初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀练习题

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第10讲 实际问题与二次函数
【人教版】

·模块一 几何图形问题
·模块二 销售利润问题
·模块三 抛物线形问题
·模块四 课后作业
模块一
几何图形问题



【考点1 几何图形问题】
【例1.1】如图，动点P在线段AB上（不与点A，B重合），AB=1．分别以AB，AP，BP为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段AP的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则阴影面积的最大值是（    ）
  
A．π2 B．π4 C．π8 D．π16
【答案】D
【分析】AB=1，则BP=1−x，然后根据y=S半圆AB−S半圆AP−S半圆BP求出y关于x的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：∵AB=1，AP=x
∴BP=AB−AP=1−x，
∴y=S半圆AB−S半圆AP−S半圆BP
=π2×122−π2×x22−π2×1−x22
=π8−πx28−πx2−2x+18
=−π4x2+π4x，
=−π4x−122+π16，
∵−π4<0，
∴当x=12时，y最大，最大值为π16，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键．
【例1.2】如图，△ABC为等边三角形，点P从点A出发沿A→B→C路径匀速运动到点C，到达点C时停止运动，过点P作PQ⊥AC于点Q.若△APQ的面积为y，AQ的长为x，则下列能反映y与x之间的大致图象是（    ）
  
A．    B．  
B． C．   D．  
【答案】D
【分析】分两种情况讨论点P从点A出发运动到点B之前；P点过了B点向C点运动．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，PQ⊥AC于点Q，
∴设AQ=x，
则PQ=AQ⋅tan60°=3x，
∴点P从点A出发运动到点B之前，
  
y=12x×3x=32x2，
∴此时函数图像为顶点在原点，开口向上的抛物线，
排除A、B；
设△ABC的边长为m，则当x>m2时，P点过了B点向C点运动，如图所示，
  
则CQ=m−x，
∴PQ=CQ⋅tan60°=3m−x，
∴y=12x×3m−x=−32x2+32mx，
此时函数图像为开口向下的抛物线，
∵选项C此阶段的图象仍然为开口向上的抛物线，选项D为开口向下的抛物线，
∴D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了动点轨迹的函数图像，正确表示出y和x之间的关系是解题关键．
【例1.3】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（    ）米．

A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据题意，设能建成的饲养室总占地的面积为S，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设中间隔开的墙长为xm，能建成的饲养室总占地的面积为Sm2，
根据题意得，S=x×28+2−3x=−3x2+30x=−3x−52+75，−3<0，有最大值，
∴当x=5时，S取得最大值，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式1.1】如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题．淇淇的思路是：设BC的边长为xm，矩形ABCD的面积为Sm2，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：

(1)求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；
(2)x为何值时，矩形ABCD的面积最大？
【答案】(1)S=−12x2+20x，0 (2)x=15

【分析】（1）根据矩形的面积公式计算，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：S=x40−x2=−12x2+20x
x的取值范围为0 （2）解：∵S=−12x2+20x，−12<0，
∴当x=−202×−12=20时，S有最大值，
当x<20时，S随x的增大而增大，而0 ∴x=15时，S有最大值，即矩形ABCD的面积最大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
【变式1.2】如图，利用一个直角墙角修建一个DC∥AB的四边形储料场AB−CD，其中∠C=120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该储料场ABCD的最大面积是（    ）
  
A．18m2 B．183m2 C．243m2 D．2532m2
【答案】C
【分析】先添加辅助线，把直角梯形分成矩形和含30°直角三角形，求出梯形的上、下底和高，最后由梯形面积公式得出面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
【详解】如图，过点C作CE⊥AB于点E，易得：四边形ADCE为矩形，
  
∴∠DCE=∠CEB=90°，CD=AE
∠BCE=∠BCD−∠DCE=30°，
设CD=AE=x，
∴BC=12−x，BE=12BC=12(12−x)=6−12x，
∴AD=CE=3BE=3(6−12x)=63−32x，AB=AE+BE=x+6−12x，
则四边形ABCD的面积为：
S=12(CD+AB)CE=12(x+12x+6)·(63−32x)，
整理得：S=−338x2+33x+183＝−338(x−4)2+243，
∴当CD长为4cm时，储料场 ABCD 的面积最大为243cm2．
故选：C．  
【点睛】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．
【变式1.3】某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD，CD长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设AB=x米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为y1平方米，y2平方米．
  
(1)分别写出y1,y2与x的函数关系式；
(2)小红说：“y1的最大值为384．y2的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．
【答案】(1)y1=−32x2+48x；y2=−3x2+78x；
(2)不同意，理由见解析．

【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即可求解；
（2）把（1）中的函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：对于图纸1，∵AB=x，
∴AD=1276+2+18−3x=1296−3x，
∴y1=x⋅1296−3x=−32x2+48x；
对于图纸2，∵AB=x，
∴AD=76+2−3x=78−3x，
∴y2=x⋅78−3x=−3x2+78x；
（2）解：不同意，理由如下：
由（1）y1=−32x2+48x=−32x−162+384，
∴当x=16时，y1的最大值为384；
y2=−3x2+78x=−3x−132+507，
∴当x=13时，AD=76−13×3=37>18，
∴y2的最大值为507的说法不符合题意．
答：不同意小红的说法．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式是解题的关键．
模块二
销售利润问题



【考点1 销售利润问题】
【例1.1】因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一.深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？
【答案】(1)y=30x+300
(2)x=5时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元

【分析】（1）由题意写出y与x之间的函数关系式即可；
（2）设最大利润额为W，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：y=30x+300，
即y与x之间的函数关系式为y=30x+300；
（2）解：设最大利润额为W，
由题意得：W=25−x−530x+300
=−30x2+300x+6000
=−30x−52+6750，
∴x=5时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．
答：当x为5时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的应用，理清题中的数量关系并正确地列出函数关系式是解题的关键．
【例1.2】攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
售价x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
(1)求芒果一天的销售量y与该天售价x之间的一次函数关系式，写出x的取值范围．
(2)设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
【答案】(1)y=−x+6015≤x≤40
(2)m=−x2+70x−600，20元

【分析】（1）设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由待定系数法求得答案即可．
（2）先根据利润等于销售量乘以每千克的利润得出m关于x的二次函数，再根据水果店该天获利400元，可得关于x的一元二次方程，解得x的值，然后结合x的取值范围即可得出答案．
【详解】（1）解：设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0)，将表中数据代入得：
25k+b=3522k+b=38，
解得：k=−1b=60．
∴y=−x+60(15≤x≤40)．
（2）解：由题知m=y(x−10)
=(−x+60)(x−10)
=−x2+70x−600，
∴当m=400时，−x2+70x−600=400，
整理得：x2−70x+1000=0，
解得：x1=20，x2=50．
∵15≤x≤40，
∴x=20．
∴这天芒果的售价为20元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及一元二次方程的解法是解题的关键．
【例1.3】网络直销相对于传统直销而言，没有地域限制且市场可期待值高，因而一些传统商家开始向线上转型．某商家通过“直播带货”，一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥10）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为w（元）．

(1)当销售单价为32元时，此时商品每天的销售量为________；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)若每天至少销售120件，且销售单价不低于18元时，求每天所获利润w的取值范围．
【答案】(1)80
(2)w=200x−200010≤x≤20−10x2+500x−4000x≥20
(3)1600≤w≤2250

【分析】（1）利用待定系数法求得x≥20时的函数关系式，再x=32即可求解；
（2）根据每天的利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式并化简即可；
（3）根据题意列不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：当x≥20时，设函数关系式为y=kx+b，
把x=20，y=200；x=30，y=100代入y=kx+b，
得20k+b=20030k+b=100，解得k=−10b=400，
函数关系式为y=−10x+400x≥20，
当x=32时，y=80，
故答案为：80；
（2）解：由图象得当10≤x≤20时，设函数关系式为y=200，
根据题意得w=x−10y=x−10×200=200x−2000；
由（1）得当x≥20时，设函数关系式为y=−10x+400，
根据题意得w=x−10y=x−10−10x+400=−10x2+500x−4000；
∴w=200x−200010≤x≤20−10x2+500x−4000x≥20；
（3）解：由题意得−10x+400≥120x≥18，
解得18≤x≤28，
当18≤x≤20时，则1600≤200x−2000≤2000，
即1600≤w≤2000；
当20≤x≤28时，
W=−10x2+500x−4000
=−10(x−25)2+2250，
∵−10<0，
∴当x=25时，W有最大值，最大值为−10×(25−25)2+2250=2250，
∵当20≤x≤25时，W随x的增大而增大，
∴当x=20时，W有最小值，最小值为−10×(20−25)2+2250=2000，
∵当25≤x≤28时，W随x的增大而增减小，
∴当x=28时，W有最小值，最小值为−10×(28−25)2+2250=2160，
∴w的取值范围为2000≤w≤2250
综上w的取值范围为1600≤w≤2250．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和不等式组在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系是解题的关键．
【变式1.1】2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个．
(1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8960元？
(3)网店为响应“助力竐情防控，回馈社会，共渡难关”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元2≤m≤7给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，则m的值是多少？
【答案】(1)y=−10x+900，其中40≤x≤61
(2)当销售单价为58元时，网店每日销售利润为8960元
(3)3

【分析】（1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可；
（2）根据每日销售利润为8960元，列出方程，解方程即可；
（3）设每天扣除捐赠后可以获得利润为w元，得出w=−10x2+1200+10mx−27000−900m，求出抛物线的对称轴为直线x=m2+60，根据2≤m≤7，得出61≤m2+60≤63.5，根据二次函数的增减性得出当x=61时，w最大值=8120，得出−10×61+90061−30−m=8120，求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，
∴y=500−10x−40=−10x+900，
∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元，
∴x≥10+30x≤30+31，
∴40≤x≤61．
即y=−10x+900，其中40≤x≤61．
（2）解：由题意得：−10x+900x−30=8960，
整理得x2−120x+3596=0，
解得：x1=58，x2=62，
∵40≤x≤61，
∴x=58，
答：当销售单价为58元时，网店每日销售利润为8960元．
（3）解：设每天扣除捐赠后可以获得利润为w元，
则w=−10x+900x−30−m=−10x2+1200+10mx−27000−900m，
∵−10<0，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x=m2+60，
∵2≤m≤7，
∴61≤m2+60≤63.5，
当40≤x≤61时w随x的增大而增大，
∴x=61时，w最大值=8120，
即：−10×61+90061−30−m=8120，
解得：m=3，
∴m的值为3．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出关系式或方程．
【变式1.2】某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x1≤x≤48天的售价与日销售量的相关信息如表：
时间x（天）
1≤x<30
30≤x≤48
售价
x+30
60
日销售量kg
−2x+120
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠n元利润n>9给“希望工程”，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)y=−2x2+100x+12001≤x<30−80x+480030≤x≤48；
(2)第25天，利润最大为2450元；
(3)6≤n<9

【分析】（1）分两种情况讨论，分别表示出日销售量与每千克利润，即可求出y与x的函数关系式；
（2）分两种情况讨论，利用二次函数的性质分别求出最大值进行比较，即可得到答案；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为w元，根据题意可知，w=−2x2+100+2nx+1200−120n，在利用二次函数的性质，得到对称轴x=50+n2≥28时，w随x的增大而增大，求解即可得到n的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知，这种商品的日销售量为−2x+120kg，
①当1≤x<30时，销售这种商品的利润为x+30−20=x+10元/kg，
∴y=x+10−2x+120=−2x2+100x+1200；
②当30≤x≤48时，销售这种商品的利润为60−20=40元/kg，
∴y=40−2x+120=−80x+4800，
∴y与x的函数关系式为−2x2+100x+12001≤x<30−80x+480030≤x≤48；
（2）解：当1≤x<30时，y=−2x2+100x+1200=−2x−252+2450，
∴当x=25时，ymax=2450，
当30≤x≤48时，y=−80x+4800，
∵k=−80<0，
∴ y随x的增大而减小，
∴当x=30时，ymax=−80×30+4800=2400，
∵2450>2400，
∴在第25天时，利润最大为2450元；
（3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为w元，
∴w=−2x2+100x+1200−−2x+120⋅n=−2x2+100+2nx+1200−120n，
∵−2<0，
∴抛物线开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，
∵对称轴为x=−100+2n2×−2=50+n2，
∴当50+n2≥28时，w随x的增大而增大，
∴n≥6，
∴6≤n<9．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
【变式1.3】夏季即将到来，为满足大众需要，雪糕店推出了新款盒装雪糕（分A、B两种，不可拆开售卖）共50盒，两款雪糕的成本均为15元/盒，假设购进的所有雪糕均全部售出，且两款雪糕的销量均为正整数．
设A雪糕销售单价为x元（x≥20，x为整数），所获总利润为y（单位：元），已知当销售单价x=20时，A雪糕的销量为40盒，在此基础之上，x每增加1元，销量就会减少2盒．B雪糕的销售单价恒为30元，设卖出B雪糕所获总利润s（单位：元）
(1)用含x的代数式表示下列各量：
①卖出A雪糕所获利润y=___________；
②卖出B雪糕所获利润s=___________．
(2)在此次销售中，雪糕店所获总利润为w（单位：元），则当x为多少时w有最大值，并求出该最大值，
(3)每售出一盒B型雪糕，雪糕店的老板就向希望工程捐出a元（0 【答案】(1)①−2x2+110x−1200（20≤x≤40且x为整数）；②30x−450（20≤x≤40且x为整数）；
(2)x=35时，w有最大值，最大值为800元
(3)a=2

【分析】（1）①根据A雪糕销售单价为x元，当x=20时，其销量为40盒，且x每增加1元，销量就会减少2盒，写出A雪糕的销量，再根据A，B雪糕共50盒，写出B雪糕的销量；根据每盒雪糕的利润×销量=A雪糕利润理出函数解析式并根据题意写出x的取值范围；②根据每盒雪糕的利润×销量=B雪糕利润写出函数解析式即可；
（2）根据雪糕店所获总利润=A，B两种雪糕利润之和列出函数关系式，根据函数的性质求函数最值即可；
（3）根据题意列出函数解析式，再根据总利润的最大值722列出方程，求出a的值．
【详解】（1）解：①A雪糕销售单价为x元，当x=20时，其销量为40盒，且x每增加1元，销量就会减少2盒，
∴A雪糕的实际销量为40−2(x−20)=(−2x+80)盒，
B雪糕的实际销量为50−(−2x+80)=(2x−30)盒，
∴y=(x−15)(−2x+80)=−2x2+110x−1200，
∵x≥200≤−2x+80≤400≤2x−30≤50，
∴20≤x≤40且x为整数，
即卖出A雪糕所获利润为y=−2x2+110x−1200（20≤x≤40且x为整数），
故答案为：−2x2+110x−1200（20≤x≤40且x为整数）；
②由题意得s=(30−15)(2x−30)=30x−450，
即卖出B雪糕所获利润为s=30x−450（20≤x≤40且x为整数），
故答案为：30x−450（20≤x≤40且x为整数）：
（2）由题意可得：w=−2x2+110x−1200+30x−450，
整理得w=−2x2+140x−1650（20≤x≤40且x为整数），
则w是x的二次函数，其对称轴为直线x=−1402×(−2)=35，
∵−2<0，
∴该函数图象的开口向下，
∵20≤x≤40且x为整数，
∴当x=35时，w有最大值，最大值为w=−2×352+140×35−1650=800，
即当x=35时，w有最大值，最大值为800元；
（3）设捐款后的实际利润为m元
则m=−2x2+140x−1650−(2x−30)a
整理得m=−2x2+(140−2a)x−1650+30a（20≤x≤40且x为整数），
则m是x的二次函数，其对称轴为直线x=−140−2a2×(−2)=35−12a，
∵0 ∴30<35−12a<35，
∵−2<0，
∴该函数图象的开口向下，
∵20≤x≤40且x为整数，
∴当x=35−12a时，m有最大值，
即−235−12a2+(140−2a)35−12a−1650+30a=722，
解得：a1=2,a2=78，
∵0 ∴a=2．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列出函数解析式．
模块三
抛物线形问题



【考点1 实际问题中的抛物线形问题】
【例1.1】烟花厂为扬州4·18烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ=−52t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】B
【详解】解：h=-52t2+20t+1=-52（t-4）2+41
∵-52<0
∴这个二次函数图象开口向下，
∴当t=4时，升到最高点，
故选B．
【例1.2】洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部A下压如图位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，不去接则洗手液落在台面的位置距DH的水平面是（    ）cm

A．63 B．62 C．123 D．122
【答案】D
【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为y=ax−62+16，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】解：如图：

根据题意，得Q9,15.5,B6,16,OH=6，
设抛物线解析式为y=ax−62+16，
把点Q9,15.5代入得：a9−62+16=15.5，
解得：a=−118，
所以抛物线解析式为y=−118x−62+16=−118x2+23x+14，
当y=0时，即−118x2+23x+14=0，
解得： x=6+122或6−122（舍去），
又OH=6，
所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是122cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
【例1.3】某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA=0.5米，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上．已知在与池中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．

(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离8m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？
【答案】(1)抛物线（第一象限）的表达式为y=−16x−32+20 (2)喷水管OA的高度要升高136m

【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设喷水管OA的高度要升高ℎm，把8,0代入即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为y=ax−32+2a≠0，把A0,0.5，代入得：9a+2=0.5，
解得：a=−16，
∴y=−16x−32+2，
∴抛物线（第一象限）的表达式为y=−16x−32+20 （2）解：设喷水管OA的高度要升高ℎm，则抛物线的表达式为y=−16x−32+2+ℎ．
把8,0代入得：0=−168−32+2+ℎ，解得：ℎ=136，
∴喷水管OA的高度要升高136m．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，理解图示，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式1.1】原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a<0）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
  
(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直高度y/m
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．
(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系y=−0.08x2+0.64x+1.6，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？
【答案】(1)y与x的函数关系式为y=−0.1x2+0.6x+1.6；本次训练的成绩为8m；
(2)第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了2m．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得y与x的函数关系式，令y=0即可求得本次训练的成绩；
（2）令y=0即可求得第二次训练的成绩，与第一次比较即可求解．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，
把0，1.6，1，2.1，2，2.4代入得，c=1.6a+b+c=2.14a+2b+c=2.4，
解得a=−0.1b=0.6c=1.6，
∴y与x的函数关系式为y=−0.1x2+0.6x+1.6；
当y=0时，−0.1x2+0.6x+1.6=0，即x2−6x−16=0，
解得x=8或x=−2(负值不符合题意，舍去)，
∴本次训练的成绩为8m；
（2）解：解方程−0.08x2+0.64x+1.6=0，
整理得x2−8x−20=0，即x−10x+2=0，
解得x=10或x=−2(负值不符合题意，舍去)，
∴本次训练的成绩为10m；
10>8，且10−8=2m，
答：第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了2m．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
【变式1.2】某广场有一个喷水池，水从地面喷出，所喷出的水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，以出水点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且水在空中划出的曲线是抛物线y=−2x2+6x（单位：米)的一部分，那么水喷出的最大高度是___________米．
  
【答案】92
【分析】将所给的抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可得到答案．
【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=−2x2+6x的一部分，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=−2x2+6x的顶点坐标的纵坐标．
∵y=−2x2+6x=−2x−322+92，
∴顶点坐标为32，92 ．
∴喷水的最大高度为92米．
故答案为：92．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
【变式1.3】某运动员在一次投篮中，命中距地面距离为3.05米的篮圈中心，球的运动路线是抛物线y=−15x2+3.5的一部分（如图），球运行的最高点与运动员的水平距离是2.5米，如果运动员在距篮下距离为l米起跳，求l的值．

【答案】4米
【分析】在已知解析式中，求出y=3.05时x的值，根据图象，舍去不合题意的值，将求出的x与2.5相加即可．
【详解】解：把y=3.05代入y=−15x2+3.5中得：−15x2+3.5=3.05，
解得：x1=1.5，x2=−1.5（舍去），
∴l=1.5+2.5=4米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
【考点2 实际问题中的拱桥形问题】
【例2.1】廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（    ）

A．85米 B．10米 C．65米 D．83米
【答案】A
【分析】已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．
【详解】解：由于两盏警示灯E、F距离水面都是8米，因而两盏警示灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有−140x2+10=8，
即x2=80，
解得，x1=45，x2=−45．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF=x1−x2=|45−（−45）|=85米．
故选：A
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，注意利用函数对称的性质来解决问题．
【例2.2】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求出大孔抛物线的解析式；
(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3m，顶部宽4m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．
(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF．
【答案】(1)y=−350x2+6
(2)能安全通过大孔，理由见解析
(3)10m

【分析】（1）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；
（2）求出x=2时y的值，与2+3作比较即可；
（3）求出点E、F坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：设大孔抛物线的解析式为y=ax2+6，
把点A−10,0代入解析式得：100a+6=0，
解得：a=−350，
∴大孔抛物线的解析式为y=−350x2+6．
（2）∵大孔抛物线的解析式为y=−350x2+6，
当x=2时，y=−350×22+6=5.76>2+3，
∴该巡逻船能安全通过大孔；
（3）∵NC=4.5，
∴点F的纵坐标为4.5，
∴当y=4.5时，得−350x2+6=4.5，
解得：x1=5，x2=−5，
∴由抛物线对称性可知点为E−5,4.5，点F为5,4.5，
∴EF=5−−5=10m．
答：大孔的水面宽度EF为10m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是建立函数模型，准确找出模型类型，然后利用待定系数法求出模型（即函数）的表达式，最后根据函数的性质得出结论．掌握二次函数的性质是解题的关键．
【例2.3】如图，某动物园的大门由矩形ABCD和抛物线形DMC组成，以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标,AD=34m，抛物线顶点M的坐标为92，245．
  
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行装修，工人师傅搭建一三角形木架方便施工，点P正好在抛物线上且在点M右侧，支撑杆PE⊥x轴于点E，PE＝3米，求支撑与大门最右侧的水平距离BE．
【答案】(1)y=−15x−922+245
(2)支撑与大门最右侧的水平距离BE的长为32
【分析】（1）根据抛物线的顶点式，用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线的解析式，矩形ABCD可求出点B的坐标，再根据支撑杆PE⊥x轴于点E，PE＝3米，可求点P,E的坐标，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线顶点坐标M92,245，且过D0,34，设抛物线的解析式为y=ax−922+245(a≠0)，
∴814a+245=34，解得，a=−15，
∴抛物线的解析式为y=−15x−922+245．
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为y=−15x−922+245，四边形ABCD是矩形，
∴点C的纵坐标为34，设点C的横坐标为xC，且抛物线的对称轴为x=92，
∴xC−92=92−0，解得，xC=9，
∴点C9,34，即AB=DC=9，且AD=BC=34，
∵点P正好在抛物线上且在点M右侧，支撑杆PE⊥x轴于点E，PE＝3米，
∴设PxP,3，且92 ∴−15xP−922+245=3，解得，xP1=32（不符合题意，舍去），xP2=152，
∴点E152,0，且B9,0
∴BE=9−152=32，即支撑与大门最右侧的水平距离BE的长为32．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，理解图示，掌握待定系数求二次函数解析式是解题的关键．
【变式2.1】某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞L1与两组副桥洞分别位于y轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞L1上，y与x近似满足函数关系y=ax2+ca≠0．经测量在主桥洞L1上得到x与y的几组数据：
  
x(米)
−1.4
−1
0
1
1.4
y(米)
1.02
1.5
2
1.5
1.02
根据以上数据回答下列问题：
(1)求主桥洞L1的函数表达式；
(2)若L2的表达式：y2=−0.5x−ℎ12+0.98，L3的表达式：y3=−0.5x−ℎ22+0.5，求五个桥洞的总跨度AB的长．
【答案】(1)y=−0.5x2+2
(2)五个桥洞的总跨度AB的长为13.6米

【分析】（1）由表可知，抛物线L1的顶点坐标为0,2，设抛物线L1的解析式为y=ax2+2待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）根据二次函数的平移，分别令y=0，y=1.02，y=1.5，求得每个桥洞的跨度即可求解．
【详解】（1）由表可知，抛物线L1的顶点坐标为(0,2)
∴抛物线L1的解析式为y=ax2+2
∵抛物线过点(1,1.5)．解得a=−0.5
∴y=−0.5x2+2
（2）令y=0，−0.5x2+2=0
解得：x1=−2，x2=2，
∴MN=4；
∵L2的表达式：y2=−0.5x−ℎ12+0.98，L3的表达式：y3=−0.5x−ℎ22+0.5
由题意抛物线L2与抛物线L1上EF之间的部分重合，
即将y=−0.5x2+2向下移动2−0.98=1.02
当y=1.02时，−0.5x2+2=1.02
解得：x1=−1.4，x2=1.4，
∴EF=2.8；
由题意抛物线L3与抛物线L1上CD之间的部分重合，
即将y=−0.5x2+2向下移动2−0.5=1.5，
当y=1.5时，−0.5x2+2=1.5
解得：x1=−1，x2=1，
∴CD=2
4+2×2.8+2×2=13.6
∴五个桥洞的总跨度AB的长为13.6米．
  
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键．
【变式2.2】悬索桥是特大跨径桥梁的主要形式之一，它是以通过桥塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁，缆索可以近似的看作一条抛物线．
如图1是某悬索桥单侧结构图纸．按照设计，需从缆索垂下49个吊杆，把桥面吊住，这些吊杆等距离的分布在两个桥塔之间．
为了求出吊杆的长度，小明以悬索桥单侧结构图纸的“桥面”为x轴，以主桥中心线为y轴，建立了如图2所示的坐标系．设缆索形成的抛物线顶点为G，缆索的两个端点A和D分别固定在桥塔BF、CE上，根据图1中的数据，得图2中BC=400，AB=45，OG=5．


(1)求出抛物线的解析式；
(2)求桥塔BF向左数第5个吊杆MN的长度是多少米．
【答案】(1)y=11000x2+5
(2)30.6米
【分析】（1）根据所见平面坐标系，得G0,5，A200,45，设抛物线的解析式为y=ax2+5，把A200,45代入，求出a值即可求解；
（2）先求出M点横坐标为160，再把把x=160代入y=11000x2+5求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得G0,5，A200,45，
设抛物线的解析式为y=ax2+5，
把A200,45代入，得45=40000a+5，
解得：a=11000，
∴y=11000x2+5；
（2）解：由题意， 从缆索垂下共49个吊杆，以最中间吊杆为y轴，从桥塔到最中间吊杆共有25个吊杆，
∴桥塔BF向左数第5个吊杆MN的M点横坐标为200−20025×5=160，
∴把x=160代入y=11000x2+5得y=11000×1602+5=30.6，
∴MN=30.6米．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求函数解析式和抛物线上点的坐标特征是解题的关键．
【变式2.3】如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O、B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=−1400x−802+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若AC=174米，则水面宽度CD=_____________．

【答案】180米/180m
【分析】首先根据题意得到点C的纵坐标为−174，然后代入y=−1400x−802+16求出点C和点D的横坐标，然后求解即可．
【详解】∵AC=174，点C在x轴下方
∴点C的纵坐标为−174
∴当y=−174时，即−1400x−802+16=−174
解得x1=−10,x2=170
∴点C的横坐标为−10，点D的横坐标为170
∴CD=170−−10=180．
故答案为：180米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
模块四
课后作业


1．太原的五月是月季的狂欢，滨河路上月季花扮靓道路两侧，形成了“绿染龙城，花满并州”的景观效果．市林业局将如图所示的一块长80米，宽40米的矩形空地分成五块小矩形区域，建成月季花种植基地．一块正方形区域为育苗区，一块矩形区域为存储区，其它区域分别种植风花月季，藤本月季和树桩月季．已知存储区的一边与育苗区的宽相等，另一边长为20米，风花月季、藤本月季和树桩月季每年每平方米的产值分别为200元、300元和400元．
      
(1)如果风花月季与藤本月季每年的产值相等，求育苗区的边长；
(2)如果风花月季种植面积与育苗区面积的差不超过2120平方米，求这三种月季花每年总产值的最大值．
【答案】(1)育苗区的边长为20米
(2)这三种月季花每年总产值的最大值为690000元

【分析】(1)根据风花月季与藤本月季两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
(2)先根据风花月季种植面积与育苗区面积的差不超过2120m2建立不等式，得到x≥9，再设这三种花卉的总产值之和y元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【详解】（1）设育苗区的边长为x米
根据题意，得20080−x40−x=300x80−x−20
解方程得x1=20，x2=64（舍去）
答：育苗区的边长为20米
（2）根据题意，得80−x40−x−x2≤2120
解不等式得x≥9
设这三种月季花每年总产值为y元
根据题意，得y=20080−x40−x+300x80−x−20+400x40−x
即y=−500x−102+690000
∵−500<0，
∴当x=10时，y最大，最大值为690000
答：这三种月季花每年总产值的最大值为690000元
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．
2．某开发商计划对某商业街一面8米×8米的正方形墙面ABCD进行如图所示的设计装修．四周是由八个全等的矩形拼接而成，用甲类材料装修，每平方米550元；中心区是正方形MNPQ，用乙类材料装修．每平方米500元．设小矩形的较短边AE的长为x米，装修材料的总费用为y元．

(1)写出总费用y关于x的函数解析式；
(2)开发商打算花费34400元全部用来购买甲、乙两类材料，求甲类材料中矩形的长和宽；
(3)在（2）的花费前提下．设计中心区MNPQ作为广告区域，其边长不小于2米时，开发商的费用是否足够？请结合函数增减性说明理由．
【答案】(1)y关于x的函数解析式为y=−800x2+3200x+32000；
(2)甲类材料中矩形的长是6米，宽是1米；
(3)（2）中开发商的费用不够；理由见解析．

【分析】（1）根据题意得MN=8−4x即得y=550×8x（8−2x）+500（8−4x）2=−800x2+3200x+32000；
（2）在y=−800x2+3200x+32000中，令y=34400得：x=1或x=3（此时MN为负数，舍去），即可得甲类材料中矩形的长是6米，宽是1米；
（3）MN不小于2米，可得0＜x≤32，又y=−800x2+3200x+32000=−800（x−2）2+35200，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，可知当0＜x≤32时，32000＜y≤35000，即得当0＜x≤1时，32000＜y≤34400，（2）中开发商的费用够，当1＜x≤32时，34400＜y≤35000，（2）中开发商的费用不够．
【详解】（1）解：根据题意得：AD=AB=8，AE=EF=x，四周是由八个全等的矩形，
∴MN=8−4x，
∴y=550×8x（8−2x）+500（8−4x）2=−800x2+3200x+32000，
答：y关于x的函数解析式为y=−800x2+3200x+32000；
（2）在y=−800x2+3200x+32000中，令y=34400得：
−800x2+3200x+32000=34400，
解得x=1或x=3（此时MN为负数，舍去），
∴8−2x=8−2×1=6（米），
答：甲类材料中矩形的长是6米，宽是1米；
（3）∵MN不小于2米，
∴8﹣4x≥2，
解得x≤32，
∴0＜x≤32；
∵y=−800x2+3200x+32000=−800（x−2）2+35200，
又−800＜0，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴当0＜x≤32时，32000＜y≤35000，
而x=1时y=34400，
∴当0＜x≤1时，32000＜y≤34400，（2）中开发商的费用够，
当1＜x≤32时，34400＜y≤35000，（2）中开发商的费用不够．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
3．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设AB=x米时，鸡舍面积为S平方米．

(1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
(2)在（1）的条件下，当AB为多少时，鸡舍的面积为90平方米？
(3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？
【答案】(1)S=−2x2+28x；x的取值范围为7≤x＜14
(2)当AB为9米时，鸡舍的面积为90平方米
(3)鸡舍面积不能达到100平方米，理由见解析

【分析】（1）设AB=x米时，则BC=27+1−2x米，然后根据矩形面积公式即可求出函数表达式；再根据生活实际确定x的取值范围即可；
（2）根据题意得：−2x2+28x=90求得x的值，然后代入验证即可；
（3）根据题意得x2−14x+50=0，然后根据用一元二次方程根的判别式进行解答即可．
【详解】（1）解：设AB=x米时，则BC=27+1−2x米，鸡舍面积为S平方米，
根据题意得，S=27+1−2xx=−2x2+28x=−2x−72+98；
∵27+1−2x>0，x−7≥0
∴x<14，x≥7
∴x的取值范围为7≤x＜14．
（2）解：根据题意得：−2x2+28x=90，解得x1=5，x2=9，
当x=5时，27+1−2x=18>14（不合题意舍去），
当x=9时，27+1−2x=10<14．
答：当AB为9米时，鸡舍的面积为90平方米．
（3）解：根据题意得：−2x2+28x=100，整理得，x2−14x+50=0，
∵Δ=142−4×50＜0，
∴方程没有实数根，
∴鸡舍面积不能达到100平方米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、列函数关系式、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
4．已知块边长为30的正方形草地．

(1)如图1，先将正方形草地的一条边减少x(0 (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加xm，设扩充后的草地的面积为ym2，
①写出y与x之间的函数关系式，
②当x=8时，求y的值．
【答案】(1)是；
(2)①y=(30+x)2；②y=1444；

【分析】（1）根据题意结合面积公式列出关系式判断即可得到答案；
（2）①根据正方形面积公式直接求解即可得到答案；
②将x=8代入解析式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：变化后草地的一边长为(30−x)m，另一边长为(30+x)m，
则S=(30−x)(30+x)=900−x2，
∴S是关于x的函数，
故答案为：是；
（2）解：①由题意知，扩充后的草地的边长均为(30+x)m，
则y=(30+x)2，
∴y与x之间的函数关系式是y=(30+x)2；
②当x=8时，y=(30+8)2=382=1444；
【点睛】本题考查二次函数几何问题，解题的关键是根据面积公式列等式．
5．数学活动小组通过观察投掷铅球的运行轨迹来研究二次函数的性质：在投掷铅球的实验中，该铅球运行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是二次函数y=ax2+bx+c．小明投掷铅球出手时离地面的高度为1.8m，经测量铅球落地成绩刚好是8m（铅球成绩达到8m是满分）．
  
(1)写出ba的取值范围是_______；
(2)若小明投掷的铅球运行到水平距离为3m时，铅球达到最大高度，求该铅球运行路线的解析式；
(3)已知小红投掷铅球出手时离地面的高度为1.6m，a=−1980，
①若小红投掷铅球成绩也是满分，求b的取值范围；
②若小红投掷铅球成绩刚好是8m，求：小红投掷铅球的运行水平距离为多少米时与（2）中小明投掷铅球的运行路线的高度差最大？
【答案】(1)−8 (2)y=−980x2+2740x+95
(3)①0
【分析】（1）根据对称轴0 （2）根据点A0,95,B8,0,−b2a=3代入解析式计算即可；
（3）①根据离地面的高度为1.6m，a=−1980，得到y=−1980x2+bx+1.6，结合对称轴0 ②设高度差为Δy=−1980x2+1710x+85−−980x2+2740x+95，构造二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵成绩刚好是8m，
∴抛物线与x轴的一个交点为8,0，
∵抛物线与y轴的交点为0,1.8，开口向下，
∴抛物线与x轴另外一个交点在x轴负半轴上，
∴抛物线的对称轴0<−b2a<4，
∴−8 故答案为：−8 （2）解：根据题意，y=ax2+bx+c经过点A0,95,B8,0,−b2a=3，
∴64a+8b+c=0c=1.8−b2a=3，
解得a=−980b=2740c=1.8，
∴抛物线的解析式为y=−980x2+2740x+95．
（3）①解：根据离地面的高度为1.6m，a=−1980，得到y=−1980x2+bx+1.6，
∴0<−b2a<4，
∴−8 ∴−8 解得0 故b的取值范围为：0 ②设高度差为Δy=−1980x2+1710x+85−−980x2+2740x+95，
=−18x2+4140x−15=−18x−41102+1521800，
∵a=−18＜0，
∴Δy有最大值，且当x=4110=4.1时，取得最大值，
故铅球的运行水平距离为4.1m时与（2）中小明投掷铅球的运行路线的高度差最大．
【点睛】本题考查了二次函数与铅球的应用，构造二次函数求最值是解题的关键．
6．如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12米时，达到最大高度7米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为18米处有一棵小树AB，AB垂直水平地面且B点到水平地面的距离为133米．以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系．
  
(1)求水流形成的抛物线的函数表达式；
(2)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
【答案】(1)y=−124x−122+7
(2)喷射架应向后移动2米

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x−12)2+7，把点(0,1)的坐标求出a的值即可；
（2）设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为y=−124x−12+m2+7，
将点B18,133代入，求出m的值即可．
【详解】（1）由题意可知抛物线的顶点为12,7．
设水流形成的抛物线为y=ax−122+7，
将点0,1代入可得a=−124，
∴抛物线为y=−124x−122+7．
（2）设喷射架向后平移了m米，
则平移后的抛物线可表示为y=−124x−12+m2+7，
将点B18,133代入，并整理得：m2+12m−28=0，
解得m=2或m=－14（舍去）．
答：喷射架应向后移动2米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
7．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y=−16x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
  
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该农户计划在大棚内搭建高为3米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿CD，需在对称轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿EF（点D、F均在x轴上，点C、E均在抛物线上，CD∥EF∥y轴），求这两根竹竿之间的水平距离DF．
【答案】(1)y=−16x2+76x+1
(2)1米

【分析】（1）用待定系数法求出和式关系式即可；
（2）结合（1）令y=3，求出x的值，可得D，E的横坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，点A的坐标为0,1，点B的坐标为6,2，
把A0,1，B6,2代入y=−16x2+bx+c得：
c=1−16×62+6b+c=2，
解得b=76c=1，
∴y与x之间的函数关系式为y=−16x2+76x+1；
（2）解：由题意知，点C、D的纵坐标均为3，
∴−16x2+76x+1=3
解得x=3或x=4，
∴D3,0，F4,0，
∴DF=4−3=1，
∴这两根竹竿之间的水平距离DF为1米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数关系式．
8．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9．
  
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围______．
【答案】(1)y=−0.1x2+0.6x+0.9
(2)1.8米
(3)1
【分析】（1）根据题意，选的点E1,1.4，B6.0.9，利用待定系数法求解即可；
（2）将x=3代入（1）中解析式中求解y值即可；
（3）求出y=1.4时对应的x值，再结合图象求解即可．
【详解】（1）解：由题意，E1,1.4，B6.0.9，代入y=ax2+bx+0.9中，得
a+b+0.9=1.436a+6b+0.9=0.9，解得a=−0.1b=0.6，
∴该抛物线的解析式为y=−0.1x2+0.6x+0.9；
（2）解：由题意，当x=3时，y=−0.1×32+0.6×3+0.9=1.8，
∵绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，
∴小华的身高为1.8米；
（3）解：当y=1.4时，由−0.1×32+0.6×3+0.9=1.4得x=1或x=5，
∵绳子甩到最高处时超过她的头顶，
∴y>1.4，
结合函数图象得：1 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，将实际问题转化为二次函数问题求解是解答的关键．
9．2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax−ℎ2+ka<0．
  
某跳水运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离xm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.6
2.0
竖直高度ym
10.00
10.45
10.60
10.45
10.00
5.20
1.00
①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=ax−ℎ2+ka<0；
②运动员必须在距水面5m前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为1.6m，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−4.16x−0.382+10.60．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域AB内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）．
【答案】(1)①10.60m，y=−3.75x−0.42+10.60；②此次跳水不会出现失误，理由见解析
(2)不能

【分析】（1）①先根据对称性求出抛物线对称轴，进而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出最高点的距离即可；②求出当x=1.6时，y的值即可得到答案；
（2）分别求出两次入水点的位置即可得到答案．
【详解】（1）解：①由表格中的数据可知当x=0.2时，y=10.45，当x=0.6时，y=10.45，
∴抛物线对称轴为直线x=0.2+0.62=0.4，
∴抛物线顶点坐标为0.4，10.60，
∴抛物线解析式为y=ax−0.42+10.60，
把x=0.2，y=10.45代入得：10.45=a0.2−0.42+10.60，
解得a=−3.75，
∴抛物线解析式为y=−3.75x−0.42+10.60
∵抛物线开口向下，
∴该运动员竖直高度的最大值为10.60m；
②此次跳水不会出现失误，理由如下：
当x=1.6时，y=−3.751.6−0.42+10.60=5.2，
∵5.2>5，
∴此次跳水不会出现失误；
（2）解：在y=−3.75x−0.42+10.60中，当y=0时，则−3.75x−0.42+10.60=0，
解得x≈2.08或x=−1.28（舍去），
∴A2.08，0
在y=−4.16x−0.382+10.60中，当y=0时，则−4.16x−0.382+10.60=0，
解得x≈1.98或x≈−1.22（舍去），
∴第二次入水的位置的水平距离为1.98米，
∵1.98<2.08，即第二次入水的位置在店A的左侧，
∴第二次训练不能达到要求，
故答案为：不能．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．
10．如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长AB=3m，BC=4m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．在该抛物线与AD之间的区域内装有一扇矩形窗户FGHK，点G、H在边AD上，点F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若GH=2m，则矩形窗户的宽FG的长为______m．
  
【答案】34/0.75
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，设F−1,m，求出m=154，即可得到矩形窗户的宽FG的长．
【详解】解：由题意可知，A−2,3、D2,3、E0,4，
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∴4a−2b+c=34a+2b+c=3c=4，解得：a=−14b=0c=4
∴抛物线解析式为y=−14x2+4，
点G、H在边AD上，且GH=2m，
∴G−1,3、H1,3，
∵四边形FGHK是矩形，
∴设F−1,m，
∵点F−1,m在抛物线上，
∴m=−14×−12+4=154，
∴FG=m−AB=154−3=34m，
故答案为：34．
【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质等知识，求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．