中考数学压轴题34

每周两题（九）

1．（2023•长郡模拟一24T）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点．过点作线段垂直轴交于点，过点作线段垂直抛物线的对称轴交于点，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．

（1）请根据定义求出抛物线的“伴随矩形” 的面积；

（2）已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出的取值范围；

（3）若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形” 为正方形；②（其中表示矩形的面积）；③的最小值为．请求出满足条件的值．

2．（2023•长郡模拟一25T）如图1，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点（与点、不重合），平分交边于点，，垂足为点．

（1）当点与圆心重合时，如图2所示，则　　；

（2）若，试探究与有何面积关系，并证明；

（3）当与相似时，求的值．

1．（2023•长郡模拟一23T）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点．过点作线段垂直轴交于点，过点作线段垂直抛物线的对称轴交于点，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．

（1）请根据定义求出抛物线的“伴随矩形” 的面积；

（2）已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出的取值范围；

（3）若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形” 为正方形；②（其中表示矩形的面积）；③的最小值为．请求出满足条件的值．

【分析】（1）求出，，即可得矩形的边长分别为1和2，再求面积即可；

（2）先求出“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，，，直线经过点时，直线经过点时，则时，矩形的四边与直线共有两个交点，当双曲线经过点时，，则时，矩形的四边与双曲线无交点，故时，满足题意；

（3）抛物线的“伴随矩形” 的顶点分别是，，，，，，由题意可得，，求出，再由△，进一步确定，根据韦达定理得，，则，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（舍或（舍；综上所述：的值为9或．

【解答】

解：（1），

，

当时，，

，

伴随矩形” 的面积；

（2），

“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，，，

直线经过点时，，解得，

直线经过点时，，解得，

时，矩形的四边与直线共有两个交点，

当双曲线经过点时，，

时，矩形的四边与双曲线无交点，

时，满足题意；

（3），

，，

抛物线的“伴随矩形” 的顶点分别是，，，，，，

“伴随矩形” 为正方形，

，

，

，

，

抛物线开口向上，

，

，

方程的两个根为，，

△，

，

，

，，

，

的最小值为，

当时，，

解得；

当时，，

解得；

当时，，

解得（舍或（舍；

综上所述：的值为9或．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，弄清“伴随矩形”的定义是解题的关键．

2．（2023•长沙模拟一25T）如图1，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点（与点、不重合），平分交边于点，，垂足为点．

（1）当点与圆心重合时，如图2所示，则　　；

（2）若，试探究与有何面积关系，并证明；

（3）当与相似时，求的值．

【分析】（1）设，，由勾股定理得出，则，可求出，证出，根据可求出答案；

（2）证明，由相似三角形的性质得出，证出，过点作于，证明，由全等三角形的性质得出，证出，根据三角形面积公式可得出答案；

（3）分两种情况：①当时，可证得，再根据平分，可得，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当时，则，得出，再由平分，可得，推出，利用三角函数定义即可求得答案．

【解答】

解：（1）为的直径，

，

，

，

设，，

，

，

，

，

，平分，

，，

，

，，

，

，

，

，

．

故答案为：；

（2）．

证明：，

，

又，

，

，

平分，

，

，

，

过点作于，

，

平分，，

，

，

，

，

，

，，

．

（3），

，

与相似，

或，

①当时，

则，

，

，

，

，

平分，

，

；

②当时，

则，

，

平分，

，

，

，

，

，

，

，

．

综上所述，的值为或．

【点评】本题是圆的综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．