新高考视角下的概率统计二轮专题数学复习题

1．（2011陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是

A． B． C． D．

2．（2019江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.

3．（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

4．（2021湖南师范大学附属中学高三下学期三模）2020年1月,教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”）,明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为,那么三人中恰有两人通过的概率为（    ）

A． B． C． D．

解析：记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,显然为相互独立事件,则“三人中恰有两人通过”相当于事件,且互斥,所求概率.故选C.

5．为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.

(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数

(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.

解析：（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,所以数学成绩落在区间内的频率为，因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，数学成绩落在区间[70，100）的频率为，所以中位数落在区间内，

设中位数为，则，解得，所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.

（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，

由题意可知，，的所有可能取值为，

，，

，，

所以的分布列为：

所以数学期望.

6.（2022年北京卷）．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

解析：（1）由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，

故答案为0.4

（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3

，

，

，

.

∴X的分布列为

∴

（3）丙夺冠概率估计值最大.

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

7．如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．

（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．

用频率估计相应的概率，则有：

，；

∵，∴甲应选择路径；

，；

∵，∴乙应选择路径．

（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，的取值是0，1，2，

∴，

，

∴X的分布列为

∴．

8. 2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．

（1）若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；

（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应的值．

解析：（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为，

一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为，

所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为

．

∴时，

所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为．

（2）设每篇学术论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500．

，，

所以．

令，，．

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

所以的最大值为．

所以评审最高费用为（万元）．对应．

9．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：

（1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；

（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求第次传球后球在甲手中的概率．

附：

解析：（1），

故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，

则，

则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；

（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，

则有，，

设，则，

所以，解得：，

所以，其中，

故数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

故，

故第次传球后球在甲手中的概率为．

10．有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．

（1）设为这78名密切接触者中被感染的人数，求的数学期望；

（2）核酸检测并不是准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为（即假阴性率为），特异度为（即假阳性率为）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．

解析：（1）为这78名密切接触者中被感染的人数，

可取0，1，2，，78，，

所以．

（2）设事件为“核酸检测结果为阳性”，事件为“密切接触者被感染”，

由题意，，，所以

，

，

王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，他被感染的概率为．