2023年广东省云浮市云城区高峰中学中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省云浮市云城区高峰中学中考数学一模试卷，共19页。

2023年广东省云浮市云城区高峰学校中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣的倒数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．1
2．（3分）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．2x+3x＝5x2 B．（﹣x）8÷（﹣x）4＝x4
C．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6 D．（3x+2y）2＝9x2+4y2
4．（3分）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（　　）
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
6．（3分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
7．（3分）定义新运算：a⊗b＝2a﹣b+3．例如，5⊗4＝2×5﹣4+3，则不等式组的解集为（　　）
A．x＞3 B．3＜x＜6 C．无解 D．﹣1＜x＜6
8．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（　　）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
9．（3分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．2 D．2
10．（3分）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（　　）

A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1：
C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
12．（3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为　 　．
13．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝　 　mm．

14．（3分）已知一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2，则+的值为 　 　．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 　 　人；
（2）扇形统计图中“自主学习时间为2小时”的扇形的圆心角的度数是 　 　；
（3）请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有多少人？
（4）老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为A、B、C，其中B为小华）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率．

19．（9分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．

20．（10分）已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点
（1）如图1，连接OD，求证：AB∥OD；
（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径．

21．（10分）某APP推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．
（1）请问购买“A课程”1课是多少元？购买“B课程”1课是多少元？
（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元．临近春节，小融计划用压岁钱购买两种课程共60课时（其中A课程不超过40课时），请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高，最高利润是多少元？
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；
（3）如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（12分）【基础巩固】

（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝10，AE＝6，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝8，求BF的长．


2023年广东省云浮市云城区高峰学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵（﹣）×（﹣3）＝1，
∴﹣的倒数为﹣3．
故选：B．
2． 解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
3． 解：A、2x+3x＝5x，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣x）8÷（﹣x）4＝（﹣x）4＝x4，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（3x+2y）2＝9x2+12xy+4y2，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
4． 解：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，
则两项都参加的人数为5人，故乙错．
若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，
此时只参加一项的人数为16人，故甲对．
故选：B．
5． 解：方法一：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
方法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．

6． 解：将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式是y＝（x+3）2+2．
故选：A．
7． 解：由0.5⊗x＞﹣2得1﹣x+3＞﹣2，解得x＜6，
由2x⊗5＞3x+1得4x﹣5+3＞3x+1，解得x＞3，
则不等式组的解集为3＜x＜6，
故选：B．
8． 解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
所以这组数据的样本容量为4，中位数为＝3，众数为3，平均数为＝3，
故选：D．
9． 解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，
∴△ABC的面积为＝，
S扇形BAC＝＝π，
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，
故选：D．
10． 解：∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠EAB＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，
故A不正确；
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴AE：EF＝1：，
故B不正确；
若AF2＝EH•EF成立，
∵AE：EF＝1：，
∴EH＝AF，
∴EH＝EF，
即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，
故C不正确；
∵AB∥CD，
∴EB：BC＝EH：HF，
∵BC＝AD，
∴EB：AD＝EH：HF，
故D正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：由题意可得，
∴x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
12． 解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
13． 解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．

∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），
∴CH＝10×tan30°＝（mm），
∴a＝2CH＝（mm），
故答案为：．
14． 解：∵一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝3，
则+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2×3＝19，
故答案为：19．
15． 解：∵正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点0重合，AB∥x轴，
∴OP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，
∴，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，
第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，
第4次旋转结束时，点A的坐标为，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505⋯⋯2，
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝1﹣3×+4+2
＝1﹣3+4+2
＝5﹣．
17． 解：
＝
＝
＝．
当时，原式＝．
18． 解：（1）本次调查的学生人数是5÷10%＝50（人），
故答案为：50；
（2）2小时人数所占百分比为100%﹣10%﹣40%﹣30%＝20%，
“自主学习时间为2小时”的扇形的圆心角的度数是360°×20%＝72°，
故答案为：72°；
（3）该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有800×（20%+30%）＝400（人），
答：九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有400人；
（4）列表如下：

A
B
C
A

（B，A）
（C，A）
B
（A，B）

（C，B）
C
（A，C）
（B，C）

∵由树状图可得，共有6种等可能的结果，选中小华B的有4种，
∴P（选中小华B）＝＝．
19． 解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
过A作AD⊥BC于D，如图：
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
由题意得：AB＝60（海里），∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝AB＝30（海里），AD＝BD＝30≈51.9（海里）＞50（海里），
∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
（2）由（1）得：BD＝30（海里），AD＝30（海里），
∵BC＝3×30＝90（海里），
∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60（海里），
在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；
答：A，C之间的距离约为79.50海里．

20． 解：（1）如图1，延长DO交BC于F，
∵点D为优弧BC的中点，
∴＝，
∴DF⊥BC，
∵AC为⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴AB∥OD；
（2）连接DO并延长交BC于F，
∵点D为优弧BC的中点，
∴＝，
∴DF⊥CB，
∴CF＝BC＝4，
∵DE⊥AC，
∴∠DEO＝∠OFC＝90°，
∵∠DOE＝∠COF，OC＝OD，
∴△DOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE＝OA﹣3，
∵OC2＝OF2+CF2，
∴OC2＝（OC﹣3）2+42，
∴OC＝，
∴⊙O的半径为．

21． 解：（1）设购买“A课程”1课时需x元，购买“B课程”1课时需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买“A课程”1课时需70元，购买“B课程”1课时需40元．
（2）设小融购买“A课程”m（m≤40）课时，APP获得的利润为w元，则购买“B课程”（60﹣m）课时，
依题意得：w＝25m+20（60﹣m）＝5m+1200．
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值为5×40+1200＝1400．
答：购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高，最高利润是1400元．
22． 解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2ax+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）；
（2）令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝1或﹣3．
∴A（﹣3，0）．
∴OA＝3．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
∵点E在直线AC上方的抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设E（m，﹣m2﹣2m+3），﹣3＜m＜0．
过点E作EH⊥x轴于点H，交AC于点F，则F（m，m+3），
∴EH＝﹣m2﹣2m+3，FH＝m+3，
∴EF＝EH﹣FH＝﹣m2﹣3m．
∴△EAC面积＝EF•OA＝（﹣m2﹣3m）×3＝﹣﹣m＝﹣+．
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，△EAC面积最大．
此时点E的坐标为（﹣，）；
（3）在抛物线上存在点M，使∠ACM＝∠BCO，理由：
分两种情况：
设M（x，﹣x2﹣2x+3），
①如图，当CM交x轴于G时，

∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACG＝∠OCB，
∵OC＝OA＝3，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∴∠BCM＝45°，
∵∠ACB＝∠BCM+∠ACG，∠BGC＝∠OAC+∠ACG，
∴∠ACB＝∠BGC，
∵∠CBG＝∠CBA，
∴△BCG∽△BAC，
∴，
∵OB＝1，OC＝3，
∴BC＝，
设G（﹣t，0），
∴，
∴t＝，
∴G（﹣，0），
设直线CG的解析式为y＝ex+f，
∴，
解得：．
∴直线CG的解析式为：y＝2x+3，
则，
∴﹣x2﹣2x+3＝2x+3，
x2+4x＝0，
x（x+4）＝0，
x1＝0（舍），x2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴M（﹣4，﹣5）；
②当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，如图，

∵∠OAC＝45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵AB＝OA+OB＝3+1＝4，
∴AP＝BP＝＝2，
∵AC＝＝3，
∴CP＝AC﹣AP＝，
∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACB＝∠OCM，
∵∠BPC＝∠COA＝90°，
∴△BCP∽△NCO，
∴，
∴，
∴NO＝6，
∴N（﹣6，0），
设直线NC的解析式为y＝dx+n，
∴，
解得：．
∴直线NC的解析式为：y＝x+3，
联立方程组得：，
解得：x1＝0，x2＝﹣，
当x＝﹣时，y＝，
∴M（﹣，），
综上所述，存在点M（﹣4，﹣5）或（﹣，），使得∠ACM＝∠BCO．

23． （1）证明：∵DE∥BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴＝，＝，
∴＝，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG；

（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，
∴CE＝CD＝10，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝；

（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵MG∥BD，
∴ME＝GE，
∵EF⊥EG，
∴FM＝FG＝8，
在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，
∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，
∵FG平分∠EFC，
∴∠GFC＝∠EFG＝50°，
∵FM＝FG，EF⊥GM，
∴∠MFE＝∠EFG＝50°，
∴∠MFN＝30°，
∴MN＝MF＝4，
∴NF＝＝4，
∵∠ABC＝45°，
∴BN＝MN＝4，
∴BF＝BN+NF＝4+4．