吉林省长春市榆树市四校2023届九年级联考二模数学试卷(含答案)

这是一份吉林省长春市榆树市四校2023届九年级联考二模数学试卷(含答案)，共17页。

2023年中考二模考试榆树市四校联考
数学试题
一．选择题（共8小题，每题3分共24分）
1．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）从今年两会传来的数据看新时代中国发展之变．截至2022年底，我国累计建设开通5G基站2310000个，实现“县县通5G”“村村通宽带”，将2310000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．23.1×105 B．2.31×106 C．0.231×107 D．2.31×107
3．（3分）如图，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中，以2b为直径分别剪掉两个半圆，若a＝4，b＝1时，则剩下的铁皮的面积为（　　）（π取3）

A．5 B．7 C．8 D．12
4．（3分）不等式x+5≥0的解集为（　　）
A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤5
5．（3分）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截是一个轴对称图形，其示意图如图2，若CD＝CE＝5，∠DCE＝40°，则DE的长为（　　）

A．5sin20° B．10sin20° C．5tan20° D．10tan20°
6．（3分）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）已知点P是∠AOB的边OA上一点，根据尺规作图痕迹，射线PQ不一定与OB平行的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，0）、B（0，﹣8），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．若反比例函数（k为常数）的图象经过点C，则k的值为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20
二、填空题（共6小题每题3分共18分）
9．（3分）下列各式：①x2+2x+1；②x2+2x﹣1；③x2﹣1；④x2﹣6x+9．能用完全平方公式进行因式分解的是 　 　．（填序号即可）
10．（3分）若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 　 　．
11．（3分）使得二次根式有意义的x的取值范围是　 　．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在⊙O上（点C不与A、B重合），过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC．若∠D＝45°，则的长度是　 　（结果保留π）
12题 13题
13．（3分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　 　．
14．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣1经过点（2，7）．若关于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣1﹣t＝0（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围为 　 　．
三、解答题（共78分）
15．（6分）已知x2+5x＝﹣2，求代数式（2x+3）2﹣x（x﹣3）的值．
16．（6分）某校初三年级共有3名市级三好学生，其中2名男生1名女生，想从中随机选取两名参加长春市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求选中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码A1、A2表示，女生用代码B表示）
17．（6分）秋收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．求一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷．
18．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为 　 　．
18题 19题
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）当AD＝12，BD＝5时，则CF的长为 　 　．
20．（8分）为了提高学生的安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施，为了检验此课程的效果，随机抽取了20名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识测试，获得了他们的成绩，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．第一次安全常识测试成绩统计表：
分组/分
人数
20≤x＜25
5
25≤x＜30
6
30≤x＜35
m
35≤x≤40
3
b．第二次安全常识测试成绩扇形统计图：

c．两次成绩的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
第一次成绩
28.2
n
32
第二次成绩
35.8
36.5
37
d．第一次安全常识测试成绩在25≤x＜30这一组的数据是：26，26，27，28，28，29．
e．第二次安全常识测试成绩在B：30≤x＜35这一组的数据是：31，31，33，34，34．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　．
（2）下列推断合理的是 　 　（填写序号）．
①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了．
②被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高．
（3）若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，根据统计结果，估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数．
21．（6分）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：
薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；
薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．
设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．
（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？
22．（11分）【实践操作】：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．
第二步：如图②，将图中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．
【问题解决】：
（1）如图①，四边形AEA'D的形状是 　 　；
（2）如图②，线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；
（3）如图②，若AC'＝3cm，DC'＝6cm，则MC'＝　 　，＝　 　．

23．（10分）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P沿AC﹣CB方向以每秒2个单位长度运动，点D为AB的中点，连结CD、DP，将△CDP沿PD翻折得到△QDP，设点P的运动时间为t秒．
（1）线段CD＝　 　．
（2）求线段CP的长．（用含t的代数式表示）
（3）当点Q在边AC右侧时，求点Q到边AC距离的最大值．
（4）当PQ⊥AB时，求出t的值．

24．（11分）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．


数学参考答案
一．选择题（共8小题，每题3分共24分）
1． C．2． B．3． A．4． A．5． B．6． B．7． C．8． B．
二、填空题（共6小题每题3分共18分）
9．①④ 10． ． 11． x≥﹣． 12． ． 13． 289． 14．﹣1＜t≤7．
三、解答题（共78分）
15．
解：（2x+3）2﹣x（x﹣3）
＝4x2+12x+9﹣x2+3x
＝3x2+15x+9，
当x2+5x＝﹣2时，原式＝3（x2+5x）+9＝3×（﹣2）+9＝3．
16．
解：列表如下：

A1
A2
B
A1

（A2，A1）
（B，A1）
A2
（A1，A2）

（B，A2）
B
（A1，B）
（A2，B）

由表知，共有6种等可能结果，其中选中一男一女参加比赛的有4种结果，
所以选中一男一女参加比赛的概率为＝．
17．
解：设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦（x+2）公顷，
依题意得：＝，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝3+2＝5．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
18．
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAP+∠DCE＝90°，
∴∠BAP+∠BAD＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是圆O的切线；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，

∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵∠BAC＝∠F，
∴sin∠BAC＝sinF＝，
在Rt△BCF中，BC＝2，
∴BF＝＝＝6，
∴AD＝BF＝6，
故答案为：6．

19．
（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝DC，
∵点E为AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵BD∥EF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝12，BD＝5，
∴AB＝BC＝＝13，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝，
∵四边形DEFB是平行四边形，
∴BF＝DE＝，
∴CF＝BC+BF＝．
故答案为：．
20．
解：（1）由题意可知：m＝20﹣5﹣6﹣3＝6，
把第一次的成绩从小到大的顺序排列可知处于中间的两个数是28、29，
∴第一次成绩的中位数是：，
故答案为：6，28.5．
（2）解：第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了，故①合理；
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是3（6分），他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高，他的第二次成绩低于第二次成绩的中位数，故②合理，
故答案为：①②．
（3）解：根据题意可得：第二次成绩在A：35≤x≤40的人数为：60%×20＝12（人），
若第二次安全常识测试成绩不低于3（4分）为优秀，则优秀人数为12+2＝14（人），
∴（人），
答：估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数为420（人）．
21．
解：（1）根据题意得：
y1与x之间的函数表达式为y1＝3000+15x，
y2与x之间的函数表达式为y2＝30x；
（2）由3000+15x＝30x，解得：x＝200，
∴当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，
当3000+15x＜30x时，解得x＞200，
∴当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．
当3000+15x＞30x时，解得x＜200，
∴当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，
综上所述，当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．
22．
解：（1）结论：四边形AEA′D是正方形．
理由：∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形．
故答案为：正方形；

（2）结论：MC′＝ME．
理由：如图1，连接C′E，
由（1）知，AD＝AE，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME．

（3）过点N作NT于点T．
∵Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，
∴AC′＝B′E，
由折叠知，B′E＝BE，
∴AC′＝BE，
∵AC′＝3cm，DC′＝6cm，
∴AB＝CD＝3+6+6＝12（cm），
设DF＝xcm，则FC′＝FC＝（12﹣x）cm，
∵DC′2+DF2＝FC′2，
∴62+x2＝（12﹣x）2，
解得，x＝，
即DF＝cm，CF＝FC′＝CD﹣DF＝12﹣＝（cm），
设MC′＝EM＝ycm，则y2＝（9﹣y）+32，
∴y＝5，
∴C′M＝5，
∵∠NDT＝45°，NT⊥DF
∴DT＝NT，
设DT＝NT＝4t，
∵NT∥DC′，
∴，
∴＝，
∴FT＝3t，
∴7t＝，
∴t＝，
∴DT＝NT＝，
∴DN＝，
∵DE＝9，
∴EN＝DE﹣DN＝9﹣＝，
∴＝＝．
故答案为：5cm，．
23．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝，
故答案为：；
（2）当0＜t≤2时，
CP＝AC﹣AP＝4﹣2t，
当2＜t≤时，
CP＝2t﹣4，
∴CP＝；
（3）如图1，
由折叠知：DQ＝CD＝，
∴点Q在以D为圆心，为半径的圆上运动，
∴当DQ⊥AC时，点Q到AC的距离最大（图中QE），
∴DE∥BC，
∴＝1，
∴DE＝＝，
∴EQ＝DQ﹣DE＝1；
（4）如图2，
当点P在AC上时，设PQ⊥AB于E，作DF⊥AC于F，
可得：AF＝CF＝AC＝4，
由折叠得：∠QPD＝∠DPC，
∴PE＝PF，
∵sinA＝，cosA＝，
∴PE＝AP•sinA＝，
∵AP+PF＝AF，
∴2t+＝4，
∴t＝，
如图3，
当点P在BC上时，作DG⊥BC于G，
PQ＝PC＝2t﹣4，BP＝3﹣（2t﹣4）＝7﹣2t，
在Rt△BPE中，
BE＝BP•cosB＝（7﹣2t），
PG＝PE＝BP•sinB＝（7﹣2t），
由PB+PG＝BG得，
7﹣2t+（7﹣2t）＝，
∴t＝，
综上所述：t＝或．

24．
解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴＝＝，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），
当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D点纵坐标为2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D点坐标为（，2）或（，2）；
当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D点纵坐标为4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．