2022-2023学年安徽省六安市十校联盟九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省六安市十校联盟九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  位于深圳市光明中心区科学公园的深圳科技馆占地面积为用科学记数法可以表示成(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，相交于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 不相交的两直线一定是平行线 B. 点到直线的垂线段就是点到直线的距离
C. 两点之间线段最短 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑宽均为米的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪．则草坪的面积为平方米．(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

8.  若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，，，在上，过作，平分，平分若，，则下列结论：；；；，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  若的绝对值为，则______．

12.  如果单项式与是同类项，则______，______．

13.  如图，在平行四边形中，已知，，的角平分线交边于点，则的长为______ ．

14.  如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，．
在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标；
求的面积；
点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标．

17.  本小题分
广场内有一块边长为的正方形花园，统一规划后，南北方向要缩短，东西方向要加长，改造后的长方形花园的面积与原来的面积相比，是增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？

18.  本小题分
已知方程的解与方程的解互为相反数，求的值．

19.  本小题分
如图，已知直线，相交于点，平分，平分，，求的度数．

20.  本小题分
如图，为的直径，直线交于、两点，点在上，平分，于点求证：直线是的切线．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，抛物线经过，两点，连接．
请直接写出，的值；
若动点在边不与，两点重合上时，点作轴的垂线交于点，交于点，交抛物线于点，连接．
设线段的长为，求与的函数关系式；
当点在下方的抛物线上时，以，，为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点的坐标；若不相似，请说明理由．

22.  本小题分
【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若，则；
若，则；
若，则．
反之也成立．
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．
【理解】若，则        填“”、“”或“”
【运用】若，，试比较，的大小．
【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题制作某产品有两种用料方案，
方案一：用块型钢板，块型钢板．
方案二：用块型钢板块型钢板每块型钢板的面积比每块型钢板的面积小方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小．

23.  本小题分
综合与实践．
模型启迪：
如图，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接由，得≌，则与的数量关系为        ，位置关系为        ．

模型探索：
如图，在中，平分，为边的中点，过点作，交的延长线于点，交边于点试判断与的数量关系，并说明理由．
如图，在中，为边的中点，连接，为边上一点，过点作于点，连接交于点，且求证：．
模型应用：
如图，在的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点若，，，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
，
，
，
．
故选：．
利用余角的关系，求得，由对顶角相等，即可求得．
本是考查了互余两角的关系，对顶角相等，掌握互余的两个角的和是是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、在同一平面内，不相交的两直线一定是平行线，故A说法错误，不符合题意；
B、点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故B说法错误，不符合题意；
C、两点之间线段最短，故C说法正确，符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法错误，不符合题意；
故选：．
利用平行线的判定，点到直线的距离的定义，线段的定义，垂线的定义对各说法进行分析即可．
本题考查了平行线的判定，线段的性质，两点间的距离，点到直线的距离，解题的关键是正确掌握各个概念．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故选项A计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项不能合并，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，故选项C计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意，
故选：．
根据幂的乘方、合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法逐一进行计算，即可得到答案．
本题考查了幂的乘方、合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把路平移到边上，得
矩形的长是米，宽是米，
矩形的面积是平方米，
故选：．
根据平移的性质，可把路平移到边上，再根据矩形的面积公式，可得答案．
本题考查了生活中的平移现象，利用了平移的性质：平移不改变图形的大小，只改变图形的位置．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，
，．
当为底时，腰长为，，，能组成三角形，故周长为．
当为底时，腰长为，，，不能组成三角形．
所以等腰三角形的周长为．
故选：．
先根据非负数的性质得出、的值，再根据等腰三角形的性质解答．由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理以及周长的求法．注意非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
，
故选：．
首先判断、的符号，再化简二次根式即可．
本题考查一次函数的性质，化简二次根式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定、的符号，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由题意得，，，由平行线的性质可求得，从而可求得，则，即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是根据三角形内角和定理求得的度数．
 

10.【答案】 

【解析】解：平分，
，
设，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
平分，
，
故正确；
，，
，
故正确；
，
，
，
，
，
故错误，
故选：．
根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可．
此题考查了三角形角平分线的性质、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角形角平分线的性质、三角形外角性质、三角形内角和是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：的绝对值为，
．
故答案为：．
直接根据绝对值的性质解答即可．
本题考查的是绝对值，熟知互为相反数的两个数绝对值相等是解题的关键．
 

12.【答案】； 

【解析】解：由题意可知：，，
，，
故答案为：，
根据同类项的概念即可求出答案．
本题考查同类项的概念，涉及一元一次方程的解法．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，由角平分线的性质和平行线的性质可得，可求，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，
取的中点，连接，作于，作于，设，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，，
是的中点，
，，
，，
在中，
，
当时，的最小值为，
故答案为：．




取的中点，连接，作于，作于，设，分别表示出，，，，进而表示出和，进而表示出，进一步得出结果．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
 

15.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】原式去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标．
故答案为：；

．
点与点关于轴对称，若，
，
或，
点的坐标为或． 

【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形面积仅为掌握三个三角形面积即可；
构建方程求出可得结论．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】解：原来的面积为，
改造后的面积为，
由于，
所以与原来相比变小了． 

【解析】计算变化前后的图形的面积差即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
 

18.【答案】解：解方程得：，
解方程得：，
方程的解与方程的解互为相反数，
，
解得：． 

【解析】先求出每个方程的解，根据相反数得出关于的方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解和相反数，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：因为直线，相交于点，平分，平分，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以． 

【解析】根据角平分线，可得，根据邻补角，可得的度数，根据角平分线的定义，可得，再根据对顶角及角的和差，可得答案．
本题考查了角平分线的定义、对顶角、邻补角，明确对顶角相等，邻补角互补是解此题的关键．
 

20.【答案】证明：如图所示，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线． 

【解析】先连接，根据，即可得到，再根据，可得，进而得出直线是的切线
本题主要考查了切线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形以及直角三角形．
 

21.【答案】解：由题意得：点、的坐标分别为、，
则，解得：，
故抛物线的表达式为：，
即，；

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
由题意得，点，点，
则；

由题意得，，，，，
，
若以，，为顶点的三角形与相似，需要分为两种情况：
∽，则，
即，
解得：舍去或，
故点的坐标为：；
当∽时，则，
即，
解得：舍去或，
即点的坐标为：，
综上，点的坐标为：或． 

【解析】待定系数法即可求解；
点，点，则，即可求解；
若以，，为顶点的三角形与相似，需要分为两种情况：∽，则，进而求解；当∽时，同理可解．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线的图象性质的运用，三角形相似，线段长的表示方法，有一定的综合性，难度适中．
 

22.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：；
，，


，
，
；
设型钢板的面积为，型钢板的面积为，
方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，
，，


，
每块型钢板的面积比每块型钢板的面积小，即，
，
．
根据不等式的基本性质解答即可；
利用作差法比较大小即可；
设型钢板的面积为，型钢板的面积为，用，表示出，的值，再比较大小即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：为边的中点，
，
，，
≌，
，，
，
故答案为：，；
解：，理由如下：
如图，延长至点，使，连接，

为的中点，
，
，，
≌，
，，
，
，，
平分，
，
，
；
证明：如图，延长至点，使，连接，

同得：≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：延长至点，使，连接，过点作于点，

则，
由可知，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，，
，
解得：，
，
即线段的长为．
证≌，得，，再由平行线的判定得即可；
延长至点，使，连接，证≌，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论；
延长至点，使，连接，同得≌，则，，再证，然后由等腰三角形的性质即可得出结论；
延长至点，使，连接，过点作于点，由可知，，，再证是等边三角形，得，，进而与勾股定理得，，则，，然后证∽，得，求出，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．