陕西省西安市阎良区2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

阎良区2021~2022学年度第二学期期末质量检测

高一数学

注意事项：

1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；

2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；

3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收．

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列角的终边与角的终边在同一直线上的是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据与角的终边在同一直线上的角可表示为，然后对赋值可得出正确选项.

【详解】与角的终边在同一直线上的角可表示为，，

当时，，所以，角的终边与角的终边在同一直线上.

故选D．

【点睛】本题考查终边在同一直线上的两角之间的关系，熟悉结论：与角的终边在同一直线上的角为，属于基础题.

2. 下列说法中正确的是（　　）

A. 若都是单位向量，则

B. 已知，非零实数，若，则与共线

C. 与非零向量共线的单位向量是唯一的

D. 若向量，，则

【答案】B

【解析】

【分析】利用两向量相等：大小相等、方向相同，即可判断A错误; 对于B选项：由两向量共线定理判断即可；与非零向量共线的单位向量方向可与其相同也可相反即可判断C错误;当时，D错误.

【详解】对于A选项：都是单位向量，即，但方向可能不一样.故A错误;

对于B选项：，为非零实数，若，即，由两向量共线定理可知与共线.故B正确;

对于C选项：与非零向量共线的单位向量有两个：与.故C错误.

对于D选项：当时，错误.

故选：B.

3. 如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据正八边形的几何性质可知，结合向量的减法运算，可得答案.

【详解】因为，所以，

故选:A.

4. 假设要检验某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号为（    ）（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

A. 331 B. 068 C. 455 D. 572

【答案】B

【解析】

【分析】由题目给出的随机数表，按照读取随机数表的方法得答案．

【详解】解：从随机数表第7行第8列的数开始向右读，，（舍去），，，……，

则第3支疫苗的编号为．

故选：B．

5. 已知，，则（    ）

A. -2 B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据同角的三角函数的基本关系式可求.

【详解】因为，，，

故选：D

6. 已知向量，，则向量夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据数量积的坐标运算即可求解.

【详解】 ，因为 ，所以夹角为

故选：A

7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为5，则输出结果为（    ）

A. 5 B. 6 C. 11 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 的值，当 时，不满足条件 ，退出循环，输出 的值为11

【详解】模拟执行程序框图，可得，，满足条件，，

满足条件，，满足条件，，满足条件，，

满足条件，，不满足条件，退出循环，输出的值为11.

故选：C.

8. 连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ）

A. 只有2次出现反面 B. 至少2次出现正面

C. 有2次或3次出现正面 D. 有2次或3次出现反面

【答案】D

【解析】

【分析】根据对立事件的定义选择

【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为“有2次或3次出现反面”

故选：D

9. 已知一组数据，，，…．，的方差为4，将这组数据，，，．．中的每个数先减去4，再乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的方差为（    ）

A. 4 B. 18 C. 36 D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】根据方差性质，即可求解.

【详解】新数据为，由条件可知数据，，，…．，的方差为4，则新数据的方差为.

故选：C

10. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制（Dense position system），密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0-03，123密位写成1-23，设圆的半径为1，那么5-00密位的圆心角所对的弧长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先进行单位转化，再由弧长公式求解即可.

【详解】5-00密位的圆心角的弧度为，则5-00密位的圆心角所对的弧长为.

故选：A

11. 甲､乙两台机床生产同一种零件，根据两台机床每天生产零件的次品数，绘制了如下茎叶图，则下列判断错误的是（    ）

A. 甲的平均数大于乙的平均数 B. 甲的众数大于乙的众数

C. 甲的方差大于乙的方差 D. 甲的性能优于乙的性能

【答案】D

【解析】

【分析】A.利用平均数公式求解判断；B.利用众数的定义求解判断；C.利用方差的公式求解判断；D.根据方差判断.

【详解】A.甲的平均数 ,乙的平均数，故正确；

B.甲的众数是15，乙的众数是12，故正确；

C.甲的方差，

乙的方差，故正确；

D. 由甲的方差大于乙的方差，得甲的性能劣于乙的性能，故错误；

故错误；

故选：D

12. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2，若点P在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据数量积的几何意义求解．

【详解】，即与在向量方向上的投影的积．由图2知，点在直线上的射影是中点，由于，圆弧直径是2，半径为1，

所以向量方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，

因此的最大值是，最小值是，因此其取值范围为，

故选：D．

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知，则___．

【答案】##

【解析】

【分析】利用正切的二倍角公式求解即可

【详解】因为，

所以，

故答案为：

14. 在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为_____．

【答案】

【解析】

【分析】在内求解不等式，由解集的区间长度与作比即可得解.

【详解】由，且，可得.

所以事件“”发生的概率为.

故答案为.

【点睛】本题主要考查了“长度型”的几何概型求解问题，属于基础题.

15. 在区间[0，2π]上，函数的定义域为___．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，再结合可求得答案

【详解】由题意得，且，

即 且，

所以，得，

所以函数定义域为，

故答案为：

16. 如图是函数的部分图像，则下列说法正确的编号是___________.

①

②

③是函数的一个对称中心

④函数在区间上是减函数

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据图像先求解出以及最小正周期，则的值可求；再根据最高点以及的取值范围求解出的值；计算的值是否为，由此判断是否为对称中心；采用整体替换的方法先求解出的单调递减区间，由此判断在上是否为减函数.

【详解】由图像可知，函数的最小正周期，

所以，故①正确；

因为，

所以，，解得，，

又，所以，，故②正确；

函数，

因为，

所以不是函数的一个对称中心，故③错误；

令，，

得，，

当时，，因为，

所以函数在区间上是减函数，故④正确，

故答案为：①②④.

【点睛】思路点睛：求解形如的函数的单调递减区间的步骤如下：

（1）先令；

（2）解上述不等式求解出的取值范围即为对应的单调递减区间.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知，且向量的夹角是．

（1）若，求k的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）7

【解析】

【分析】（1）由，得，结合已知条件化简计算，可求出k的值；

（2）先计算的值，再开方可求出的值

【小问1详解】

∵，且向量的夹角是，

．

，

，

，

即，

解得．

【小问2详解】

，

18. （1）计算；

（2）已知的终边过点（1，－2），求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）将化为，然后利用两角和的正弦公式化简计算即可，

（2）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简计算

【详解】解：（1）

．

（2）由题意得，

．

19. 已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1），   

（2），

【解析】

【分析】（1）利用余弦函数的增减性列不等式可得答案；

（2）先讨论函数的增减区间，再结合所给角的范围，可得最值.

【小问1详解】

令，，

可得，

故的单调递增区间为，.

【小问2详解】

 由（1）知当时，在单调递增，

可得在单调递减，

而，

从而在单调递减，在单调递增，

故，

.

20. 2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85， 90]，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求a的值以及估计这100人中测试成绩在[80，85）的人数；

（2）若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作交流分享，并在这6人中再抽取2人担当该活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．

【答案】（1），20人   

（2）

【解析】

【分析】（1）由所有频率之和为1，即可求出a的值.再利用频率总数=频数即可求出测试成绩在[80，85）的人数.

（2）分别求出分层抽样第三、四、五组的人数，再利用列举法即可求出答案.

【小问1详解】

解得：.

测试成绩在[80，85）的人数为：人.

小问2详解】

第三组频率为，第四组频率，第五组频率为，

故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交成分享，

三组人数分别为3人，2人和1人，

记第三组抽取的人为，，，第四组抽取的人为，，第五组抽取的人为，

则抽取2人的所有情况如下，共15种．，

其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有：共9种，

故第四组至少有1名老师被抽到的概率为

21. 已知函数相邻两个零点之间的距离为，且的图像关于点（，0）对称．

（1）求函数的解析式；

（2）将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在[0，m]上的值域为[－1，2]，求m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由相邻两个零点之间的距离为，可得，从而可求出，再由的图像关于点（，0）对称，可得，从而可求出的值，进而可求出的解析式；

（2）由三角函数的图象变换规律求出，然后由，得，再结合在[0，m]上的值域为[－1，2]，可得，从而可求出m的取值范围

【小问1详解】

由题得，则，

∵函数f（x）的图像关于点（，0）对称，

∴，即，

又，

故．

【小问2详解】

将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，

再将所得的图像向右平移个单位长度，得，

所以，

，

，

在上的值域为[－1，2]，

∴，

解得，

故m的取值范围为．

22. 经过全党全国各族人民的共同努力，在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国的脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！2022年元月份大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对某村居民从2016~2021年每年的人均收入进行了细致地调查，获得该村居民的年人均收入y（百元）和年份代码x的数据如表所示，并发现y与x之间存在线性相关关系．

（1）利用2016~2020年的相关数据，求y关于x的线性回归方程；

（2）若由线性回归方程得到估计数据与表中剩下的实际数据的误差不超过60元，则认为所得到的线性回归方程是理想可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否理想可靠？若可靠，求出该村2022年的年人均收入的估计值；若不可靠，请说明理由．

参考公式：回归直线方程中，，．

参考数据：，．

【答案】（1）   

（2）可靠，235百元

【解析】

【分析】（1）先计算，，再由参考公式及参考数据计算回归方程即可；

（2）直接代入x＝6计算和实际数据比较即可得到可靠，代入x＝7即可计算2022年的年人均收入的估计值.

【小问1详解】

因为，，

所以，

则，

所以y关于x的线性回归方程为；

【小问2详解】

当x＝6时，百元．

则，

所以可以认为（1）中所得到的线性回归方程是理想可靠的．

当x＝7时，百元．

所以该村2022年的年人均收入约为235百元．