2022-2023学年河南省焦作市普通高中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省焦作市普通高中高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B. 或
C.  D.

2.  已知函数且其中是的导函数，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知随机变量的数学期望，方差，若随机变量满足，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4.  已知双曲线的焦距为，若，，成等比数列，则该双曲线的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  记为等比数列的前项和若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若曲线在处的切线的倾斜角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知在数列中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

9.  “保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念小红早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，还可以步行已知小红骑单车的概率为，乘坐公共汽车的概率为，步行的概率为，而且骑单车、乘坐公共汽车、步行时，小红准时到校的概率分别为，，，则小红准时到校的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  的展开式中的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知函数在定义域内单调递增，则实数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  设，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知函数是定义在上的奇函数，且当时，若为的导函数，则 ______ ．

14.  写出一个同时具有下列性质的函数解析式______．
定义域为；
值域为；
在定义域内是单调递减函数

15.  已知函数，，则的极小值为______ ．

16.  已知数列的前项和为，若为非零常数，且，则 ______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，已知，且，角为锐角．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若的外接圆面积为，求．

18.  本小题分
已知正项等比数列的前项和为，且，．
Ⅰ证明：数列是等比数列；
Ⅱ已知数列满足，求的前项和．

19.  本小题分
研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义中国明确提出节能减排的目标与各项措施，工业和信息化部在年新能源汽车推广应用中提出了财政补贴政策后，某新能源汽车公司的销售量逐步提高，如图是该新能源汽车公司在年月份的销售量单位：万辆与月份的折线图．
Ⅰ依据折线图计算，的相关系数，并据此说明可用线性回归模型拟合与的关系；若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合
Ⅱ请建立关于的线性回归方程，并预测年月份的销售量．
参考数据及公式：，相关系数，在线性回归方程中．

20.  本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，．
Ⅰ求证：平面．
Ⅱ在线段上是否存在一点与端点，不重合，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，说明理由．

21.  本小题分
已知抛物线：的焦点为，为该抛物线上一点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若斜率为的直线与抛物线交于异于点的，两点，且满足，求直线的方程．

22.  本小题分
已知函数．
Ⅰ若在上是增函数，求实数的取值范围；
Ⅱ若函数，，证明：当时，恒成立．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
集合，
所以
故选：．
化简集合，根据交集的定义写出．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则，
所以．
故选：．
先对函数求导，然后把代入即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：期望，方差，
，
．
故选：．
根据离散型随机变量的期望和方差的线性性质求解．
本题主要考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：双曲线的焦距为，若，，成等比数列，
可得，所以，
可得，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为：
故选：．
利用已知条件求解，关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为等比数列中，，，
当，，此时不存在，
当时，则，
则．
故选：．
由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：函数，
，
，
即，
．
故选：．
先求出函数的导数，然后求出该函数在处的切线斜率，从而求出，再利用同角三角函数关系式，倍角公式求解．
本题考查导数的几何意义和同角三角函数基本关系式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：已知在数列中，，，，
则，，，，，，，
则数列是以为周期的周期数列，
则，
即，
则．
故选：．
由数列的递推公式，结合数列的周期性求解即可．
本题考查了数列的性质，重点考查了数列的周期性，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为数列的通项公式为，，
所以是递增数列时，对于任意的正整数都成立，
即，
即对于任意的正整数都成立，
所以．
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件．
故选：．
根据数列是递增数列时，对于任意的正整数都成立，求出的取值范围，由此判断即可．
本题考查了数列的单调性应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，设事件表示小红乘坐公共汽车，事件表示小红骑单车，事件表示小红步行，
事件表示小红准时到校，
则，，，，，，
故．
故选：．
根据题意，设事件表示小红乘坐公共汽车，事件表示小红骑单车，事件表示小红步行，事件表示小红准时到校，利用全概率公式有，进而计算可得答案．
本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
要得到含的项，来源有个：
若前边的括号取，则后边的括号取；
若前边的括号取，则后边的括号取；
若前边的括号取，则后边的括号取．
故的展开式中的系数是．
故选：．
把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：的定义域为，，
由于函数在定义域内单调递增，
则在恒成立，
则，即，
令，
则，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故，
故实数的最小值为．
故选：．
对求导，由在定义域内单调递增，可得在恒成立，即在恒成立，令，转化为求，可得的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
构造函数，，
令，，，且，
所以在单调递增，所以，即，得；
令，，由在上恒成立，得在上单调递增，
由，所以，即，
故；
所以．
故选：．
根据，，，构造函数，，令，，研究，在上的单调性，且，即可得到，，由此即可得到结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性，进而解决数的大小比较问题，属于较难的题目．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为函数是定义在上的奇函数，且当时，．
所以时，，
则，
所以，
则，
则．
故答案为：．
结合奇偶性先求出时的函数解析式，对其求导，再把代入即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了复合函数的求导公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意，指数函数，当时，其定义域为，值域为；
且在在定义域内是单调递减函数，
故该函数可以为；
故答案为：答案不唯一．
根据题意，由指数函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的单调性和值域，注意常见函数的定义域、值域和单调性，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：已知函数，，
，，
令，解得或，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
则的极小值为．
故答案为：．
求导，判断单调性，写出极小值即可．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：已知数列的前项和为，
又，
则，，
由可得：，，
又为非零常数，
所以，
即，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
又，
则，
即，
即．
故答案为：．
由数列的递推式，结合等比数列通项公式的求法求解即可．
本题考查了数列的递推式，重点考查了等比数列通项公式的求法，属基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ，
由正弦定理可得，
即，即，
，，
，
又为锐角，；
Ⅱ由于的外接圆面积为，故外接圆半径为，
，
由正弦定理可得． 

【解析】Ⅰ由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式可得，由求得，，即可得出角；
Ⅱ由的外接圆面积得出外接圆半径，由求出，由正弦定理可得，即可得出结果．
本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ证明：的公比为，
由题意，得，，
联立二式，解得，，，
所以，
所以，，
所以数列是以为公比的等比数列；
Ⅱ由Ⅰ得，，所以，
所以，
所以，
，
，
化简，得． 

【解析】Ⅰ通过已有条件求出等比数列的公比和首项，进而求出前项和，再求出，通过作商证明其是等比数列；
Ⅱ求出数列的通项公式，然后求前项和．
本题主要考查等比、差比数列相关性质，联立方程是求解数列的关键，属中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由该新能源汽车公司在年月份的销售量与月份的折线图中的数据可知，
，，
，，，
所以，，
故可用线性回归模型拟合与的关系．
Ⅱ由Ⅰ中的数据可得，
则，
故关于的线性回归方程为，
当时，．
故可以预测年月份的销售量为万辆． 

【解析】Ⅰ由折线图中的数据，结合公式求得，即可得到结论；
Ⅱ由Ⅰ中的数据，利用回归系数的公式，求得和，得出回归直线方程，将代入即可预测年月份的销售量．
本题考查回归方程的应用，属于中档题．
 

20.【答案】Ⅰ证明：由题可知在中，，，
，，，
又，是等腰直角三角形，，
，又，，，
，，
，平面，平面，
平面．
 Ⅱ解：是线段的中点，理由如下：
以为原点，直线，分别为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，，，
易知平面的一个法向量为．
设，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
由题意可知二面角为锐二面角，
，，解得，
是线段的中点． 

【解析】Ⅰ证明，，可证平面．
Ⅱ以为原点，直线，分别为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，
求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求的值，进而确定点的位置．
本题考查线面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查面面角的求法，属中档题．
 

21.【答案】解：为该抛物线上一点，
，得，即抛物线方程为，准线方程为，
由抛物线定义知．
直线斜率，
设直线的方程为，代入，整理可得，
设，，
则判别式，可得，
，，
，，
即所以，
即，
则，
即，
即，得，解得或，
又当时，直线经过点，
不符合题意，
故直线的方程为． 

【解析】将点的坐标代入抛物线方程求出抛物线方程，利用抛物线的定义进行求解即可；
设直线的方程，代入抛物线方程，结合韦达定理及向量垂直建立方程，求解即可．
本题主要考查抛物线的定义和性质，联立直线方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理和设而不求思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ因为，所以，
因为在上是增函数，所以在上恒成立，可得在上恒成立，
令，，则，
当时，，所以在，上是增函数，
所以，所以，解得或，
即实数的取值范围是，．
Ⅱ若，则，
下面证明当时，不等式成立，
令，，则，
令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以当时，，即恒成立．
要证当时，恒成立，即证恒成立，
即证恒成立，
结合式，现证成立，即证在上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，故，即恒成立．
因为两式取等号的条件不一致，故恒成立，
即当时，恒成立． 

【解析】Ⅰ求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；
Ⅱ先构造函数利用导数证明当时，不等式成立，则问题转化为证明恒成立，即证恒成立，即证在上恒成立，再构造函数，利用导数证明即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．