2023年山东省临沂市蒙阴县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省临沂市蒙阴县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数的相反数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，，平分，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图所示，该几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，，分别与相切于点，，，为上一点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，已知，则小车上升的高度是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8.  我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9.  某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知型陶笛比型陶笛的单价低元，用元购买型陶笛与用购买型陶笛的数量相同，设型陶笛的单价为元，依题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．则下列说法：
若，则四边形为矩形；
若，则四边形为菱形；
若四边形是平行四边形，则与互相平分；
若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

12.  二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根其中正确结论的序号是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  计算： ______ ．

14.  在实数范围内分解因式： ______ ．

15.  如图，在中，、为边的三等分点，，为与的交点若，则 ______ ．

16.  如图，、是双曲线上的两点，连接，过点作轴于点，交于点若为的中点，的面积为，点的坐标为，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取名学生进行测试，成绩如下单位：分
                                                        
整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：

回答下列问题：
以上个数据中，中位数是______；频数分布表中______；______；
补全频数分布直方图；
若成绩不低于分为优秀，估计该校七年级名学生中，达到优秀等级的人数．

19.  本小题分
测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，从地面上点处观测旗杆顶点的仰角为，观测旗杆底部点的仰角为可用的参考数据：，
若已知，求红旗的长；
若已知旗杆的高度，求建筑物的高度．

20.  本小题分
如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边的活动托盘可左右移动中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况实验数据记录如下表：

把上表中的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？
当活动托盘往左移动时，应往活动托盘中添加还是减少砝码？

 

21.  本小题分
如图，点为斜边上的一点，以为半径的与切于点，与交于点，连接．
求证：平分；
若，，求阴影部分的面积结果保留．

22.  本小题分
如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．
求证：四边形是平行四边形，
若，，，当为何值时，四边形是菱形．

23.  本小题分
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
求抛物线的解析式；
是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标；
在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，直接写出点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数为，
的相反数是，
则的倒数的相反数为．
故选：．
根据乘积为的两数互为倒数，要求的倒数，就用除以得到商为的倒数，然后再根据只有符号不同的两数互为相反数，由求出的的倒数求出对应的相反数即可．
此题考查了倒数，以及相反数的求法，学生做题时注意求的顺序，先求出倒数，然后再求相反数，熟练掌握倒数及相反数的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，
，
，
．
故选：．
由两直线平行，内错角相等得到，由角平分线的定义得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：
选项A，单项式单项式，，选项正确
选项B，积的乘方，，选项正确
选项C，同底数幂的除法，，选项错误
选项D，合并同类项，，选项正确
故选：．
选项A为单项式单项式；选项B为积的乘方；选项C为同底数幂的除法；选项D为合并同类项，根据相应的公式进行计算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练运用各运算公式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从正面看，可得选项C的图形．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接、，所在的优弧上找一点，连接、，

，分别与相切于点，，
，，
，
，
，
，
四边形是内接四边形，
，
，
故选：．
连接、，根据切线的性质得到，进而在的优弧上找一点，连接、，根据圆周角及内接圆的性质即可解答．
本题考查了四边形的内角和，圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，作，

，
，
米，
小车上升的高度是．
故选A．
在中，先求出，再利用勾股定理求出即可．
此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：把方程看作关于的一元二次方程，
所以或，
所以，．
故选：．
先把方程看作关于的一元二次方程，利用题中的解得到或，然后解两个一元一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

9.【答案】 

【解析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
设型陶笛的单价为元，则型陶笛的单价为元，根据用元购买型陶笛与用购买型陶笛的数量相同，列方程即可．
解：设型陶笛的单价为元，则型陶笛的单价为元，
由题意得，．
故选：．
 

10.【答案】 

【解析】解：把、、分别记为、、，
画树状图如下：

共有种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，即、、、．
所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：．
画树状图，可知共有种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，
故选项正确，错误，
故选：．

本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知：，，，
，
，故不符合题意．
由题意可知：，
，故符合题意．
将代入，
，
，
，故符合题意．
由图象可知：二次函数的最小值小于，
直线与抛物线有两个交点，
即有两个不相同的解，故不符合题意．
故选：．
根据对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断、、与的大小关系，然后将由对称可知，从而可判断答案．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确地由图象得出、、的数量关系，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】
解：原式

，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：原式
故答案为：
原式提取后，利用平方差公式分解即可．
此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
故答案为：．
由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证∽，得，解得，则．
本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为为的中点，的面积为，
所以的面积为，
所以．
解得：．
故答案为：．
应用的几何意义及中线的性质求解．
本题考查了反比例函数中的几何意义，关键是利用的面积转化为三角形的面积．
 

17.【答案】解：原式

；
方程两边同乘以，
得：，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程的根是． 

【解析】根据负整数指数幂公式，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂公式计算即可；
先化为整式方程，再解出这个整式方程并检验即可．
本题考查了含特殊角三角函数的混合运算，解分式方程，掌握相关公式和方法是解题的关键．
 

18.【答案】，，  
补全频数直方图，如图所示：

根据题意得：，
则该校七年级名学生中，达到优秀等级的人数为人． 

【解析】

解：根据题意排列得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，可得中位数为，频数分布表中，；
故答案为：；；；
见答案；
见答案．

【分析】
将各数按照从小到大顺序排列，找出中位数，根据统计图与表格确定出与的值即可；
补全直方图即可；
求出样本中游戏学生的百分比，乘以即可得到结果．
此题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，以及中位数，弄清题意是解本题的关键．  

19.【答案】解：，
，
在中，，，
，
，
．
答：红旗的长为；
设，
根据题意可得：，
解得：，
答：建筑物的高度为． 

【解析】，可得，再由根据，求出，利用求即可；
设，可得，解得的值即可得建筑物的高．
本题考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的定义建立方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示：


由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，
设，
把，代入得：，
，
将其余各点代入验证均适合，
与的函数关系式为：．

把代入得：，
当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是．

根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大；
应添加砝码． 

【解析】根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线；
观察可得：，的乘积为定值，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
把代入解析式求解，可得答案；
利用函数增减性即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大．
此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
 

21.【答案】证明：切于，
，
，
，
，
，
，
，
即平分；

设与交于点，连接．
，，
是等边三角形，
，，
，
又由知，即，
四边形是菱形，则≌，，
，
 

【解析】由中，，切于，易证得，继而证得平分．
如图，连接，根据中和菱形的判定与性质得到四边形是菱形，则≌，则图中阴影部分的面积扇形的面积．
此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

22.【答案】证明：，
，即．
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形．

解：连接，交于点，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
，，，
，
，，
∽，
，
即，
，
，
，
，
当时，四边形是菱形． 

【解析】由，，，易证得≌，即可得，且，即可判定四边形是平行四边形；
由四边形是平行四边形，可得当时，四边形是菱形，所以连接，交与点，证得∽，由相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
 

23.【答案】解：将代入得，，
，
将代入得，
解得，
，
对称轴为直线，
，
设抛物线的表达式为，
将代入得，，解得，
，
抛物线的表达式为；

如图，过作于，交于，

，，则，


，
，
当时，四边形面积最大，最大值为；
将代入得，，
，
四边形面积的最大值为，此时点的坐标为．

点与点关于对称轴直线，
当点是线段与对称轴的交点时，的值最小，
标记点如下，连接，

将代入直线的解析式可得：，
． 

【解析】将、代入，求解可得、坐标，根据二次函数的性质可得点坐标，设抛物线的表达式为，将代入求值，最后代入化简成一般式即可；
如图，过作于，交于，，，则，，根据二次函数的性质求解即可；
线段与对称轴的交点即为使的值最小的点，将代入直线的解析式即可求出点的纵坐标，从而得解．
本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与面积综合，线段和最小问题将军饮马问题解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．