+P(C)=,

P=P(AB)+P(AC)+P(BC)=,

P(X=3)=P(ABC)=.

故X的分布列为

E(X)=+2×+3×.