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中考数学压轴题(9)——抛物线最值
展开已知抛物线、为常数).
(1)当时,抛物线与轴有且只有一个交点,则 ;
(2)若抛物线交轴于和,时,求抛物线上的点到轴距离的最大值;
(3)当时,若在自变量的值满足的情况下,与其对应的函数值的最大值为18,求的值.
【答案】(1);
(2)当时,抛物线上的点到轴距离的最大,最大值为5;
(3)或.
【考点】二次函数综合题
【专题】一元二次方程及应用;二次函数图象及其性质;待定系数法;判别式法;分类讨论;一次方程(组及应用;综合题;运算能力
【分析】(1)将代入抛物线解析式,根据抛物线与轴有且只有一个交点,令,得判别式等于0,从而求得的值;
(2)用待定系数法求得抛物线的解析式,分别计算当、和时的函数值,取绝对值最大的即为所求;
(3)将,代入抛物线解析式,求得其顶点坐标,分三种情况计算:①当时;②当时;③当时,分别判断出何时取得最大值18,从而得关于的方程,求解并作出取舍即可.
【解答】
解:(1)当时,,
抛物线与轴有且只有一个交点,
令,则
△,
解得,.
故答案为:;
(2)抛物线交轴于和,
,
解得,,
抛物线的解析式为:.
,
对称轴为直线,抛物线开口向下,
抛物线离对称轴越远,函数值越小,
当时,;
当时,;
当时,,
当时,抛物线上的点到轴距离的最大,最大值为5;
(3),
抛物线为,其开口向下,顶点坐标为,.
①当时,即时,在的情况下,随的增大而减小,
当时,.
,
解得,,(舍去);
②当时,即时,
,
解得,,(舍去);
③当时,即时,在的情况下,随的增大而增大,
当时,,
,
解得,,,均不合题意,舍去.
综上所述,或.
【点评】本题属于二次函数综合题,综合考查了抛物线与坐标轴的交点、抛物线与坐标轴的距离及最值问题等知识点,熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的关键.
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