2023年广东省广州市增城区英华学校中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年广东省广州市增城区英华学校中考数学一模试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了之间的关系如图所示，下列结论等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省广州市增城区新塘英华学校中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列汽车车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＝BD D．AB⊥BC
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a6÷a2＝a3
C．（a2）3＝a6 D．a2﹣b2＝（a+b）（b﹣a）
4．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．（4分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数（单位：分）
m
90
91
88
方差s2（单位：分2）
n
12.5
14.5
11
根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（　　）
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
6．（4分）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
7．（4分）若等腰三角形一条边的边长为4，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣10x+c＝0的两个根，则c的值是（　　）
A．25 B．24 C．25或24 D．36或16
8．（4分）若点A（x1，﹣2），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x1＜x2
9．（4分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了36分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）已知函数y＝x2﹣2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤9，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a≤4 B．﹣3≤a≤5 C．3≤a≤4 D．3≤a≤5
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：3x2﹣12＝　 　．
12．（4分）现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“中”、“国”．小亮从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“爱”和“国”的概率是 　 　．
13．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝30°，∠2＝40°，且AD＝AC，则∠3的度数是　 　．

14．（4分）一次函数y＝nx+（n2﹣7）的图象过y轴上一点（0，2），且y随x的增大而减小，则n＝　 　．
15．（4分）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，则＝　 　．
16．（4分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折叠EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB＝8cm，BC＝10cm，则折痕EF的最大值是　 　．

三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：
（1）（）﹣2﹣（﹣）0；
（2）（9ab3﹣6a3b2）÷（3ab）．
18．（8分）如图，点E、C在线段BF上，AC∥DF，∠A＝∠D，AB＝DE，证明：BE＝CF．

19．（8分）已知：T＝（1+）÷．
（1）化简T；
（2）若点（x，0）在二次函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象上，求T的值．
20．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求线段CD的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

21．（10分）央行推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其它，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为 　 　度；
（4）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．
22．（10分）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物顶部A点处测得乙建筑物顶部D点的俯角α为45°，底部C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为8m，求甲建筑物的高度AB．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．
（1）求证：FH＝ED；
（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．

24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点C和点C′关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．
​
25．（12分）平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连AE，点F在线段AE上，连BF，连AC．
（1）如图1，已知AB⊥AC，点E为BC中点，BF⊥AE．若AE＝5，BF＝2，求AF的长度；
（2）如图2，已知AB＝AE，∠BFE＝∠BAC，将射线AE沿AC翻折交CD于H，过点C作CG⊥AC交AH于点G．若∠ACB＝45°，求证：AF+AE＝AG；
（3）如图3，已知AB⊥AC，若∠ACB＝30°，AB＝2，直接写出AF+BF+CF的最小值．


2023年广东省广州市增城区新塘华英学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1． 解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
2． 解：A、在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3． 解：A、a2与a3不是同类项，无法进行合并，原计算错误，不符合题意；
B、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，原计算错误，不符合题意；
C、（a2）3＝a2×3＝a6，正确，符合题意；
D、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），原计算错误，不符合题意．
故选：C．
4． 解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB，
∵AB＝4，
∴BE＝4．
故选：B．
5． 解：由题意可知，甲的平均数比其他三个同学高，所以m可以是92；
又因为甲是这四名选手中成绩最稳定，所以甲的方差比其他三个同学小，所以n可以是8.5．
故选：B．
6． 解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，
∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，
∴BD＝2BO，即2BO＝16．
∴BO＝8．
又∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△CBO的中位线，
∴MN＝BO＝4．
故选：B．

7． 解：当4为腰长时，将x＝4代入原方程得16﹣10×4+c＝0，
解得：c＝24，
∴原方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝4，x2＝6，
∵4+4＜6，
∴长度为4，4，6的三条边能围成三角形
∴c＝24符合题意；
当4为底边长时，Δ＝（﹣10）2﹣4c＝0，
解得c＝25，
∴原方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵4+5＝9＞5，
∴长度为4，5，5的三条边能围成三角形，
∴c＝25符合题意．
故选：C．
8． 解：∵点A（x1，﹣2），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数的图象上，
∴﹣2＝﹣，解得x1＝6；
2＝﹣，解得x2＝﹣6；
6＝﹣，解得x3＝﹣2，
∵﹣6＜﹣2＜6，
∴x2＜x3＜x1．
故选：A．
9． 解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：16×60＝（16﹣4）x，
解得x＝80，
∴乙的速度为80米/分；
∴乙走完全程的时间＝＝30（分），
故②结论错误；
由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4＝12（分）；
故③结论错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360（米），
故④结论错误；
故正确的结论有①共1个．
故选：A．
10． 解：函数的对称轴为x＝a，而x≤3时，函数值随x增大而减小，故a≥3；
∵1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，
∴x＝a时，函数的最小值＝7﹣a2，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+2中产生，
则x＝1，x＝a+2中，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大
∵a≥3，
∴a﹣1≥2，而a+2﹣a＝2，
∴1距离a 更远，
∴x＝1时，函数取得最大值为：8﹣2a，
∵对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤9，
只需最大值与最小值的差小于等于9即可，
∴8﹣2a﹣（7﹣a2）≤9，
a2﹣2a﹣8≤0，
解得﹣2≤a≤4，而a≥3，
∴3≤a≤4，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11． 解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
12． 解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中这两张刮刮卡上的文字恰好是“爱”和“国”的结果有2种，
∴这两张刮刮卡上的文字恰好是“爱”和“国”的概率是：＝，
故答案为：．
13． 解：如图，

∵∠4＝∠1+∠2＝70°，
∵AD＝AC，
∴∠5＝180°﹣2∠4＝40°，
∵直线a∥b，
∴∠3＝∠5＝40°，
故答案为：40°．
14． 解：∵函数图象过点（0，2），
∴n2﹣7＝2，
∴n＝±3，
又∵y随x增大而减小，
∴n＜0，
∴n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15． 解：∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，
∴m+n＝﹣4，m•n＝﹣1，
∴＝＝＝4．
故答案为4．
16． 解：①如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，
由翻折的性质得，BC＝B′C＝10cm，
在Rt△B′DC中，B′D＝＝＝6cm，
∴AB′＝AD﹣B′D＝10﹣6＝4cm，
设BE＝x，则B′E＝BE＝x，
AE＝AB﹣BE＝8﹣x，
在Rt△AB′E中，AE2+AB′2＝B′E2，
即（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
在Rt△BEF中，EF＝＝＝5cm．
②当E与A重合时，四边形ABFB′是正方形，EF＝8cm，
8＞5，
∴EF的最大值为8
故答案为：8cm．


三．解答题（共9小题，满分86分）
17． 解：（1）；
（2）（9ab3﹣6a3b2）÷（3ab）＝3b2﹣2a2b．
18． 证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
即BE＝CF．
19． 解：（1）T＝（1+）÷
＝•
＝．
（2）∵（x，0）在二次函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象上，
∴0＝（x﹣3）（x﹣1），
解得x1＝3，x2＝1，
∵T＝（1+）÷中x≠3，
∴T＝＝＝．
20． 解：（1）令y＝0，
则，
解得：x＝4；
令x＝0，
则y＝3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）；
（2）设BC＝x，
则AC＝CB＝x，OC＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
∵AB2＝OA2+OB2＝42+32＝25，
∴AB＝5，
∵CD⊥AB，
∴，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴，
∴；
（3）当PA＝PB时，点P与点C重合，
此时；

当PA＝AB＝5时，P（﹣1，0）或（9，0）；

当PB＝AB＝5时，
∵BO⊥PA，
∴PO＝OA＝4，
∴P（﹣4，0）；

综上分析可知，P点坐标为，（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）．
21． 解：（1）44÷22%＝200（名），
答：本次一共调查了200名购买者．

（2）A种支付方式的有：200×30%＝60人D种支付方式的有：200﹣56﹣44﹣60＝40（人），
补全统计图如图所示：


（3）扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为360°×22%＝79.2°，
故答案为：79.2；

（4）画树状图如下：

一共产生了9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种付款方式的结果有3种，
所以两人恰好选择同一种付款方式的概率为＝．
22． 解：延长CD交AE于点F，

由题意得：AB＝CF，CF⊥AE，
设AF＝xm，
在Rt△AFD中，∠FAD＝45°，
∴FD＝AF•tan45°＝x（m），
在Rt△AFC中，∠FAC＝58°，
∴CF＝AF•tan58°≈1.6x（m），
∵CF﹣DF＝CD，
∴1.6x﹣x＝8，
解得：x＝，
∴AB＝CF＝1.6x≈21（m），
∴甲建筑物的高度AB约为21m．
23． （1）证明：∵四边形CEFG是正方形，
∴CE＝EF，
∵∠FEC＝∠FEH+∠CED＝90°，∠DCE+∠CED＝90°，
∴∠FEH＝∠DCE，
在△FEH和△ECD中，
∴△FEH≌△ECD（AAS），
∴FH＝ED；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，
∴CD＝AB＝3，
∵AE＝1，
∴DE＝4，
∵△FEH≌△ECD，
∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3，
∴AH＝4，
∴AH＝FH，
∵∠FHE＝90°，
∴∠FAD＝45°．
24． 解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（3，0），C（0.3），
∴，解得：，
∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
∴∠ACD＝∠EBO，
在Rt△ACO和Rt△DBO中，
，
∴ΔΑCO≌△DBO（ASA），
∴OA＝OD，
解﹣x2+2x+3＝0，
得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴D（0，1），
由B（3，0），D（0，1）的坐标得，直线BD的解析式为：y＝﹣x+1；
（3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，
∵抛物线对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴CC′＝2，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝45°，
∴∠C′CB＝45°，
∵C′H⊥BC，CC′＝2，
∴C′H＝CH＝，
∵OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
∴BH＝3＝2，
∴tan∠CBC′＝，
∵∠MBA＝∠CBC′，
∴tan∠MBA＝＝，
∴ON＝，
∴N（0，）或N（0，﹣），
当N（0，），如图：

由点B、N的坐标得，直线BN解析式为：y＝﹣x+，
解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，
解得：x＝﹣或3（舍去），
∴M的横坐标为﹣；
当N（0，﹣），如图：

同理可得，直线BN解析式为：y＝x﹣，
解方程﹣x2+2x+3＝x﹣，
解得：x＝3（舍去）或﹣，
∴M的横坐标为﹣，
综上所述：M的横坐标为﹣或﹣．
25． （1）解：∵AB⊥AC，如图1，
∴∠BAC＝90°，
E为BC的中点，AE＝5，
∴AE＝BE＝EC＝5，
∵BF⊥AE，
∴∠BFE＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝＝1，
∴AF＝AE﹣EF＝4；
（2）证明：如图2，设射线AE与射线GC交于点M，
由题可设∠CAM＝∠CAG＝α，
∵AC⊥CG，
∴∠ACM＝∠ACG＝90°，
∴∠AMG＝∠AGM＝90°﹣α，
∴AM＝AG，
∵∠BFE＝∠BAC，
∴∠ABF+∠BAE＝∠CAM+∠BAE，
∴∠ABF＝∠CAM＝α，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABF+∠FBE＝∠ACB+∠CAM，
∵∠ABF＝∠CAM＝α，∠ACB＝45°，
∴∠FBE＝∠ACB＝45°，
延长BF交AC于N，
∴BN＝CN，∠BNC＝∠ANF＝90°，
过E作EP⊥AC于P，
则∠APE＝∠BNA＝90°，
在△ABN与△EAP中，
，
∴△ABN≌△EAP（AAS），
∴AN＝EP，
过E作EQ⊥CM于Q，
∴∠EQC＝∠ACM＝∠EPC＝90°，
∴四边形EQCP为矩形，
∵∠BCM＝90°﹣∠ACB＝45°，
∴∠BCM＝∠ACB，
∴EP＝EQ＝AN，
∴矩形EQCP为正方形，
∴EQ∥AC，
∴∠MEQ＝∠FAN，
在△MEQ与△FAN中，
，
∴△EQM≌△ANF（ASA），
∴AF＝EM，
∵AM＝AE+EM，
∴AG＝AE+AF；
（3）解：如图3，以AC为边构等边△ACN，以AF为边构造等边△AFM，
∴AF＝AM＝FM，AC＝AN＝CN，
∠FAM＝∠CAN＝60°，
∴∠FAM﹣∠MAC＝∠CAN﹣∠MAC，
∴∠CAF＝∠NAM，
在△AFC与△AMN中，
，
∴△AFC≌△AMN（SAS），
∴CF＝CM，
∴AF+BF+CF＝BF+FM+MN，
当B，F，M，N四点共线时，AF+BF+CF最小，
即为线段BN的长度，如图4，
过N作NT⊥BA交其延长线于T，
∴∠BTN＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝4，
∴AC＝＝，
∴AN＝AC＝，
∵∠BAN＝∠BAC+∠CAN＝150°，
∴∠TAN＝180°﹣∠BAN＝30°，
在Rt△TAN中，TN＝，
∴＝3，
∴TB＝TA+AB＝3+2＝5，
∴BN＝＝，
∴AF+BF+CF的最小值为．