数学（理）丨安徽省皖南八校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试卷及答案

“皖南八校”2021届高三第二次联考

数学（理科）

2020.12

考生注意：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

一、选择题：本题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，则（    ）

A．      B．      C．      D．

2．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．设i为虚数单位，复数，则z的共轭复数是（    ）

A．      B．      C．      D．

3．已知双曲线的渐近线方程是，且与椭圆有共同焦点，则双曲线的方程为（    ）

A．      B．      C．      D．

4．若是公比为e的正项等比数列，则是（    ）

A．公比为等比数列      B．公比为3的等比数列

C．公差为的等差数列      D．公差为3的等差数列

5．和是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为（    ）

A．      B．      C．      D．

6．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，．过作与侧棱垂直的平面，交于点E．则的长为（    ）

A．      B．      C．      D．

7．已知正实数a，b，满足，则（    ）

A．      B．      C．      D．

8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（    ）

A．      B．      C．      D．

9．如图，在平面直角坐标系中，点为阴影区域内的动点（不包括边界），这里，则下列不等式恒成立的是（    ）

A．      B．      C．      D．

10．设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．      B．      C．      D．

11．已知正项数列的前n项和为，如果都有，数列满足，数列满足．设为的前n项和，则当取得最大值时，n的值等于（    ）

A．17      B．18      C．19      D．20

12．已知直线与曲线相切于点A、与曲线的另一交点为B，若A、B两点对应的横坐标分别为，则（    ）

A．      B．2      C．1      D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为_________．

14．若展开式的各项系数之和为32，则展开式中的含项的系数为________．（用数字作答）．

15．如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则_____________．

16．已知，若，则___________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知三角形三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B；

（2）若，角B的平分线交于点D，，求．

18．（12分）

8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国大陆进入世界500强的企业数量．

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程．并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量，结果取整；

（2）2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国大陆4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国大陆公司个数为，求的分布列与期望．

参考数据：，．

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

．

19．（12分）

如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，M为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）

已知函数．

（1）求证：当时，函数在内单调递减；

（2）若函数在区间内有且只有一个极值点，求m的取值范围．

21．（12分）

已知抛物线C：，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，面积为2．

（1）求抛物线C标准方程；

（2）若直线为抛物线C的两条切线，设的外心为M（点M不与焦点F重合），求的所有可能取值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求圆C普通方程和直线l直角坐标方程；

（2）点P极坐标为，设直线l与圆C的交点为A，B两点A，B中点为Q求线段的长．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知，证明：

（1）；

（2）．

“皖南八校”2021届高三第二次联考·数学（理科）

参考答案、解析及评分细则

1．A  因为，所以，因为，所以．

2．C  ∵，∴．

3．B  椭圆，即的焦点为．可设双曲线的方程为，可得．由渐近线方程是，可得，解得，则双曲线的方程为．

4．D  令，则，所以．

5．C  由题意可知中垂线为中点，则直线方程为：，故，在中，

，

，

，

∵，故，

，故圆C面积为．

6．D  依题意，，所以，易知，则的长为．

7．D  对A，取，则，故错误；对B，取，则，故错误；对C，取，则，故错误；对D，由可知，由同向不等式相加的性质可得，可得．

8．C  设球的直径为，则球的内接正方体的棱长为a，正方体的内切球的半径，

∴正方体的内切球的体积，又由已知，∴，∴此点取自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为．

9．A  由于，则．设与相平行的直线的方程为，当直线过点时，；当直线过点和时，；直线过点和时，．则由图中阴影部分可得或，这里．则一定有．

10．B  设，易得在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．

11．D  当时，，整理得，因为，所以，

当时，，可得，所以，即数列是一个以1为首项，1为公差的等差数列，所以，由，可得，故，则，

当时，；当时，，

故当时，；当时，；当时，，当时，，

又，故当时，取得最大值．

12．C  如图直线l与相切于点A，则，直线过定点，则，∴．

13．  由题意，则．

14．10  由展开式的各项系数之和为32，则．令，解得，所以展开式中的含项的系数为10．

15．  设，则．由，得从而有，又，所以，

又由，

从而得到所以，所以．

16．  等价于，

如图，构造三角形为边上的高且，其中，则，，，

即，

则，故，

则，化简得，又，解得，故．

17．解：（1）因为，由正弦定理可得

，                     2分

因为，所以，

则，                       4分

故，所以．                      6分

（2）由（1）可知，又；所以，可得，所以，                            8分

在中，由正弦定理可得，

故，                   10分

．               12分

18．解：（1）由题意可知，，，

，               2分

，，

所以y关于x的回归方程为．                 5分

将代入，得，故预计2021年中国大陆进入世界500强的企业数量大约129家．      6分

（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，                       8分

，

．

所以的分布列为：                                 10分

．                   12分

19．（1）证明：设N为中点，

连接（如图），

因为M为的中点，

所以为中位线，

所以，且．

又因为，且，

所以，且．

所以四边形为平行四边形，

所以．                     2分

因为平面平面，

所以平面．                4分

（2）解：由已知，平面平面，且四边形为正方形，所以．

又平面平面，所以平面，又平面

所以．又因为，所以两两互相垂直．

如图，以D为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系．     6分

不妨设，则，

因为M为的中点，所以．于是，

设平面的法向量为，则所以

令，则．

易知平面的法向量为，                   8分

设平面与平面所成锐二面角为，

则．

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．                   12分

20．（1）证明：函数的定义域为．                 1分

当时，．                    2分

设，则．

则当时，，函数单调递增；

当时，函数单调递减．               4分

所以在内，函数的最大值为．

即在内，函数．

由于，所以在上，．             5分

所以函数在上单调递减．            6分

（2）解：．                  7分

设．

若函数在区间内有且只有一个极值点，则函数在区间上有且只有一个零点，且在这个零点两侧异号．

设是函数的两个零点

（，方程有两个不相等的实数根）．

则函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增．由于是方程的两根，且，

则，又，则．                 9分

若函数在区间上有且只有一个零点，则．

解得．                     10分

当时，时，，所以在这个零点两侧异号，即在这个零点两侧异号．               11分

当时，．

又在内成立，

所以在内单调递增，故无极值点．

当时，，易得时，，故无极值点．

所以当函数在区间内有且只有一个极值点时，m的取值范围是．               12分

21．解：（1）当直线过抛物线焦点F且垂直于x轴时，A，B两点横坐标为，

代入抛物线方程，可得，故，                 2分

，得，                   3分

故抛物线C标准方程为．                      4分

（2）设．                     5分

易知直线，直线，                     6分

联立得则的中垂线方程分别为：

：，

：．                8分

联立解得：，                9分

由于，故，

，               11分

故，所以，则的所有可能取值为1．              12分

22．解：（1）由题意可知圆C普通方程为，直线l直角坐标方程为．     4分

（2）点P直角坐标为，设直线l的参数方程为代入圆普通方程得，             

6分

设A，B对应参数为，则Q对应的参数为，                 8分

故．                    10分

23．解：（1），                  2分

而，                 4分

故，当且仅当不等式取等号；                5分

（2）由柯西不等式可得，           8分

而，故，当且仅当不等式取等号．          10分