2022-2023学年北京四十四中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京四十四中高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知角α的终边经过点P(3,−4)，那么sinα=( )
A. 35B. −45C. 34D. −34
2. sin 330°=( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
3. 方程sin4xcs5x=−cs4xsin5x的一个解是( )
A. 10°B. 20°C. 50°D. 70°
4. (tanx+1tanx)⋅sin2x=( )
A. tanxB. sinxC. csxD. ctx
5. 已知函数y=sinx和y=csx在区间Ⅰ上都是减函数，那么区间Ⅰ可以是( )
A. (0,π2)B. (π2,π)C. (π,3π2)D. (3π2,2π)
6. 设向量a，b的模分别为2和3，且夹角为60°，则|a+b|等于( )
A. 13B. 13C. 19D. 19
7. 若0<α<β<π4，sinα+csα=a，sinβ+csβ=b，则( )
A. abC. ab<1D. ab>2
8. 在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则sinA=( )
A. 310B. 1010C. 55D. 3 1010
9. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则AM⋅BP的取值范围是( )
A. [−1,0]B. [−12,0]C. [−34,12]D. [−34,0]
10. 函数f(x)= 1−cs2xcsx( )
A. 在[0,π2)，(π2,π]上递增，在[π,3π2)，(3π2,2π]上递减
B. 在[0,π2)，[π,3π2)上递增，在(π2,π]，(3π2,2π]上递减
C. 在(π2,π]，(3π2,2π]上递增，在[0,π2)，[π,3π2)上递减
D. 在[π,3π2)，(3π2,2π]上递增，在[0,π2)，(π2,π]上递减
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 已知sinα=35,α∈(π2,π)，那么cs2α= ______ ，sin2α= ______ ．
12. 若θ∈(−π2,π2 )，且tanθ>1，则θ的取值范围是 ．
13. 平面向量a=(0,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m= ______ ．
14. 设函数f(x)=sin(ωx+π3)，若f(x)的图象关于点(π6,0)对称，则ω的值可以是______ .(写出一个满足条件的值即可
)
15. 关于函数f(x)=|sinx|+|csx|，给出下列几个结论：
①函数f(x)的最小值是1；
②函数f(x)的最大值是 2，
③函数f(x)的最小正周期为π；
④函数f(x)在区间(0,π4)上单调递增．
其中全部正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题12.0分)
已知α∈(π2,π)，且csα=−35．
(Ⅰ)求tanα的值；
(Ⅱ)求cs(α+π4)的值；
(Ⅲ)求cs2αsin2α+1的值．
17. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，csC=17,a=7,c=8.求：
(Ⅰ)b的值；
(Ⅱ)角A的大小和△ABC的面积．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2cs2ω1x+sinω2x.
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)从①ω1=1，ω2=2；②ω1=1，ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=cs2x+ 3sinxcsx．
(Ⅰ)求f(π3)的值及f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[0,m]上单调递增，求实数m的最大值．
20. (本小题12.0分)
在直角坐标系xOy中，已知点A(−2,0)，B (0,2 3)，C(2csθ,sinθ)，其中θ∈[0,π2]．
(1)若AB//OC，求tanθ的值；
(2)设点D(1,0)，求AC ⋅ BD的最大值；
(3)设点E(a,0)，a∈R，将OC ⋅ CE表示成θ的函数，记其最小值为f(a)，求f(a)的表达式，并求f(a)的最大值．
21. (本小题12.0分)
对于数集X={−1,x1,x2,…x}，其中0(Ⅰ)判断{−1,1,2}是否具有性质P；
(Ⅱ)若x>2，且{−1,1,2,x}具有性质P，求x的值；
(Ⅲ)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn>1时，x1=1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由于角α的终边经过点P(3,−4)，∴x=3，y=−4，r=|OP|=5，∴sinα=yr=−45，
故选：B．
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：sin330°=sin(360°−30°)=−sin30°=−12，
故选：A．
由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵sin4xcs5x=−cs4xsin5x，
∴sin4xcs5x+cs4xsin5x=0，
∴sin(4x+5x)=0，
∴sin9x=0，
∴9x=kπ，k∈Z，
∴x=20°
故选：B．
把原式移项整理，逆用两角和的正弦公式，解一个正弦值为零的三角函数方程对应的解，写出所有的解，选择一个合适的，因为是选择题，也可以代入选项验证．
抓住公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点，对公式的逆用公式，变形式也要熟悉．
4.【答案】A
【解析】解：原式=(sinxcsx+csxsinx)⋅sin2x=sin2x+cs2xsinxcsx⋅sin2x=sin2xsinxcsx=tanx．
故选：A．
由已知结合同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：A：y=sinx在(0,π2)上是增函数；
C：y=csx在(π,3π2)上是增函数；
D：y=csx在(3π2,2π)上是增函数．
故选：B．
依次分析四个选项可得结果．
本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
利用两个向量的数量积的定义求出a⋅b，再利用|a+b|2=|a|2+|b|2+2a⋅b，即可求出答案．
本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．
【解答】
解：∵向量a，b的模分别为2和3，且夹角为60°，
∴a⋅b=|a|⋅|b|cs60°=2×3×12=3，
∴|a+b|2=|a|2+|b|2+2a⋅b=4+9+2×3=19，
∴|a+b|= 19，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得，a=sinα+csα= 2sin(α+π4)，
b=sinβ+csβ= 2sin(β+π4)，
∵0<α<β<π4，∴π4<α+π4<β+π4<π2，
∵y=sinx在[π4,π2]上递增，
∴ 2sin(α+π4)< 2sin(β+π4)，
即a故选：A．
利用两角和的正弦公式对a和b化简，再求条件判断角的大小和范围，再由正弦函数的单调性判断a和b大小．
本题考查了两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性应用．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键，属于基础题．
由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．
【解答】
解：∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，
∴AB= 23BC，
由余弦定理得：AC= AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅csB
= 29BC2+BC2−23BC2= 53BC，
故12BC⋅13BC=12AB⋅AC⋅sinA
=12⋅ 23BC⋅ 53BC⋅sinA，
∴sinA=3 1010，
故选D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，考查了数形结合的解题思想方法，想到建系是解答该题的关键，是中档题．
由题意建系，求出M的坐标，数形结合可得AM·BP的最大值为0，且可知当P在线段AC上时，AM·BP有最小值，设P(0,y)(0≤y≤ 3)，写出数量积的坐标表示，由y的范围求得最小值．
【解答】
解：由AB=1，BC=2，可得AC= 3，
以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则B(1,0)，C(0, 3)，直线BC方程为x+y 3=1，
则直线AM方程为y= 33x，
联立，解得：M(34, 34)，
由图可知，当P在线段BC上时，AM·BP有最大值为0，
当P在线段AC上时，AM·BP有最小值，
设P(0,y)(0≤y≤ 3)，
∴AM·BP=(34, 34)(−1,y)
=−34+ 34y≥−34．
∴AM·BP的范围是[−34,0]．
故选：D．

10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查正切函数的单调性．一定要注意正切函数的定义域即{x|x≠π2+kπ,k∈Z}．
先化简函数解析式，再根据正切函数的单调性可解题．
【解答】
解：∵f(x)=1−cs2xcsx=2|sinx|csx
当x∈[0,π]时，sinx≥0，f(x)= 2⋅sinxcsx= 2tanx(x≠π2)，
当x∈[π,2π]时，sinx≤0，f(x)= 2⋅−sinxcsx=− 2tanx(x≠3π2)
根据正切函数的单调性可知：函数f(x)在[0,π2)，(π2,π]上递增，在[π,3π2)，(3π2,2π]上递减
故选A．

11.【答案】725 −2425
【解析】解：因为sinα=35，α∈(π2,π)，csα=− 1−sin2α=−45，
cs2α=2cs2α−1=2×(−45)2−1=725，
sin2α=2sinαcsα=2×35×(−45)=−2425．
故答案为：725，−2425．
根据同角的三角函数关系求出csα，再计算cs2α和sin2α的值．
本题考查了同角的三角函数关系与二倍角的三角函数关系应用问题，是基础题．
12.【答案】(π4,π2)
【解析】解：若θ∈(−π2,π2 )，且tanθ>1，则θ∈(π4,π2)，
故答案为：(π4,π2).
由条件利用正切函数的图象特征求得θ的取值范围．
本题主要考查正切函数的图象特征，属于基础题．
13.【答案】 5
【解析】解：a=(0,2)，b=(4,2)，c=ma+b=(4,2m+2)，
∵c与a的夹角等于c与b的夹角，
∴a⋅c|a||c|=b⋅c|b||c|，得4m+42 16+(2m+2)2=16+4m+42 5× 16+(2m+2)2，
解得：m= 5．
故答案为： 5．
由已知求得c的坐标，再由数量积求夹角公式列式求解m值．
本题考查数量积求向量的夹角，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)，且f(x)的图象关于点(π6,0)对称，
所以ω⋅π6+π3=kπ，k∈Z；
解得ω=6k−2，k∈Z，
所以ω的值可以是−2，4，...(写出一个即可)．
故答案为：−2．
根据三角函数f(x)的图象与性质，计算即可．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
15.【答案】①②④
【解析】解：∵f(x)=|sinx|+|csx|，∴f(x)≥0，
∴平方得f2(x)=sin2x+cs2x+2|sinxcsx|=1+|sin2x|∈[1,2]，
∴1≤f(x)≤ 2，即f(x)的最大值是 2，最小值是1，故①，②正确，
∵f(x+π2)=|sin((x+π2)|+|cs((x+π2)|=|csx|+|−sinx|=|csx|+|sinx|=f(x)，即π2是f(x)的一个周期，即函数f(x)的最小正周期为π错误，故③错误，
当x∈(0,π4)时，f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
此时x+π4∈(π4,π2)，则f(x)为增函数，故④正确．
故答案为：①②④．
利用三角函数的有界性，周期性以及单调性进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用平方法，结合三角函数的有界性，周期性以及单调性的性质进行判断是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)∵α∈(π2,π)，csα=−35，
∴sinα= 1−cs2α= 1−(−35)2=45．
∴tanα=sinαcsα=−43．
(Ⅱ)由(Ⅰ)sinα=45，csα=−35，
∴cs(α+π4)= 22csα− 22sinα= 22×(−35)− 22×45=−7 210．
(Ⅲ)sin2α=2sinαcsα=2×45×(−35)=−2425，
cs2α=2cs2α−1=2×(−35)2−1=−725，
∴cs2αsin2α+1=−725−2425+1=−7．
【解析】(Ⅰ)利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值；
(Ⅱ)利用两角和的余弦公式即可求解；
(Ⅲ)由题意结合二倍角公式求出cs2αsin2α+1的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，二倍角公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)因为csC=17,c=8,a=7，
由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，得64=49+b2−14b×17，化简得b2−2b−15=0，
解得b=5或b=−3(舍)，
所以b=5；
(Ⅱ)因为csC=17,0所以sinC= 1−cs2C= 1−(17)2=4 37，
由正弦定理asinA=csinC，得7sinA=84 37，
所以sinA= 32，
因为c>a，所以C>A，
所以A为锐角，
所以A=π3，
所以S△ABC=12absinC=12×7×5×4 37=10 3．
【解析】(Ⅰ)利用余弦定理即可求解；
(Ⅱ)利用正弦定理和三角形面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2cs2ω1x+sinω2x，
则f(0)=2cs20+sin0=2；
(Ⅱ)选择条件①，则f(x)的一个周期为π；
由f(x)=2cs2x+sin2x
=(cs2x+1)+sin2x
= 2( 22sin2x+ 22cs2x)+1
= 2sin(2x+π4)+1；
因为x∈[−π2,π6]，所以2x+π4∈[−3π4,7π12]；
所以−1≤sin(2x+π4)≤1，
所以1− 2≤f(x)≤1+ 2；
当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为1− 2．
选择条件②，则f(x)的一个周期为2π；
由f(x)=2cs2x+sinx
=2(1−sin2x)+sinx
=−2(sinx−14)2+178；
因为x∈[−π2,π6]，所以sinx∈[−1,12]；
所以当sinx=−1，即x=−π2时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为−1．
【解析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．
(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值；
(Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π，
利用三角恒等变换化简f(x)，再求f(x)在[−π2,π6]的最小值．
选择条件②时f(x)的一个周期为2π，
化简f(x)，利用三角函数的性质求出f(x)在[−π2,π6]的最小值．
19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=cs2x+ 3sinxcsx=1+cs2x2+ 32sin2x=sin(2x+π6)+12，
则f(π3)=sin(2×π3+π6)+12=sin5π6+12=12+12=1，
函数的最小周期T=2π2=π．
(Ⅱ)由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，
当k=0时，函数的单调递增区间为[−π3,π6]，
若函数f(x)在区间[0,m]上单调递增，
则[0,m]⊆[−π3,π6]，
即0即实数m的最大值为π6．
【解析】(Ⅰ)利用倍角公式结合辅助角公式进行化简求解即可．
(Ⅱ)根据三角函数的单调性的性质求出函数的单调递增区间，结合单调区间关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)由已知，得AB=(2,2 3)，OC=(2csθ,sinθ)，…(2分)
因为AB//OC，所以4 3csθ=2sinθ，tanθ=2 3.…(3分)
(2)由已知，AC=(2csθ+2,sinθ)，BD=(1,−2 3)，AC ⋅ BD=2csθ−2 3sinθ+2=4cs(θ+π3)+2…(5分)
又θ+π3∈[π3,5π6]，…(6分)
所以，当θ=0时，AC ⋅ BD取得最大值，最大值为4.…(8分)
(3)由已知，CE=(a−2csθ,−sinθ)，
所以，OC⋅CE=2acsθ−4cs2θ−sin2θ=−3cs2θ+2acsθ−1，
设t=csθ，OC⋅CE=−3t2+2at−1,t∈[0,1]…(10分)
当a3<12，即a<32时，f(a)=2a−4，
当a3≥12，即a≥32时，f(a)=−1，
所以，f(a)=2a−4,a<32−1 a≥32…(12分)
因为当a<32时，f(a)所以f(a)的最大值为−1.…(14分)
【解析】(1)由已知中A(−2,0)，B (0,2 3)，C(2csθ,sinθ)，我们可以计算出向量AB,OC的坐标，进而由AB//OC，我们可以构造一个三角方程，利用同角三角函数关系，即可求出tanθ的值；
(2)由D的坐标，我们可以进而求出向量AC,BD的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以给出AC ⋅ BD的表达式，然后根据余弦型函数的性质，及θ∈[0,π2]求出其最大值．
(3)由点E的坐标，我们可以求出向量OC,CE的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以将OC ⋅ CE表示成θ的函数，利用换元法，将其转化为二次函数在定区间上的最值问题后，即可得到答案．
本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，平面向量的综合题，熟练掌握平面向量平行的充要条件，平面向量数量积的运算公式，是解答本题的关键．
21.【答案】解：(Ⅰ){−1,1,2}具有性质P．
(Ⅱ)选取a1=(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(−1,b)．
所以x=2b，从而x=4；
(III)证明：取a1=(x1,x1)∈Y，设a2=(s,t)∈∈Y满足a1⋅a2=0．
由(s+t)x1=0得s+t=0，所以s、t异号．
因为−1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为−1，另一为1，
故1∈X．
假设xk=1，其中1选取b1=(x1,xn)，并设b2=(p,q)满足b1⋅b2=0，
即px1+qxn=0，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为−1．
若p=−1，则x1=qxn，显然矛盾；
若q=−1，则xn=px1所以x1=1．
【解析】(Ⅰ)根据新定义直接判断即可．
(Ⅱ)在Y中取a1=(x,2)，根据数量积的坐标公式，可得Y中与a1垂直的元素必有形式(−1,b)，所以x=2b，结合x>2，可得x的值．
(Ⅲ)取a1=(x1,x1)，a2=(s,t)根据a1⋅a2=0，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而−1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为−1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn>1时，x1=1．
本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了集合元素的性质与向量的综合等知识点，本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．