2022-2023学年广东省河源市龙川重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省河源市龙川重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，集合满足，则符合条件的集合可以是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数为纯虚数是虚数单位，且，则(    )

A. 且 B. 且 C. 或 D. 或

3.  若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知不为常数数列的等差数列的前项和为，满足，且是和的等比中项，则下列正确的是(    )

A. 或 B.
C.  D. 是公差为的等差数列

5.  将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  点到直线距离的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在一般情况下，过江大桥上的车流速度单位：千米小时是车流密度单位：辆千米的函数当桥上的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米小时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数设当车流密度时，车流量单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆小时可以达到最大则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知过点的直线与抛物线：交于，两点，点，则一定是(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 有一个角为的三角形 D. 面积为定值的三角形

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，且，则下列不等式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  袋中有个红球，个白球，个黄球现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一白的概率也为，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在平面内，点，为两个定点，动点满足，则点到直线的距离为的点恰好有两个，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，已知正三棱柱中，，，为的中点，直线与平面的交点为，则以下结论正确的是(    )

A.
B. 直线平面
C. 在线段上不存在一点使得
D. 以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  函数在坐标原点处的切线的斜率为______ ．

14.  若，则 ______ ．

15.  的展开式的常数项为______ ．

16.  将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列的前项和为，且，_____．
请在；，且；，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．

18.  本小题分
如图，在体积为的四棱锥中，平面，且，，
．
求的长；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

19.  本小题分
在中，已知内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，求的最大值．

20.  本小题分
某茶楼提供了龙井、大红袍等几类茶叶供顾客选择根据以往销售统计资料，顾客选择龙井的概率为，选择大红袍但不选择龙井的概率为，设各顾客选择茶叶的种类是相互独立的．
求该茶楼的一位顾客至少选择龙井、大红袍两种茶叶中的一种的概率；
表示该茶楼的位顾客中，龙井、大红袍两种茶叶都不选择的顾客数求的数学期望及方差．

21.  本小题分
已知椭圆：的离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，且的面积为．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．

22.  本小题分
已知函数．
若恒成立，求的最小值；
证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由解得，，
，，，，
只有选项的方程才符合题意．
故选C．
求出集合和答案选项中的各个集合即可．
本题考查各类方程的求解和集合的交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数为纯虚数，
则，
故，
，
则或．
故选：．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，母线长为，
由题意知，，所以，
即该圆锥的母线长等于底面圆的直径，
所以圆锥的轴截面为等边三角形，
所以母线与底面所成的角为，正弦值为．
故选：．
根据题意得出圆锥的母线长等于底面圆的直径，圆锥的轴截面是等边三角形，母线与底面所成的角以及角的正弦值．
本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，或者．
是和的等比中项，，
时，舍去，B错误．
时，，解得，
所以，，C正确．
，是公差为的等差数列，D错误．
故选：．
根据等差数列的性质，可得，根据是和的等比中项，可得，从而判断各选项．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：将函数向左平移个单位得到函数．
根据诱导公式知当时有：
故选D．
先根据图象变换得到平移后的函数，然后结合诱导公式可得到，进而可确定答案．
本题主要考查图象变换和诱导公式的应用．考查对基础知识的综合运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：点到直线距离：
，
当时，点到直线距离取最大值为．
故选：．
利用点到直线的距离公式直接求解．
本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
则当时，，
当时，，即，解得，
故，
当时，的最大值为时，；
当时，根据二次函数的对称轴得的最大值为时，．
故选：．
根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出，的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可．
本题主要考查函数的应用问题，利用待定系数法，求出分段函数的表达式，利用二次函数的性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，，过点的直线方程为，
将直线方程与抛物线：联立得：，，
，．
点，，，

，
所以，故B正确．
当直线无限接近平行于对称轴时，显然，
不一定是等腰三角形，同时无限接近，故C不正确；
点到直线：的距离为，
，

不为定值．故D错误，
故选：．
设，，过点的直线方程为，联立方程组可证，进而易判断，，，可证的面积不为定值，可判断．
本题考查抛物线的性质，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，当，时，满足，但不成立，错误，
，，，正确，
，当，时，满足，但，错误，
，由知，为绝对值比大的正数，且是正数，，正确．
故选：．
利用举实例判断，利用不等式的基本性质判断．
本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：取出的两个都是红球的概率为，即，解得，选项B错误；
取出的两个是一红一白的概率为，化简得，解得，所以，所以，选项A正确；
计算，，，
所以，选项C正确；
由，判断选项D正确．
故选：．
根据取出的两个都是红球的概率和取出的两个是一红一白的概率列方程组求出、的值，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设点，
由得，
整理得，
因为圆心到直线的距离为，
由几何意义可知恰好满足有两个点符合的距离为的范围为．
故选：．
由已知结合向量数量积的坐标表示可求出的轨迹方程，然后结合圆的性质可求．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，还考查了圆的性质的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：延长，延长，交于点，连接，因为，分别为线段和的中点，可得，
又平面，而平面，可得，
又，可得平面，而平面，可得，所以A正确；
连结，交于点，易证得是的中位线，，平面，平面，
直线平面，所以B正确；
取的中点为，连结，则平面，欲证，只需，显然过作的垂线即可，
所以存在这样的点，所以C错误；
因为平面，所以以为球心，为半径的球被侧面截得的小圆为以为圆心，为半径的圆，
其交线为四分之一的圆弧，长度为，所以D正确．
故选：．
由线面垂直的判定和性质可判断；由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理可判断；由线面垂直的判定和性质可判断；求得以为球心，为半径的球被侧面截得的小圆为以为圆心，为半径的圆，其交线为四分之一的圆弧，计算可判断．
本题考查线面平行和线线垂直的判定，以及线面垂直的判定和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，
得，
代入，得原点处的切线斜率为．
故答案为：．
求出原函数的导函数，可得时的导数值，则答案可求．
本题考查导数的几何意义及应用，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
由题意利用诱导公式即可求解．
本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：每个括号内有，，，若的项式乘积中先选，显然不会超过项．
，显然不可能出现的项；
再考虑，展开式中，唯有取会出现常数项，为．
而，不可能出现常数项．
故答案为：．
根据多项式乘积的性质分别进行讨论求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式乘积的性质，进行讨论是解决本题的关键，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设在三棱台中，
首先：对，，着色，有种；
然后：点可以用或点的色，也可以用剩下的两种色．
现分类：用或点的色，对称性，不妨设用点的色，则点有种色可以选择，
又分为两类：与同色，则有种色可选择；与不同色，则有种色可选择，共有
用剩下的两种色，则点有种色可选择，又分为两类：与同色，则有种色可选择；与不同色，则有种色可选择．共有：．
所以不同的染色方法的总数是．
故答案为：．
利用分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是中档题．
 

17.【答案】解：，得，，
所以数列是以为公差的等差数列，，解得，所以；
，得，
依等差数列的定义知数列是等差数列，所以有，，
解得，所以．
，，两式相减得：，
化为，，所以，由，得，解得，
所以．
，当时，可得．
所以数列的前项和为再加上首项为，公差为的等差数列的前项和，
所以．
综上：． 

【解析】由已知可得，可求数列的通项公式；，得，可求数列的通项公式；由已知可得，可求数列的通项公式；
，分或两种情况求数列的前项和．
本题考查求数列的通项公式，考查求数列的前项的和，属中档题．
 

18.【答案】解：由题意，，解得．
如图，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，
方向为轴建立空间直角坐标系．

则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，则，，
平面的一个法向量，
平面，取与共线的向量为平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则． 

【解析】由三棱锥的体积可求的长；
以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系．求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
本题考查利用体积求线段长，考查利用向量求面面角的余弦值，属中档题．
 

19.【答案】解：由正弦定理得，，
由三角形的内角和定理，得，
所以得，解得，
，；
若，，由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，，利用基本不等式可得，
所以当且仅当时，取等号，即的最大值为． 

【解析】由正弦定理得，利用三角恒等变换可求；
由正弦定理可求，进而由余弦定理可得，由基本不等式可求的最大值．
本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属中档题．
 

20.【答案】解：记表示事件：该茶楼的一位顾客选择龙井；
表示事件：该茶楼的一位顾客选择大红袍但不选择龙井；
表示事件：该茶楼的一位顾客至少选择龙井、大红袍两种茶叶中的一种；
表示事件：该茶楼的一位顾客龙井、大红袍两种茶叶都不选择．
Ⅰ，，，
．
Ⅱ，，
，即服从二项分布，
所以期望为，方差为． 

【解析】Ⅰ根据互斥事件的概率和计算即可．
Ⅱ根据对立事件的概率公式和二项分布，计算数学期望和方差．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．
 

21.【答案】解：设椭圆的半焦距为，
依题意有，，，
，，，
所求椭圆方程为．
设，，
当轴时，；
当与轴不垂直时，
设直线的方程为，
坐标原点到直线的距离为，
则，即．
把代入椭圆方程，整理得，
，
．
结合，消去，可化为，，
当且仅当，即，，时，等号成立，
又当不存在时，，
综上所述，的最大值为，
所以的面积的最大值为． 

【解析】根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解；
先求出当轴时，，当与轴不垂直时，设出直线方程，并与椭圆方程联立，再结合判别式法，以及韦达定理，弦长公式，不等式的公式，即可求解．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：函数的定义域是，
若恒成立，则恒成立，
令，则，
时，，时，，
故在递增，在递减，
故，
故，的最小值是；
证明：当时，由得，即，
令，则，则，
由得，
故． 

【解析】问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出的最大值，求出的最小值即可；
根据，再令，得到，从而证明不等式成立即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，转化思想，是中档题．