中考数学压轴题（11）——园周长最大值

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已知，点、、、是圆上的四个点，（1）如图1，如果，判断的形状，并证明．（2）如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．（3）如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为 　   　．                    【答案】（1）是等边三角形，证明过程见解答；（2）当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；理由见解答；（3）．【考点】圆的综合题【专题】推理能力；几何综合题【分析】（1）根据圆周角定理得到，计算出，即可证明结论；（2）延长到点，使，如图，先证明，得到，再证明为等边三角形，则，进而可判断，同理可得当点在劣弧上时，当点在劣弧上时的线段关系；（3）由（2）可得：当点在弧上运动时，，从而将四边形的周长转化为，从而得到最大时周长最大，利用等边三角形的性质得到和的长，结合半径可得结果．【解答】解：（1）是等边三角形，证明：，，，是等边三角形；（2）当点在劣弧上时，如图，延长到点，使，是等边三角形，，，，，，，，，，是等边三角形，，，；同理：当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；综上所述：当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；（3）由（2）可知：当点在弧上运动时，如图2，，四边形周长，固定不变，当最大时，即为直径时，周长最大，如图2，设直径为，连接并延长，交于，则，是等边三角形，圆半径，，，，，四边形周长最大值为．故答案为：．【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要注意前问的结论能合理运用．