精品解析：江苏省南京市雨花台中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年南京市雨花台中学高一下6月月考

一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法运算化简，根据其几何意义判断其对应点的象限即可.

【详解】由，即复数在复平面内所对应的点位于第一象限.

故选：A

2. 已知向量，不共线，，，若，则（    ）

A. -12 B. -9 C. -6 D. -3

【答案】D

【解析】

【分析】根据，由，利用待定系数法求解.

【详解】已知向量，不共线，且，，

因为，

所以，

则，

所以，

解得，

故选：D

【点睛】本题主要考查平面向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ）

A. 若，则为锐角三角形

B. 若为锐角三角形，有，则

C. 若，则符合条件的有两个

D. 若，则为等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】A，根据余弦定理，只能判定命题A为锐角；
B，移项后，利用正弦函数的单调性和诱导公式即得结论；
C，由已知条件为两边一夹角，可判定错误；
D，据正弦定理把等式的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得，进而推断，或，即可判定．

【详解】对于A，若，则，A为锐角，

不能判定为锐角三角形，故错；
对于B，若为锐角三角形，有，

则，∴,故正确；
对于C，知道两边一夹角，符合条件的三角形有且只有一个，故C错误；

对于D，，，
，或即，
为等腰或直角三角形，故不正确．
故选：B．

【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及正弦定理、余弦定理、解三角形的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题题．

4. 设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（    ）

A 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断（可通过正方体中的直线、平面进行说明）．

【详解】以正方体为例，

A．，平面，平面与平面都可以是平面，与可能平行也可能相交，A错；

B．平面，平面，，，此时与相交，B错；

C．，由线面平行的性质定理，内有直线，，则，，则，则，C正确；

D．平面，平面，，，但与相交，不平行，D错．

故选：C．

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以

.

故选：A．

6. 设，，，则有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简c，然后根据正弦函数的单调性比较可得.

详解】，

，

，

当，单调递增，

所以，所以.

故选：C

7. 古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出三棱锥的外接球半径，进一步利用等体积法的应用求出内切球的半径，最后利用球的表面积公式求出结果．

【详解】解：因为四棱锥为阳马，平面，，，所以

设外接球的半径为，

所以，故，

所以，

所以，，

所以

设内切球的半径为，

利用，

解得，

故，

故外接球与内切球的表面积之比为．

故选：．

8. 在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】证明出平面，平面，确定过点的截面与正方体各棱的交点，可知截面图形是边长为的正六边形，进而可求得结果.

【详解】连接、、、、、、，如下图所示：

因为四边形为正方形，则，

平面，平面，，

，平面，

平面，，同理可得，

，平面，同理可证平面，

设过点且垂直于的平面为平面，则与平面、平面都平行，

平面，平面平面，平面平面，

，为的中点，则为的中点，

同理可知，平面分别与棱、、、交于中点，

易知六边形为正六边形，且其边长为，

因此，满足条件的所有点构成的平面图形的面积是.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查正方体截面面积的计算，解题的关键在于利用正方体的几何性质，找出体对角线的垂面，进而确定截面与垂面平行，并以此作出截面.

二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）

9. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（    ）

A. 事件、是相互独立事件 B. 事件、是互斥事件

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】利用列举法分别求出事件，，，，的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．

【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，

基本事件总数，

记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，

则事件包含的基本事件有18个，分别为：

，，，，，，，，，

，，，，，，，，，

，

事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，

则事件包含的基本事件有18个，分别为：

，，，，，，，，，

，，，，，，，，，

，

事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，

则事件包含的基本事件有18个，分别为：

，，，，，，，，，

，，，，，，，，，

，

事件包含的基本事件有9个，分别为：

，，，，，，，，，

，

，事件、是相互独立事件，故正确；

事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误；

，故正确；

包包含的基本事件有9个，分别为：

，，，，，，，，，

．故错误．

故选：．

10. 某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 图中的

B. 成绩不低于80分的职工约80人

C. 200名职工的平均成绩是80分

D. 若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A肯定能受到表扬

【答案】AB

【解析】

【分析】根据频率分布直方图的性质特点进行分析计算可得答案.

【详解】对于A，，得，故A正确；

对于B，成绩不低于80分的职工人数为，故B正确；

对于C，平均成绩为，故C错误；

第分位数为，故D错误.

故选：AB.

11. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量，满足，，则（    ）

A.  B. 与的夹角为

C.  D. 在上的投影向量为

【答案】BD

【解析】

【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C，由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.

【详解】，,

，解得，故A错误；

，，

由于，与的夹角为，故B正确；

，故C错误；

在上的投影向量为，故D正确,

故选：BD.

12. 如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE､AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B､C､D三点重合于点S，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（    ）

A. 平面平面SAF

B. 四面体的体积为

C. 二面角正切值为

D. 顶点S在底面AEF上的射影为的垂心

【答案】BD

【解析】

【分析】（１）作辅助线，证为平面SAF与平面AEF的二面角的平面角，显然为锐角，从而判断A选项．

（２）先证平面AEF，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可．

（３）证为平面SEF与平面AEF的二面角的平面角，计算的正切值．

（４）先证O为S在平面AEF上的射影，由于AM，只需证，即可．

【详解】如图，作EF的中点M，连结AM、SM，过S作AM的垂线交AM于点O，连结SO，过O作AF的垂线交AF于点N，连结SN

由题知AE=AF=，所以AM，SE=SF=1，所以，

为平面SEF与平面AEF的二面角的平面角

又 平面ASM，平面ASM，SO，

作法知， ，平面AEF，

所以SO为锥体的高．所以O为S在平面AEF上的射影.

平面AEF，所以 ，由作法知，

平面SON，平面SON，

为平面SAF与平面AEF的二面角的平面角，显然为锐角，故A错．

由题知 ， ，

又AS＝２， ，SE＝１，

，四面体S−AEF的体积为 ，故B正确．

在直角三角形ASM中：

 故C不正确．

因为 ， ，

所以 ，

，由对称性知 ，又AM

故D正确．

故选：BD．

三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13. 如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________．

【答案】##

【解析】

【分析】取的中点，连接，，即可得到即为异面直线与所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形，即可得解；

【详解】解：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，

所以且，且，

所以即为异面直线与所成的角或其补角，

又，，，

所以，，所以，所以，

所以为等腰直角三角形，所以；

故答案为：

14. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为______.

【答案】

【解析】

【分析】由题得恰好进行了4局甲获胜，则甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.

【详解】由题得恰好进行了4局甲获胜，则甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时.

故答案为: .

15. 某次海上联合作战演习中，红方一艘侦查艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦查艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角的余弦值为______.

【答案】

【解析】

【分析】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，即可得到，，在中，利用余弦定理得到关于的方程，求解得到，从而得到，再利用正弦定理得到，由同角的平方关系即可得到.

【详解】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，则，，.

根据余弦定理得，解得，故，.

根据正弦定理得，解得，

因为，所以，

故答案为：.

16. 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为______.

【答案】

【解析】

【分析】方法一：以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换知识可表示出，则当时可得所求最大值；

方法二：根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到，由此可求得最大值.

【详解】方法一：以点为坐标原点，为轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，

点在以为圆心，为半径的圆上，可设，

，，

，

则当时，取得最大值.

方法二：，

则当与同向，即时，取得最大值为.

四．解答题（共6小题，共70分）

17. 已知复数，，其中i是虚数单位，．

（1）若为纯虚数，求a的值；

（2）若，求的虚部．

【答案】（1）；   

（2）1.

【解析】

【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可；

（2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可.

【小问1详解】

由题意得，

因为为纯虚数，所以且，综上，．

【小问2详解】

因为，所以，即，

所以，所以，

所以的虚部为1．

18. 如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.

（1）若，求的值；

（2）若，，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；

（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.

【详解】（1），

，，因此，；

（2）设，

再设，则，即，

所以，，解得，所以，

因此，.

【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.

19. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）    （2）最大值为，最小值为

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数式化成的形式，然后再用公式求周期;

（2）根据（1）的结果,先求出角的范围,再根据三角函数的性质求的最值.

【详解】（1）因为

故的最小正周期

（2）当时,

故当，即时，

当，即时，

故函数在区间上的最大值为，最小值为

20. 某校有高中生人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：

方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．

方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为的样本，计算得到男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为．

（1）根据图表信息，求，的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）

（2）计算方案二总样本的均值及方差；

（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）

【答案】（1）；；频率分布直方图见解析；   

（2）；   

（3）答案见解析

【解析】

【小问1详解】

（1）因为身高在区间，的频率为，频数4，

所以，，

所以身高在区间，的频率为，在区间，的频率为，

由此可补充完整频率分布直方图：

由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：

；

【小问2详解】

把男生样本记为，，，，其均值记为，方差记为；

把女生样本记为，，，，其均值记为，方差记为，

则总样本均值，

又因为，

所以，

同理可得，

所以总样本方差

；

【小问3详解】

用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况.

21. 如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点是的中点．

（1）证明：；

（2）求点到的距离；

（3）求二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由已知位置关系推出，即可证明异面直线；

（2）由（1）中，，得，，求解各边长度，得为等边三角形，利用等边三角形的性质即得点到的距离；

（3）利用二面角定义求解即可.

【小问1详解】

证明：平面，底面为矩形

，又

，又

，，点是中点．

，又

【小问2详解】

解：由（1）得：

又，，，即

因为，

所以，，，故

即，三角形是边长为2的正三角形，

点到的距离为,则，所以

所以点到的距离.

【小问3详解】

解：由（2）知，，故取中点M，连接EM，DM.

因为分别为中点，所以，即，故

则为二面角的平面角

又在中，

所以，又

所以.

即二面角的大小为.

22. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）若，求C；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由题给条件求得，进而求得；

（2）先利用正弦定理和题给条件求得和，再构造函数，求得此函数值域即为的取值范围

【小问1详解】

由，

可得，则

整理得，解之得或

又，则，则，则

【小问2详解】

A ，B为的内角，则

则由，可得，则均为锐角

又，则，

则，则

则

令，则

又在单调递增，，

可得，则的取值范围为，

则的取值范围为