精品解析：福建省福州市四校联盟（永泰城关中学、长乐高级中学、连江文笔中学、元洪中学）2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

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福州四校联盟2022-2023学年第二学期期中联考高二数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册（第六章）.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省代表团、江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有（    ）A. 4种 B. 12种 C. 18种 D. 24种【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用全排列列式计算作答.【详解】依题意，4个代表团的排列顺序，即为记者的采访顺序，所以不同的采访顺序有种.故选：D2. 已知曲线在点处切线的斜率为8，则（    ）A. 7 B. -4 C. -7 D. 4【答案】B【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义得出的值，再计算.【详解】故选：B.【点睛】本题主要考查了由切线的斜率求参数的值，属于基础题.3. 两平行直线，之间的距离是（    ）A.  B.  C. 1 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行求出，再根据两平行直线的距离公式可求出结果.【详解】因为，所以，解得，所以两平行直线，之间的距离.故选：A4. 的展开式中，常数项为（    ）A. 1365 B. 3003 C. 5005 D. 6435【答案】C【解析】【分析】求出给定的二项式展开式的通项公式，再确定常数项的参数值即可计算作答.【详解】二项式展开式的通项，由得，此时，所以所求常数项为5005.故选：C5. 已知等比数列中，，则公比（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】利用求解即可.【详解】等比数列中，，设等比数列的公比为，又因为所以，故选：A.6. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（    ）种．A. 150 B. 180 C. 240 D. 300【答案】A【解析】【分析】将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2；（2）每组的人数分别为1，1，3，然后分别计算出现的结果数并相加，可得结果.【详解】解：将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2，方法有；（2）每组的人数分别为1，1，3，方法有，所以不同的方案有90+60=150种.故选：A【点睛】此题考查的是排列组中的分类、分步计数原理，属于中档题.7. 在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（    ）A. 2022 B. 2024 C. 1011 D. 1012【答案】D【解析】【分析】利用数列周期性，即可计算求解.【详解】∵，，，，…，∴数列是以3为周期的周期数列.又，，∴.故选：D8. 椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出的坐标，由可得间的关系，结合及离心率公式即可求解.【详解】设为椭圆的半焦距，由题意可得，由对称性可设,则,因为，所以,所以,即,解得或（舍）.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列导数运算正确的有（    ）A.  B. C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，，故错误；对于B选项，，故错误；对于C选项，，故正确；对于D选项，，故正确.故选：CD10. 若，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】根据给定的二项式展开式，利用赋值法计算判断作答.【详解】，令，得，A错误，B正确；令，得，C正确，D错误.故选：BC11. 已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（    ）A.  B. S16为Sn的最小值C.  D. 使得成立的n的最大值为33【答案】AC【解析】【分析】根据已知条件求得，结合等差数列前项和公式确定正确选项.【详解】，当时，，当时，，也符合上式，所以，A正确.由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误.由解得，所以，C正确.，所以使成立的的最大值为，D错误.故选：AC12. 对于函数，下列说法正确的是（    ）A. 在处取得极大值B. 有两个不同的零点C. D. 若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】【分析】根据导函数确定单调性极值及最值情况，就能确定ABC的正误，对于D，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A选项，，定义域为，，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，函数在时取得极大值也是最大值，故A对，B选项，时，，，当时，如下图所示：函数有且只有唯一一个零点，故B错，C选项，当时单调递减函数，，，，故C对，D选项，，故，由于函数在上恒成立，，设，定义域为，则，设，解得，单调递增，单调递减，，故，故D对.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，，，则________.【答案】2【解析】【分析】根据即可求解.【详解】因为，所以,因为，所以,即，解得.故答案:2.14.        ．【答案】【解析】【详解】由，则当x=1时，，函数取最大值，由，则，则，则.15. 已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.【答案】【解析】【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点点坐标，代入圆的方程，即可求得的值．【详解】解：设点，，，，线段的中点，，由，得（判别式△，，，，点，在圆上，则，故.故答案为：16. 给定圆：及抛物线：，过圆心作直线，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次为，，，；如果线段，，的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】先确定圆的标准方程，求出圆心与直径长，设出的方程，代入抛物线方程，求出，利用线段、、的长按此顺序构成一个等差数列，可得，求出的值，由此可求直线的方程.【详解】解：圆的方程为，则其直径长，圆心为，设的方程为，即，代入抛物线方程得：，设，，有，，则，故，因此.因为线段，，的长按此顺序构成一个等差数列，所以，即，∴，∴方程.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定是关键.中档题.四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉.2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）将首次把霹雳舞列入比赛项目．2023年1月9日中国霹雳狮队正式成立．2月25日，中国女队员、17岁的刘清漪在霹雳舞首场积分赛中夺冠，为中国队赢得了开门红．藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法．（1）男队员2名，女队员2名；（2）至少有1名男队员．【答案】（1）30；    （2）65.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答.（2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答.【小问1详解】从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数（种）.【小问2详解】从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）.18. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；    （2）或.【解析】【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【小问1详解】过点且与直线垂直的直线方程为，联立，解得，所以,所以圆的半径为,所以圆的方程为.    【小问2详解】由（1）可知圆的方程为，因为直线被圆截得的弦长为，所以到直线的距离为，若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；若直线的斜率存在，设方程为，则,即,解得或,所以直线的方程为或.  19. 在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，平面.（1）是棱的中点，求证：平面；（2）试问棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是？若存在，求点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为边上靠近的四等分点.【解析】【分析】（1）先证，再根据线面平行判定定理即可证明命题；（2）取中点，根据，，两两互相垂直建立坐标系，设点分别求得平面和平面的法向量，再由二面角公式解得值，从而确定的位置.【详解】（1）证明：连，由，得，故四边形为平行四边形.，平面，平面，所以平面，（2）假设点存在，取中点，因为底面是菱形，，所以，，又面，所以，，两两互相垂直.以为坐标原点，，，为正方向建立空间直角坐标系.由，得，设，其中.，，，.设为平面的一个法向量，则，即可取.易知平面一个法向量为由，得，故为边上靠近的四等分点.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.20. 设数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和为.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据，结合等比数列通项公式运算处理；（2）利用累加法，结合等比数列求和运算整理；（3）利用错位相减法进行求和．【详解】(1)当时，，所以当时，且所以得：则数列是以1为首项，为公比的等比数列，数列的通项公式是．(2) 由且，则，则：，，，…,，以上个等式叠加得：则：＝2－，又所以：（3）因为，所以…….. ①……..②得:∴21. 已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数无零点，求实数的取值范围．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．【解析】【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极值；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，所以，令，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以为函数的极小值点，极小值为，无极大值；（2）由，得．①当时，，此时函数没有零点，符合题意；②当时，，所以函数单调递减．又，且，所以函数有零点，不符合题意；③当时，令，则．当时，，所以函数单调递减；当时，，所以函数单调递增．所以，若函数没有零点，则需，即，得．综上所述，若函数无零点，则实数的取值范围为．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.22. 平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于不同两点､，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】【分析】（1）设点，则，化简即可求得轨迹的方程；（2）若直线恰好过原点，直接计算的值即可；若直线不过原点，设直线，，求出相关点的坐标与向量，用表示出，联立直线与椭圆方程消去，利用韦达定理，化简求解即可．【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，所以，化简可得曲线的方程为：． （2）由题知，若直线恰好过原点，则，，，，，则，，，则，．    若直线不过原点，设直线，，，，，，．则，，，，，，，，由，得，从而；由，得，从而；故．  联立方程组得：，整理得，判别式恒大于零，，，．综上所述，．【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.