2024高考物理大一轮复习讲义 第八章 实验九 用单摆测量重力加速度

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实验技能储备
1．实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πeq \r(\f(l,g))，由此得到g＝eq \f(4π2l,T2)，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值．
2．实验器材
单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表．
3．实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度．
(6)改变摆长，重做几次实验．
4．数据处理
(1)公式法：利用T＝eq \f(t,N)求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝eq \f(4π2l,T2)求重力加速度．
(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝eq \f(g,4π2)T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度．
5．注意事项
(1)一般选用一米左右的细线．
(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．
(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长．
(4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.
(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．
考点一 教材原型实验
例1 (2023·江苏南通市模拟)某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中：
(1)组装单摆时，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的上端，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示．这样做的目的有__________；
A．保证摆动过程中摆长不变
B．需要改变摆长时便于调节
C．保证摆球在同一竖直平面内摆动
(2)安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d＝________ mm；
(3)某次实验过程中，用秒表记录时间的起点应该是摆球运动过程中的________________(选填“最高点”或“最低点”)；
(4)该组同学测出五组单摆振动周期T与摆长L的数据如表，请在图丙中作出T2－L关系图像．根据图像算出重力加速度g＝________ m/s2(结果保留3位有效数字)．
(5)若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是____________________(写出一个)．
答案 (1)AB (2)18.9 (3)最低点
(4)见解析图 9.84(9.83～9.89范围内均可)
(5)见解析
解析 (1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变．上述做法并不能保证摆球在同一竖直平面内摆动，故选A、B.
(2)由题图乙可知摆球直径为d＝18 mm＋9×0.1 mm＝18.9 mm.
(3)摆球在最高点附近运动速度较小，人由于视觉原因不可能精确定位摆球是否经过最高点，由此造成时间测量的相对误差较大．摆球在最低点附近速度较大，因位置判断造成的误差对时间测量的影响较小，所以应在摆球经过最低点时开始计时．
(4)作出T2－L关系图像如图所示．
根据单摆周期公式有T＝2πeq \r(\f(L,g))变形可得T2＝eq \f(4π2L,g)，所以图像的斜率为k＝eq \f(4π2,g)＝eq \f(3.61,0.9) s2/m，解得g≈9.84 m/s2.
(5)本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成n次全振动的总时间t，从而求得周期，若计算时不慎将n的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成g的测量值偏大．
实验时，摆球有时不一定严格在竖直面内运动，而是做圆锥摆运动，在摆角为θ的情况下，小球向心力为F＝mgtan θ＝meq \f(4π2,T2)Lsin θ，解得T＝2πeq \r(\f(Lcs θ,g))，由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成g的测量值偏大．还有可能在实验过程中，铁夹处摆线出现了松动，使摆长的真实值比测量值偏大，从而造成g的测量值偏大．
例2 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝eq \f(4π2l,T2)，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上T2－l图像是一条过坐标原点的直线．
(1)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图)，以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是________(只填写相应的步骤前的字母即可)．
A．将石块用细尼龙线系好，结点为N，将尼龙线的上端固定于O点
B．用刻度尺测量ON间尼龙线的长度L作为摆长
C．将石块拉开一个大约5°的角度，然后由静止释放
D．从石块摆到最低点时开始计时，当石块第30次到达最低点时结束计时，记录总时间为t，由T＝eq \f(t,30)得出周期
E．改变ON间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的L和T
F．求出多次实验中测得的L和T的平均值作为计算时使用的数据，代入公式g＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2l，求出重力加速度g
(2)该同学根据实验数据作出的T2－L图像如图所示：
①由图像求出的重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87)．
②由于图像没有能通过坐标原点，求出的重力加速度g值与当地真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)；若利用g＝eq \f(4π2l,T2)，采用公式法计算，则求出重力加速度g值与当地真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)．
答案 (1)BDF (2)①9.87 ②不变 偏小
解析 (1)该同学以上实验步骤中有错误或不当的步骤的是B、D、F，B步骤中摆长应是悬点到大理石块重心的距离；D步骤中第30次经过最低点，则此单摆一共完成了15个全振动，所以周期为T＝eq \f(t,15)；F步骤中必须先分别求出各组L和T值对应的g，再取所求得的各个g的平均值．
(2)①图像的斜率k＝eq \f(4π,g)2＝eq \f(4.0－0,[99－－1]×10－2) s2/m＝4 s2/m，所以加速度g＝9.87 m/s2.
②根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得T2＝eq \f(4π2L,g)，根据数学知识可知，T2－L图像的斜率k＝eq \f(4π2,g)，则当地的重力加速度g＝eq \f(4π2,k)，由于图像不通过原点，则T2＝eq \f(4π2l,g)＝eq \f(4π2L＋r,g)＝eq \f(4π2L,g)＋eq \f(4π2r,g)，根据数学知识可知，对于T2－L图像来说两种情况下图像的斜率不变，所以测得的g值不变；经分析可知出现上述图像不过坐标原点的原因是摆长测量值偏小，若利用g＝eq \f(4π2l,T2)计算，则求出的重力加速度g值与当地真实值相比偏小．
考点二 探索创新实验
例3 滑板运动场地有一种常见的圆弧形轨道，其截面如图所示，某同学用一辆滑板车和手机估测轨道半径R(滑板车的长度远小于轨道半径)．主要实验过程如下：
(1)用手机查得当地的重力加速度为g；
(2)找出轨道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次全振动的时间t，算出滑板车做往复运动的周期T＝________；
(3)将滑板车的运动视为简谐运动，则可将以上测量结果代入R＝________(用T、g表示)中计算出轨道半径．
答案 (2)eq \f(t,n) (3)eq \f(gT2,4π2)
解析 (2)(3)滑板车做往复运动的周期T＝eq \f(t,n)，根据单摆的周期公式有T＝2πeq \r(\f(R,g))，得R＝eq \f(gT2,4π2).
课时精练
1．利用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验．
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．秒表
F．时钟
G．10分度的游标卡尺
H．最小刻度为毫米的米尺
用了米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)．
(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，测量的示数如图乙所示，读出小球直径的值为________ mm.
(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂．用米尺测量摆线长度为L.小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝________.(用L、d、n、t表示)
(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是__________________________________________(写出一条即可)．
答案 (1)ACEG (2)17.6 (3)eq \f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2))),t2) (4)实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他答案合理也可)
解析 (1)摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m的细线，摆球选择质量大、体积小的球，所以选择直径约2 cm的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，实验中需用10分度的游标卡尺测量摆球的直径，故选A、C、E、G.
(2)游标卡尺的主尺读数为17 mm，游标尺读数为0.1×6 mm＝0.6 mm，则小球直径为17.6 mm.
(3)单摆的摆长l＝L＋eq \f(d,2)，单摆的周期T＝eq \f(t,n)，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))得g＝eq \f(4π2l,T2)＝eq \f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2))),t2).
(4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能实验所在处纬度低或海拔比较高．
2．在“用单摆测量重力加速度”的实验中．
(1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径d，测量的示数如图所示，则摆球直径d＝________ cm，再测量摆线长为l，则单摆摆长L＝________(用d、l表示)；
(2)摆球摆动稳定后，当它到达________(填“最低点”或“最高点”)时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝1、2、3、…)，当n＝60时刚好停止计时．此时的停表如图所示，其读数为________ s，该单摆的周期为T＝________ s(周期要求保留三位有效数字)；
(3)计算重力加速度测量值的表达式为g＝______(用T、L表示)，如果测量值小于真实值，原因可能是________；
A．将摆球经过最低点的次数n记少了
B．计时开始时，停表启动稍晚
C．将摆线长当成了摆长
D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长
(4)正确测量不同摆长L及相应的单摆周期T，并在坐标纸上画出T2与L的关系图线，如图所示．由图线算出重力加速度的大小g＝________ m/s2(保留3位有效数字，计算时π2取9.86)．
答案 (1)1.84 eq \f(d,2)＋l (2)最低点 67.5 2.25
(3)eq \f(4π2L,T2) AC (4)9.86
解析 (1)摆球直径d＝1.8 cm＋0.1 mm×4＝1.84 cm；单摆摆长L＝eq \f(d,2)＋l；
(2)摆球摆动稳定后，当它到达最低点时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝1、2、3、…)，当n＝60时刚好停止计时．此时的停表读数为67.5 s，该单摆的周期为
T＝eq \f(t,\f(n,2))＝eq \f(67.5,30) s＝2.25 s；
(3)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))计算重力加速度测量值的表达式为g＝eq \f(4π2L,T2)，将摆球经过最低点的次数n记少了，则计算周期T偏大，则g测量值偏小，选项A正确；计时开始时，停表启动稍晚，则周期测量值偏小，则g测量值偏大，选项B错误；将摆线长当成了摆长，则L偏小，则g测量值偏小，选项C正确；将摆线长和球的直径之和当成了摆长，则L偏大，则g测量值偏大，选项D错误．
(4)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))可得T2＝eq \f(4π2,g)L，由图像可知k＝eq \f(4π2,g)＝eq \f(4.85－3.25,1.20－0.80) s2/m＝4 s2/m，解得g＝9.86 m/s2.
3．(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图像如图丁所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到摆球顶点的绳长不变，改用直径是原摆球直径2倍的另一摆球进行实验，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将________(选填“变大”“不变”或“变小”)．
答案 (1)乙 (2)2t0 变大 变大
解析 (1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是题图乙．
(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为T＝t1＋2t0－t1＝2t0；摆球的直径变大后，摆长变长，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光的时间变长，即Δt变大．
4．某同学用图(a)所示的沙漏摆研究单摆的运动规律．实验中，木板沿图示O′O方向移动，根据漏在板上的沙描出了如图(b)所示的图形，然后分别沿中心线OO′和沙漏摆摆动方向建立直角坐标系，并测得图(b)中Oa＝ab＝bc＝cd＝s，则：
(1)该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为________；
(2)若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T，则木板移动的速度表达式为v＝________；
(3)该同学利用该装置测定当地的重力加速度，他认为只有少量沙子漏出时，沙漏重心的变化可忽略不计，但是重心位置不确定，于是测量了摆线的长度L，如果此时他直接利用单摆周期公式计算重力加速度，则得到的重力加速度值比真实值________(选填“偏大”“偏小”或“相等”)，若要避免由于摆长无法准确测量产生的误差，则可通过改变沙漏摆的摆线长L，测出对应的周期T，并绘制________图像，根据图像的斜率可求得重力加速度，此时__________________________________表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离．
答案 (1)时间 (2)eq \f(2s,T) (3)偏小 T2－L 图像与横轴L的交点到坐标原点的距离
解析 (1)该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为时间；
(2)若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T，则木板移动的速度表达式为v＝eq \f(2s,T)；
(3)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得g＝eq \f(4π2L,T2)，则只用摆线长作为单摆的摆长，则L偏小，测得的重力加速度值偏小；若沙漏摆的重心到摆线下端的距离为h，则摆长为L＋h，根据T＝2πeq \r(\f(L＋h,g))，可得T2＝eq \f(4π2,g)L＋eq \f(4π2h,g)，则可绘制T2－L图像，根据图像的斜率可求得重力加速度，当T＝0时L＝－h，则图像与横轴L的交点到坐标原点的距离表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离．
5．某实验小组利用图示装置做“用单摆测量重力加速度”的实验．
(1)该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t.请写出重力加速度的表达式g＝____________；(用所测物理量表示)
(2)在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示，将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v－t图线．由图丙可知，该单摆的周期T＝________ s；
(3)更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2－l图像，并根据图像处理得到方程T2＝4.00l＋0.037 (s2)．由此可以得出当地的重力加速度g＝________ m/s2.(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)
答案 (1)eq \f(4π2n2l,t2) (2)2.0 (3)9.86
解析 (1)根据题意可得，单摆的周期为T＝eq \f(t,n)，单摆周期计算公式为T＝2πeq \r(\f(l,g))，联立可得g＝eq \f(4π2n2l,t2).
(2)由题图丙可知，该单摆的周期为2.0 s.
(3)由上述分析可知T＝2πeq \r(\f(l,g))，T2＝eq \f(4π2,g)l，结合题中T2＝4.00l＋0.037 (s2)，可得eq \f(4π2,g)＝4 s2/m，g＝π2 m/s2＝9.86 m/s2.次数
1
2
3
4
5
L/m
0.500 0
0.600 0
0.700 0
0.800 0
0.900 0
T/s
1.43
1.55
1.67
1.78
1.90
T2/s2
2.04
2.40
2.79
3.17
3.61