精品解析：上海市建平中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（解析版）

建平中学2022学年第二学期高一年级数学月考

2023.6

一､填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1. 与的等比中项为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据等比中项定义直接求解.

【详解】与的等比中项为.

故答案为：.

2. 写出该数列的一个通项公式，，，，，__________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】将原数列改写成，，，，，，即可找到其项的规律，从而可得该数列的一个通项公式.

【详解】数列，，，，，即为

，，，，，

由此得此数列的一个通项公式为.

故答案为：（答案不唯一）

3. 已知数列中，，则的值为__________.

【答案】##1.6

【解析】

【分析】根据依次代入数值即可求.

【详解】因为，

所以，

，

，

.

故答案为：

4. 在无穷等比数列中，若，则的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】先设等比数列的公比为，根据题意，得到且，，分别讨论，和，即可得出结果.

【详解】设等比数列的公比为，则其前项和为：，

若时，，

若时，，

因此且，，即，

所以当时，；

当时，.

因此，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】本题主要考查由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法则，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.

5. 已知数列的前项和，则的值为__________.

【答案】54

【解析】

【分析】根据即可求解.

【详解】.

故答案为:54.

6. 用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用数学归纳法的概念、步骤求解即可.

【详解】当时，不等式为，

当时，不等式为.

故答案为：.

7. 已知，则在数列的前40项中最大项是第__________项.

【答案】

【解析】

【分析】根据数列的通项公式，判断数列的单调性，即可判断数列的最大项.

详解】，

当时，数列单调递减，且，

当时，数列单调递减，且，

所以当时，数列取得最大值，

即在数列的前40项中最大项是第项.

故答案为：.

8. 若数列满足，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用递推公式再递推一步，得到一个新的等式，两个等式相减，再利用累乘法可求出数列的通项公式，利用所求的通项公式可以求出的值.

【详解】因为（1），

所以（2），

得, ，

所以有，

所以.

故答案为：

9. 已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则_____．

【答案】

【解析】

【分析】把方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）＝0化为x2﹣2x+m＝0，或x2﹣2x+n＝0，设是第一个方程

的根，代入方程即可求得m，则方程的另一个根可求；设另一个方程的根为s，t，（s≤t）

根据韦达定理可知∴s+t＝2根据等差中项的性质可知四个跟成的等差数列为，s，t，

，进而根据数列的第一项和第四项求得公差，则s和t可求，进而根据韦达定理求得n，最

后代入|m﹣n|即可．

【详解】方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）＝0可化为

x2﹣2x+m＝0①，或x2﹣2x+n＝0②，

设是方程①的根，

则将代入方程①，可解得m，

∴方程①的另一个根为．

设方程②的另一个根为s，t，（s≤t）

则由根与系数的关系知，s+t＝2，st＝n，

又方程①的两根之和也是2，

∴s+t

由等差数列中的项的性质可知，

此等差数列为，s，t，，

公差为[]÷3，

∴s，t，

∴n＝st

∴|m﹣n|＝||．

故答案为

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生创造性思维和解决问题的能力．

10. 若钝角三角形的三边长，8，成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合余弦定理可得，再根据三角形三边关系可得，即可得解.

【详解】由题意得且，

三角形为钝角三角形，

即，

即，

，

又由三角形三边关系可得，

即，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题.

11. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下4个圆环需最少移动__________次

【答案】7

【解析】

【分析】根据递推关系逐步求解即可.

【详解】由条件可得，，,

所以解下4个圆环需最少移动7次.

故答案为:7.

12. 已知数列满足：，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由条件求数列的通项公式，结合条件讨论的奇偶，列不等式求的取值范围.

【详解】因为当时，，，

所以数列为首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以不等式，可化为，

当为正奇数时，，由已知，

当为正偶数时，，由已知，

所以的取值范围为，

故答案为：.

二､选择题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 已知等差数列中，，那么

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的性质可得，，再结合诱导公式即可得解.

【详解】∵等差数列中，，

∴，

∴，

∴，

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查等差数列的性质，考查诱导公式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

14. 下列命题中正确的是（    ）

A. 若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列

B. 若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列

C. 若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列

D. 若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列

【答案】C

【解析】

【分析】由对数的运算律，再根据等差中项判断等差数列和等比中项判断等比数列的方法即可得到答案.

【详解】若，则对数无意义，A,B错误；

对C，若a，b，c是等差数列，则，所以，正确；

对D，若，则，显然，错误

故选：C.

15. 已知数列的通项公式为，且为递增数列，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据数列为单调递增数列，可得到恒成立，即可求得答案.

【详解】∵数列的通项公式为，数列是递增数列，

∴，恒成立

即，恒成立，而随n的增大而增大，

即当时，取得最小值2，则，

所以实数 的取值范围是 ，

故选：B.

16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：．该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（    ）．

A. -2024 B. 2024 C. -1 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据，证得数列是首项为1，公比为-1的等比数列，通过运算从而可以求出结果.

【详解】因为，

当时，所以

．

又，所以是首项为1，公比为-1的等比数列，

则，

故．

故选：C.

三､解答题：（本大题共5题，共52分）

17. 已知等差数列，前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求的最大值并指出此时的值.

【答案】（1）；   

（2）的最大值为，此时或.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件列出关于公差的方程，求解即可；

（2）求出，，对应的的取值，从而可求的最大值及对应的的值.

【小问1详解】

设公差为，因为，，

所以，解得,

所以.

【小问2详解】

当时，；当时，；当时，.

所以当或时，取得最大值，最大值为.

18. 已知数列的前项和为，且.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据条件，利用与的关系，得到，再求出，即可求出结果；

（2）先求出，再用分组求和的方法即可求.

【小问1详解】

因为，所以当时，，

两式相减，得，整理得，

即时，，又当时，，解得，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以.

【小问2详解】

由（1）可知，

所以数列的前项和.

19. 在数列中，.

（1）求的值；

（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，-1.

【解析】

【分析】（1）根据条件，容易求得；

（2）首先假设在实数，使得数列为等差数列，设，进而由求出，然后结合等差数列的定义解决问题.

【小问1详解】

由题意，，，.

【小问2详解】

假设存在实数，使得数列为等差数列，设，则，所以.

此时，，而，则是首项为2，公差为1的等差数列，即存在实数，使得数列是以首项为2，公差是1的等差数列.

20. 某实验室要在小白鼠身上做连续活体实验.因实验需要，每天晩上做实验消耗其脂肪10克，其脂肪每天增长率为（从前一次实验后到后一次实验前）.设为第天晩上实验后该小白鼠的脂肪含量.第一天晩上实验前测量其脂肪含量为90克，则.

（1）计算的值；

（2）写出的通项公式，并证明你的结论；

（3）为保证实验的有效性，实验前小白鼠的体内脂肪含量应不少于60克.那么该小白鼠某晩是否会因脂肪含量不够而无法进行有效实验吗？若会，是在第几天晩上？若不会，请说明理由.

【答案】（1）,;   

（2）;   

（3）见解析；

【解析】

【分析】（1）根据题意直接求解；

（2）由题意可得，构造是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解；

（3）求解即可.

【小问1详解】

，.

【小问2详解】

由题意可得，

所以 ，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，即,

所以的通项公式为.

【小问3详解】

设该小白鼠第晩因脂肪含量不够而无法进行有效实验,

则,可得，解得，

因为,

所以当时，，

故小白鼠第11,12,13,14,15晩会因脂肪含量不够而无法进行有效实验.

21. 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为1的周期数列，当时是周期为4的周期数列.

（1）设数列满足不同时为0，求证：数列是周期为6周期数列，并求数列的前2013项的和；

（2）设数列的前项和为，且.

①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

（3）设数列满足，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析，；   

（2）①数列不是周期数列；②数列是周期数列，理由见解析；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）计算得到，故为周期数列，再计算每个周期和为0得到答案.

（2）化简得到，当时得到等差数列，不是周期，当时得到，是周期.

（3）化简得到，故周期为6，讨论，， ，，，，六种情况分别计算得到答案.

【小问1详解】

（1），故，即，

故数列是周期为6的周期数列.

计算得到

每个周期的和为0，故.

【小问2详解】

，，故当时，，

两式相减得到，故，

①若，则，则，不是周期数列.

②若，且，故，故，即，

故是周期数列.

【小问3详解】

，

相加得到，故是周期为6数列.

计算数列为：

故，

当时，，故；

当时，，故；

当时，，故；

当时，，故；

当时，，故；

当时，，故.

综上所述：存在，且.

【点睛】总结点睛：

给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.