中考数学压轴题（2）——平面直角坐标系

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（2023春•雅礼集团期末考24T  变式）在平面直角坐标系中，如果点，满足，则称点为“重生点”，例如点，即，满足，故点为“重生点”，类似的，点，，均为“重生点”．（1）若点是反比例函数为常数，的图象上的“重生点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数，为常数）的图象上存在“重生点”吗？若存在，请求出“重生点”的坐标；若不存在，说明理由；（3）若二次函数，是常数，的图象上有且只有一个“重生点”，令，当时，有最小值，试求的取值范围．                    【考点】二次函数综合题【专题】阅读型；数形结合；判别式法【分析】（1）由题意得：点，则，即：，而，故，即点，即可求解；（2）设：“重生点”为点，，化简得：，，“重生点”的坐标为，，（3）设：“重生点”为点，则：，整理得：，由题意得：△，，函数的对称轴为，分：①当时、②当（即时、③当时，分别讨论求解即可．【解答】解：，则，（1）由题意得：点，则，即：，而，故，即点；故，则：反比例函数的表达式为：；（2）设：“重生点”为点，，化简得：，，故：当时，即：时，存在，“重生点”，“重生点”的坐标为，；（3）设：“重生点”为点，则：，整理得：，，由题意得：△，，函数的对称轴为，①当时，函数在处取得最小值，则：，解得函数无解；②当（即时，函数在顶点处取得最少值，即：，而此时，符合题意，故：；③当时，函数在处取得最小值，即：，解得：（舍去）或，故：，的取值范围为：或．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．