2022-2023学年陕西省榆林十中九年级（上）第一次段考数学试卷

2022-2023学年陕西省榆林十中九年级（上）第一次段考数学试卷

一、选择题(共8小题,每小题3分,计24分。每小题只有一个选项是符合题意的)

1．（3分）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

2．（3分）利用配方法解方程时，方程可变形为　　

A． B． C． D．

3．（3分）如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是　　

A．4 B．8 C．16 D．20

4．（3分）关于的一元二次方程没有实数根；则的值可能是　　

A． B．0 C．3 D．5

5．（3分）已知和分别为一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为　　

A．2 B． C．4 D．

6．（3分）如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是　　

A．， B． 

C．，， D．，

7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，在矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接，．若，，则下列结论中错误的是　　

A． B． C． D．

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．（3分）若关于的方程有一个根为，则的值是 　　．

10．（3分）把方程化成一元二次方程的一般形式是 　　．（要求：二次项系数为

11．（3分）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是　　．

12．（3分）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 　　人．

13．（3分）如图，正方形和正方形，点，，在同一直线上，连接，是的中点，连接，若，，则正方形的边长为 　　．

三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）

14．（5分）用因式分解法解方程：．

15．（5分）用公式法解方程：．

16．（5分）如图，在中，，为中点，，．试判断四边形的形状，并证明你的结论．

17．（5分）已知关于的一元二次方程，求证：不论为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．

18．（5分）如图，在菱形中，，分别是和上的点，且．求证：．

19．（5分）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，．

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值．

20．（5分）如图，点在的边上，于点，，于点，，于点．

求证：四边形是矩形．

21．（6分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率．

22．（7分）如图，正方形中，是上一点，给出下列三条信息：

①，

②，

③．

请从上述三条信息中选择两个作为已知条件，选择另外一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．

你选择的条件是 　　，结论是 　　（填序号）．

23．（7分）如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为40米，边的长为25米，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200平方米，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．

24．（8分）如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）如果设，，求的长．

25．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价元．

（1）用含的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 　　；

（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？

26．（10分）如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点，是的中点，连接，，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，如图2所示：

①求证：；

②若，，求的长．

2022-2023学年陕西省榆林十中九年级（上）第一次段考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(共8小题,每小题3分,计24分。每小题只有一个选项是符合题意的)

1．（3分）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：关于的方程是一元二次方程，

，

解得：．

故选：．

2．（3分）利用配方法解方程时，方程可变形为　　

A． B． C． D．

【解答】解：方程，

配方得：，即．

故选：．

3．（3分）如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是　　

A．4 B．8 C．16 D．20

【解答】解：四边形是菱形，

，，

则菱形的面积

故选：．

4．（3分）关于的一元二次方程没有实数根；则的值可能是　　

A． B．0 C．3 D．5

【解答】解：根据题意得△，

解得．

故选：．

5．（3分）已知和分别为一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为　　

A．2 B． C．4 D．

【解答】解：和分别为一元二次方程的两个不相等的实数根，

．

故选：．

6．（3分）如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是　　

A．， B． 

C．，， D．，

【解答】解：、正确，且、互相平分可判定为菱形，再由判定为正方形；

、错误，不能判定为正方形；

、错误，只能判定为菱形；

、错误，不能判定为正方形；

故选：．

7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是　　

A． B． C． D．

【解答】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，

一株椽的价钱为文．

依题意得：．

故选：．

8．（3分）如图，在矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接，．若，，则下列结论中错误的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，

在和中，

，

，

，

在矩形中，，

，

，

故选项不符合题意；

是的中点，

，

在矩形中，，

，，

，

，

，，

四边形是菱形，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

故选项不符合题意；

，，

又，

，

，

，

，

故选项不符合题意；

，，

，

，

，

故选项符合题意，

故选：．

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．（3分）若关于的方程有一个根为，则的值是 　4.5　．

【解答】解：把代入方程得，

解得．

故答案为：4.5．

10．（3分）把方程化成一元二次方程的一般形式是 　　．（要求：二次项系数为

【解答】解：，

，

，

．

故答案为：．

11．（3分）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是　24　．

【解答】解：直角三角形斜边上中线长，

斜边，

面积．

故答案为：24．

12．（3分）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 　4　人．

【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去），

每轮传染中平均一个人传染了4人．

故答案为：4．

13．（3分）如图，正方形和正方形，点，，在同一直线上，连接，是的中点，连接，若，，则正方形的边长为 　　．

【解答】解：延长交于点，如图所示：

在正方形中，，，，

，，

是的中点，

，

，

，，

，，

，，

在中，根据勾股定理，得，

，

，

在正方形中，，

，

故答案为：．

三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）

14．（5分）用因式分解法解方程：．

【解答】解：，

，

则，

或，

解得，．

15．（5分）用公式法解方程：．

【解答】解：，

，

，

，，，

△

，

，．

16．（5分）如图，在中，，为中点，，．试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【解答】解：四边形为菱形，

证明如下：

，，

四边形是平行四边形，

在中，为中点，

为斜边上的中线，

，

四边形为菱形．

17．（5分）已知关于的一元二次方程，求证：不论为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．

【解答】证明：△，

，

，

△，

这个方程总有两个不相等的实数根．

18．（5分）如图，在菱形中，，分别是和上的点，且．求证：．

【解答】解：四边形是菱形，

，，

在和中，

，

，

，

．

19．（5分）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，．

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）由题意可得△，

解得；

（2）一元二次方程有两个不相等的实数根，．

，，

由得，

解得．

20．（5分）如图，点在的边上，于点，，于点，，于点．

求证：四边形是矩形．

【解答】证明：，，

．

在与中，

，

，

．

．

，，

．

四边形是平行四边形，

，

四边形是矩形．

21．（6分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率．

【解答】解：设年平均增长率为，

根据题意可列方程：．

解得：，（不合题意，舍去）．

答：这款新能源汽车的年平均增长率是．

22．（7分）如图，正方形中，是上一点，给出下列三条信息：

①，

②，

③．

请从上述三条信息中选择两个作为已知条件，选择另外一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．

你选择的条件是 　②③　，结论是 　　（填序号）．

【解答】解：选择的条件是：③，②，结论是：①，理由如下：

四边形是正方形，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

如图，连接，

在和中，

，

，

，

四边形是正方形，

，

．

故答案为：②③，①．

23．（7分）如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为40米，边的长为25米，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200平方米，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．

【解答】解：设人行通道的宽度为米，则每个展位的长为米，宽为米，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：人行通道的宽度为米．

24．（8分）如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）如果设，，求的长．

【解答】（1）证明：，，

四边形为平行四边形．

四边形为菱形，

，

，

四边形为矩形；

（2）解：四边形是菱形，，，

，，，

，，

四边形为平行四边形，

．

25．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价元．

（1）用含的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 　件　；

（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？

【解答】解：（1）每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，

每件衬衫降价元，每月可售出衬衫件数为件．

故答案为：件；

（2）每件衬衫降价元，由题意得，

解得，

要尽快减少库存

答：每件衬衫应降价25元

26．（10分）如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点，是的中点，连接，，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，如图2所示：

①求证：；

②若，，求的长．

【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，

，即，

，

四边形是平行四边形，

，

，

平分，

，

，

，

平行四边形是菱形；

（2）①证明：过作交于，如图2所示：

，，，

四边形是矩形，

，，

，

为的中点，

为的中点，，

，

，

，

；

②解：过作作于，如图3所示：

四边形是平行四边形，，，

四边形是正方形，

，，，

为的中点，

，

，

，

是的中位线，

，

，

，

由（2）①得：，

．

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